Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 17
Текст из файла (страница 17)
32) дИ' сл е1п О дО т лсовлΠ— О, (3.03) т сл — О, тгл сова О Эти уравнения омелот одиопараметрическое семейство решений сз г=гл= л г = ролл О=О =О, (3. 34) (3,35) причелл соответствующая угловая скорость вращения радиуса-вектора центра масс спутника определяется иа интеграла (3 31); с ф=фе=ел= 3 (3.36) тго Условия икают вкд дИ' — =- лл д» (3.24) осуществимости стационарного движения при- 92 Гл, пг. устОйчиВОсть БОнсеРВАтиВных систем Как было уже показано в примере 2 $2.0, стационарные длин<ения искусственного спутника представляют гобой дени~ения в плоскости Оху по круговым орбитам радиуса г, с постоянными угловыми скоростями. Йсключая из равенств (3.34) и (3,36) параметр с, найдем юзге =- Р. Эта формула была получена ранее нз простыл физических соображений (см.
равенство (1.30)). Примем стационарное движение спутника за иевозмущеняое н исследуем его устойчивость с помощью теоремы Рауса и дополнения Лнпуиова. Положим г = г, + х, внесем зтд в выражение(3.32)для функции И' и разложим разность И' — И', в ряд по степеням х и 0: + 2 ((д~~ )" + (дхд0) х ) (дбз ) )+'' или, учитывая равенства (3,33), Следовательно, 1 Г~ и сз с И' — И'з =- — ~ ~ — 2Р— -(-3 — ) хз+ — Оз~ +..
2 ~( гз иг',) иг' е е е так гсак, согласно равенству (3.34), в установивпгемся движении сз =- Ртзгз, то будем иметь и ! И' — и = — Р— „( —, +0)+... е 2 Из этого выражении видно, что функция И' имеет в стационарном движении минимум. Кроме того, для всякого гз Ф 0 решение (3.34) непрерывно зависит от постоянной с интеграла (3.31).
Позтоыу на основании теоремы Рауса и дополнения Ляпунова стациоиарноа движение спутника устойчиво относительно О г, О, 0 и ф. Пример 3. Устойчивость регулярной прецессии тяжелого гироскопа. Рассмотрим симметричное твердое тело, имеющее одну неподвижную точву О и движущееся под действием силы тяжести. Положение оси симиетрии з тела будем определить углоы прецессии ф и углом нутации 0; угол собственного вращения обозначим череа ю (рис. З.З). Кинетическан Т и потенциальная П энергии такого тела определяются равенствами 1 7=- 2 х 1'ах+юг)+ 2 Хюз, П.=Мдасоз0, й з.з. нвнмния где 1„= 1„и 1, — моменты инерции тела относительно осей Резала л, у, з, а юз, юю ю„— проекции угловой скорости тела на те же оси, М вЂ” масса тела, Ь вЂ” расстояние от его центра тяжести до точки опоры.
Пользуясь рис. 3.4, легко найдем ю . = — ф з1п 8, юэ — — 8, ю, = ф + ф соз 8. Внося отп выражения для т„, ык, ю, в кинетическую энергию Т, получим 1 .. 4 Т = 3 1„(ез+ та'Еф') + 3 Х (ф+ сов Еф)~. Так как координаты ф и ф входят в кинетическую энергию Т только через свои скорости ф и ф, а потенциальная энергия П от ннх Рис.
З.З Рис. 3,4 не зависит, то эти координаты циклические, а 0 — позиционная. Циклическим координатам соответствуют два первых интеграла дТ вЂ”. =-1,(ф+созЕФ) =1 л, дт з 3 (З.зу) дT — = 1, з(пз еф + 1, (ч + соз еф) соз 0 = т, где Х,в и т — постоянные интегрирования (множитель 1, введен для удобства). Эти интегралы выражают постоянство кинетического момента относительно осей з и ь соответственно. Из равенств (3.37) найдем циклические скорости — 1,в Е т — 1зв Е 1 з(пз 0 Ф 1 з)пз Е соз 0 Внесем найденные значения ф и ф в кинетическую энергию. После очевидных преобразований получим 4 (т — 1,л соз 0)з Т*= — 1 Е*+— 3 " 3 1.0ле ' 3 + — 1 лз.
94 ГЛ. 111. УСТОЙЧИВОСТЫ<ОНСЕРВАТИВНй<Х СЙСТЕХ< Пользуясь формулой (ЗИ2), составим функцию Рауса (в рассматриваемом случае с, = 1,и и г = т): $ . 4 (т — 1,п соз 0)г )г = ут — 1 пгу — тф =- — 1 Ох+в г 2 " 2 1ха(п<0 пг — 1,псоз0 ) т — ! псов Π— 1ги в — 1 ° гО сов О) — т 1 е(огэ илн, группируя члены и отбрасывая несущественную постоянную г/1 г ! . < (т — 1 п сов О)' 2 ' " 2 ухзггггО Сравнивая с равенством (344), найдем 1 . 1 (т — 1гв соз 0)г 1(г= 2 1хО, В<=0, Нг= — 2 1 гп „Мо Составим далее потенциальную энергию приведенной системы 4 (т — 1,п соз О)г )Г™ЕЬсозО+ 2 1 а и напишем условие осуществимости стационарного движения (3.24): ( )- д)Г 1 (т — 1,всоз Ог) (1,п — т соэ 0„) — =.
— М,аз(в Ог+ дО )е ,1х зйгг Оо =О. (З.ЗЗ) Считая известными постоянные т и и, из этого уракяенля легко найти угол 0 =- Ог. Для этого достаточно представить данное уравнение е следующей форме: МЕЬ1х соз' О, — (Му)<1х + 1,вт) соз'О, + + (.1ггР + тг) соз Ое + МЕЬ1х — 1,ипг = О. (3.39) Это уравнение определяет семейство решений, зависящее от двух параметров т и и. Для практических целей удобнее задавать просто начальные условия при 1=0: 0=0„0=0,ф=гр„ф = фп Если теперь выразить постоянные интегрирования т и и по формулам (3.37) через эти'начальные условия, то уравнение (ЗЛО) легко приводится к виду фэт (1х — 1г) ° О, — 1гфефг + Мд) =- О. Это равенство устанавливает связь между начальными условиями даня<ения, при которых осугцествляется стационарное двюкение.
Последнее состоит в том, что гироскоп равномерно вращается с угловоп скоростью ф = фе вокруг оси симметрии г, а ось г равномерно вращается вокруг вертикальной оси 9 с угловой скоростью = ф„описывая круговой конус с углом раствора, равным 20, см. рис. 3.3). Такое движение называется регулярной иргчессоей. Исследуем устойчивость регулярной прецессив. Для этого положим О = О, + х, внесем зто в потенциальную энергию Нг про- Я 3.5. ПРИМЕРЫ ведеппой системы и разложим функцию И' — И'а в ряд по степеням з: И' И (- — ) а ) — ( — ) ла-а-...
дРД 1 баИ' где точками обозначены члены, содержащие з в степени выше второй. Первое слагаемое на основании равенства (3.38) выпадает, а второе после несложных преобразовапий приводится к виду 1 (т — У„ясоаО )аа)па О„+(У,я+ У,аа сова ба — 2 сов О,)а ха. 21„ з)п'О, Так как при всех апачепиях 8„ие равиых О или я, коэффициент при за положителен, то функция И' имеет в стациопарком движении минимум.
Кроме того, для всех Оа, ие равных О или я, решение уравнения (3.38) кепрерывио зависит от постолнных аа и я иктегралов (3.37) (корки алгебраического относительно ооз Ор уравнения (3.39) непрерывно зависят от коэффициентов уравнения). По- атому па основании теоремы Рауса и дополнения Ляпунова регулярная прецессия устойчива относительно О, О, ф и (р. Пример 4. Устойчивость равновесного положения оси вращающегося уравповешепного ротора, установленного в иелииейк ы х о п о р а х [28а). Рассмотрим абсолютно жесткий уравиовепюняый ротор с вертикальной осью вращеиия, устаповлеииый в жестко укрепленных на неподвижном основавии упругих подшипни- У ках. Будем предполагать, что подшипиики обладают в общем случае иелипейиойподатливостью, в результате чего ось ротора может перемещаться плоскопараллельио ').
Собственпое вращение происходит вокруг и с. оси материальной симмаагрки (соответствующие цектробежиые моменты инерции к зксцентриситет е равны О, ш нулю), реакции подшипников приводятся к одной равподействующей Ра, завпсящей от радиальиого перемещения р оси О ротора я направлеппой к точке О, пересечения плоскости движения центра масс с осью поде- Рлс.
3.5 ормировакпых подшипников (рис. .5 — точки О и С при е = О совпадают). Очевидио, что любая реакция Ра (р) должна обращаться в нуль при отсутствии деформации (р = 0) и в области допустимых деформаций возрастать с увеличением р, т. е. для любой реакции Ра(р) должпы выполняться ') Этим условиям удовлетворлет также движущийся плоско- параллельно уравповешеиный ротор, укрепленный на безынерционном гибком валу, установлеиноы в жестких вертикальлых опорах. 96 гл.
Иь устОЙчиВОсть кОнсеРВАтиВных систем условия Рз (0) = О, †„ ) 0 (о ) 0), Яде (ЗАО) — лр кроме того, производная ВРз/Вр должна быть ограничена при р = О, а производная ззР/орэ — непрерывна в тех же пределах. Этим условиям удовлетворяют, в частности, линейная реакция Р„= ср, нелинейные жесткие или мягкие реакции вида Ре = = ср+ эра+ арз, реакции Р = аэро (и) 1) и др. Заметим, что для шариковых подшипников большинство авторов принимает Р, =- аэро, где а = 3/2 (формула Герца). Очевидно, что потенциальная анергия упругон реакции с П(р) =~Р,(р) Вр а в полояюнии равновесия (р = 0) имеет изолированный минимум (П(0)=0 и П(р))0 при р)0). В сделанных предположениях о материальной симметрии оси ротора движение центра масс и вращательное движение не аависят друг от друга и их можно изучать раздельно.
Рассмотрим вопрос об устойчивости равновесного положения оси вращающегося ротора (р = 0), сделав предварительно одно тривиальное, но вместе с тем важное замечание: координаты и нх скорости должны быть определены для каждого состояния системы. При исследовании стационарного дви;кения неуравновешенного отора, установленного в нелинейных подшипниках (см. пример 5 4.5), удобно пользоваться полярными координатами. Но в поло- жении равновесия радиус р центра масс С ротора и его скорость р авны нулю (р = О, р =- 0), а полярный угол <р и угловая скорость не имеют смысла. Кроме того, в полярных координатах уравнения движения оси ротора (они являются одновременно и уравнения- ми воамущенного движения около полон ения равновесия) имеют вид о тр — т/зрз = — Р (р), — (трам) = О. При р = 0 и любом <р зги.уравнения обращаются в тождества, т. е.
они имеют в положении равновесия бесчисленное эшожество ре- шений, что нарушает основное требование о единственности реше- ний уравнений (1.1). Поэтому для зналиаа устойчивости равновес- ного положения оси уравновешенного ротора нельая польаоваться полярными координатами. В связи с этим введем обычные прямо- угольные координаты э и у точки О, которые и будут характеризовать отклонение оси ротора от поло>кения равновесия в Пеподэижнои системе координат~ з, у.
Кинетическая и потенциальная энергии определяются равен- ствами 1 Т = — т (за+ уз), П (з, у) = 1г Р (р) с)з, 2 э Так как потенциальная энергия при з = О, у =- 0 имеет иаолированный минимум, то на основании теоремы Ляпунова заключаем, что равновесное положение оси уравнове1пенного ротора устойчиво относительно с, у, э и у; следовательно, оно устойчиво и относительно р = (/ зз + уз и з = р' е~ + уз. ГДЛ»А ГЧ УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ 4 4.1, Постановка задачи Во многих случаях, особенно в приложениях, устойчивость движения исследуется по уравнениям первого приближения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
