Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 16
Текст из файла (страница 16)
дд. (3.18) Теперь уравнения (3 17)' приводятся к следующему виду: д дна дна дЛУ дл дд,. дд,. дд. 1=1 где (у = 1,..., г), (3.19) (3.20) Уравнениям (3 19) можно отнести некоторую систему (она называется приееденлгой системой), в которой функции Вг и И' служат кинетической и потенциальной гнергиями; обобщенные силы втой системы определяются равен- ствами дн' Чэ 1=1 (3.21) (3.22) причем Хйыд„называются гироскопическими силами. Из определения гироскопических козффициентов ям видно, "то их матрица кососимметричноя, т.
е. 86 ГЛ. П1. УСТОИ'1ИВОСТЬ 1ЬОКСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ В этом легко убедиться, поменяв в формуле (3.18) местами индексы к и 7', Заметим, что при отсутствии гироскопических сил (это, как правило, бывает при Л, ==- О) система называется зироскопически несвязанной. Основное свойство гироскопических сил состоит в том, что сумма их работ на действительном перемещении равна нулю.
Зто свойство лежит в основе их определения, данного Томсоном и Тетом (см. [58]). Гироскопические силы встречаются не только в системах с циклическими координатами (частный случай их — системы, содержащие гироскопы), но и в различных других физических системах (см. примеры 8 6.7). Из дифференциальных уравнений (3.19) приведенной системы легко получить интеграл энергии Лз + И' = Лз + П вЂ” Лв = сопок (3.23) Этот интеграл может быть получен формальными методами, но физически он очевиден — гироскопические силы, действующие на приведенную систему, не производят работы и, следовательно, они не могут изменить общий баланс энергии.
$ 3.4. Стационарное движение и условия его устойчивости При некоторых условиях материальная система, имеющая т циклических и з позиционных координат, моньет совершать стационар>ьое движение, которое состоит в том, что все позиционные коорди оты и циклические скорости сохраняют постоянные знаке>ьия, равные начальным. Условия, при которых осуществляется стационарное дни>кение, легко получаются из следующих очевидных соображений. Согласно определению в стационарном движении, все позиционные координаты сохраняют постоянное значение: цз (Т) = дз, = сопз1 (к = 1,...,,).
Это означает, что приведенная система находится в покое. Но для этого, согласно равенствам (3.1), необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы (3.21) этой системы равнялись нулю, т. е. 87 г гл. стациоиАРНОГ движении или, учитывая, что в стационарном двнл!ения (равновеспн приведенной системы) все 4г = 0: (3.24) Принимая во внимание выражение (3.20) для потенциальной энергии И' приведенной системы, этим условиям можно придать и другой вид, а именно: ( — ) = ( — ') (1=1,..., г). (3.25) Таким образом, для осуществимости стационарного движения необходимо и достаточно, чтобы начальные значения позиционных координат д! удовлетворяли г равенствам (3.24) и все начальные вначения позиционных скоростей о! равнялись нулю (при о = сопзФ и о = 0 все циклические скорости ф будут сохранять постоянные значения).
Отметим, что в функцию Лг входят постоянные с! циклических интегралов (3.11), поэтому значения д ! в стационарном движении зависят от циклических скоростей ф, содержащихся в ср Перейдем теперь к определению условий устойчивости стационарного движения, которое будем считать за не- возмущенное движение. Не нарушая общности, можно считать, что в стационарном движении все позиционные координаты д равны нулю.
Тогда уравнения движения (3.19) приведенной системы будут дифференциальными уравнениями возмущенного движения относительно позиционных координат о! и скоростей д!. Раусу принадлежат несколько теорем об устойчивости стационарного движения. Здесь приводится одна из них, получившая наибольшее распространение. Теорема Рауса. Если ц стационарном движении потенциальная энергия И' = П вЂ” Вг приведенной системы имеет минимум, то зто движение устойчиво относительно погиционнм с координат д! и скоростей ем по крайней мере для возмущений, не нару!иающит значения циклических интегралов (3.11). Доказательство.
Прн стационарном движении исходной системы приведенная система находится в покое, Кроме того, для этой системы имеет место интеграл энергии (3.23). Поэтому для доказательства теоремы Рауса достаточно повторить доказательство теоремы Лагранжа, 03 ГЛ. »Н. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ Теорема Рауса в данной формулировке справедлива, конечно, для возмущений, прн которых не нарушаются циклические интегралы (3.11) (так как последние входят в потенциальную энергию приведенной системы через функцию г>о). Ляпунову принадлежит существенное дополнение к этой теореме, устраняющее этот недостаток.
Ниже приводится без доказательства дополнение Ляпунова в форме следующей теоремы '). Теорема. Если потенциальная энергия ИГ приведенной системы имеет минимум как при данных р; =- с>, отвечающих рассматриваемому стационарному движению, так и при всяких достаточно близких к данным значениях р> = = с> + цр где Ч> малы по модулю, причем значения переменных дю обращающие ее в минимум, суть непрерывные функции величин рп то стационарное движение устойчиво относительно ц» и д».
Примечание. Циклические интегралы (3.11) содержат позиционные д и циклические ф скорости линейно. Поэтому иэ устойчивости стационарного движения относительно величин д» и д» следует устойчивость иотносительно циклических скоростей ф (но не координат >р). Необходиио отметить, что устойчивость стационарного движения может быть осуществлена и при отсутствии минимума потенциальной энергии (за счет гироскопических сил). Поэтому распространить теоремы Ляпунова и Четаева об обратимости теоремы Лагранжа на стационарное движение нельзя.
Однако для гироскопически несвязанной системы справедлива следующая теорема, являющаяся перефразировкой теоремы Четаева об обратимости теоремы Лагранжа. Теорема. Если для изолированного стационарного движения гироскопически несвязанной системы при фиксированных циклических интегралах (3,11) функция >т>, предполагаемая ан литической функцией переменных д, >се имеет мини ума, то стационарное движение неустойчиво. В заключение отметим, что для практического применения теоремы Рауса достаточно заметить, что при выпол- ') А. М. Ляпунов приводит свое дополнение к теореме Реуса без доказательства.
В, В. Румию>ев в работе (461 доказал зто дополнение в предположении нсирерь>вности функции ТУ, В ззой жо работе 'приводитск нзкболзе полное изложение теории устойчивости стационарных дви>пений; честь результатов принадлежат В. В. Румянцеву.
В работах (24з, 53б, 53в) прнводктск условии обратимости теоремы Рзусв и, кзк следствие условии обрзтилюсти, теоремы Лзгрвпжз — Дирихло. 1 3.5. пРимеРы пении ее условий функция И' — Игз будет определенно- положительной (Иго — значение функции И в стационарном движении). Поэтому здесь рационально использовать обычный прием разложения этой функции в ряд с последующим применением критерия Сильвестра. й 3.5. Примеры В примерах 1 и 2 3 2.6 устойчивость стационарных движений конического маятника и ИСЗ была доказана с помощью связки интегралов. Получим теперь эти же результаты с помощью теоремы Рауса.
Пример 1. Устойчивость стационарного движения конического маятника. Ранее были найдены следующие выражения для кинетической Т и потенциальной П энергий маятника (см. рис. 2Л4 и формулы на с. 38); 1 Т = — т!1(01+ фзз1пз О), П = — тд1соз О. 2 Из этих выражений видно, что координата ф циклическая (опа входит в кинетическую энергию только через скорость ф и пс содержится в потенциальной энергии), а координата О позициоиная.
Составим, согласно формуле (3.11), циклический интеграл р = = ти з(пз Оф = с. дТ С3.20) Отсюда вайдам ф и внесем его в выражение для квнетической энергии: с сз Ф= РВ1паО Т*= 2 ИО'+ 2 тр.1п О. Пользуясь формулой (3 Л2), составим функцию Рауса 1 сз г * сф — 2 + 2 тиз(п О ' т!зз(пзО или ! 1 сз 2 ™ 2 1зг" а(па 0 Отсюда видно. что (см, равенство (3Л4)) 1 сз )'1 = 2 т)зО, В1 =О, Вз = — 2 1п!зз!пзО Так как Н = О, то система гиросиопичесии не связана. Согласно общей теорйи, составим потенциальную эиергию й' = П вЂ” !1, пэю ведевной системы: 1 сз П' = — тй!соз .)- 2 т!зз(пзО (3.27) 90 ГЛ.
НЬ УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ Обозначим значение угла О в установившемся движении через сс, а значение циклической скорости ф через ю. Условие (3,24) осуществимости стационарного движения принимает вид ( — ).== д1У~ сэ сое и дО)е- тй) '" т(зз)пза =0 (3.28) илп, после преобразований, з1паа сэ соз а тздуэ (3.29) Это равенство определяет однопараметрическое семейство решений уравнения (3.28), причем соответствующая величина угловой скорости конического маятнива определяется равенством (3.26) с т(з в1п'а (3.30) Исключая пз равенств (3.29) и (3.30) параметр с, найдем И ыт сов а =— Каи уже отиечалось в примере 1 4 2.6, зто условие стационарного движения конического маятника может быть получено из элементарных сообра1вений, Примем стационарное движение мантника за невозмущенное п исследуем его устойчивость с помощью теоремы Рауса с дополнением Ляпунова.
Положим О = а + х, внесем в выражение (3.27) для функции И' и разло1кнм разность Иг — Иге в ряд по степеням х: (дО)= 'х+ 2 ( Ю )= ' +'' или, учитыван равенство (3.28), 1 гдэИга (У-)У.= — ( — „, ) х*+... где точками обозначены члены, содержащие х в степени выше второй. Вычисляя производную, найдем сэ э1пза -)-Зсоэ'а 11 И' — И'э = —.
С(и~д1 соэ а+— ' — 2~ тИ е)пз а '1 хэ+... Тан как множитель прн хз положителен, то функция И' имеет в стационарном движении минимум. Кроме того, для вснкого я О = аэа-у решение (3 29) непрерывно зависит от постоянной с интеграла (3.26), а циклическая скорость ф = ыневрерывно зависит от тои же постоянной при О = а ~ О. Поэтому на основании теоремы Рауса и дополнения Ляпунова стационарное движение конического маятника устойчиво относительно О, О и ф.
Пример 2. Устойчивость стационарных двичсений центра масс искусственного 6 3.6. прнмер)я спутник а 3 ем л и [46). В примере 2 4 2.6 были получены следующие выражения для кинетической Т и потенциальной П энергий искусственного спутника Земли (см. рис. 1.5 и формулы на 26); т Т =- — ( л ' 'с лйцл+гаО'), 2 ч т П = — )л— г Из этих вырахлений видно, что координата у циклическая, а координаты г и О позиционные. Циклической координате ф соответствует интеграл площадей дТ о — ° =- олгл сова Оф г. дЧл Из этого равенства найдем производную ф и внесем ее в выражение для кинетической энергии: с тгесоэеО ' 2 (" + г ) + 2 тллсовлО Пользуясь формулой (ЗП2), составим функцию Рауса т ..
1 сл Л = Те — сф =, — (г'+ г'О') -)-— 2 2 тг'созл0 тг* соз'Π— с или п~ .. 1 сл Я = — (гэ+ гл02) —— 2 2 тгесое'0 Отслода видно, что (см. равенство (ЗЛ4)) т 1 гл 2 (" +" )' '' ' е 2 тгасоэ'0 Так как 77л = О, то система гироскопически не связана. Согласйо обплей теории., составим потенциальную энергию И' = П вЂ” 77 приведенной системы т 1 сл Иг = — р — -)-— г 2 тгэ созе О (3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
