Устройства СВЧ и Антенны (Д.И. Воскресенский и др) (561333), страница 17
Текст из файла (страница 17)
5.3) результирующая классическая матрица пере- дачи этих многополюсникаа определяется как произведение матриц передачи отдель- ных многополюсников, причем порядок следования многополюсников определяет по- рядок перемножения матриц: Т=Т, Т,. (5.24) Однако следует отмстить, что матрица Т, как и матрицы 2 и Х. определена не шы всех устройств СВЧ, а лишь для тех из них, дяя которых при выделенных группах входных и выходных клемм определены матрицы взаимных сопротивлений и прово- димостей,т е. определены блоки В и С. Волновая матрица передачи устройства СВЧ применительно к их каскадному со- единению также обладает мулыинликативным свойством (5.24), т.е при каскадном со- единении многополюсников их резулширующая волновая матрица передачи определя- ется произведением волковых матриц каждого из многополюсников в порядке их сле- дования.
Волновая матрица передачи зу связывает линейной зависимостыа амплитуды па- дающих и отраженных волн на входных клеммах эквивалентного многополюсника с амплитудами падающих и отраженных воли на выхолных клеммах многополюсника (см. рис. 5.2): Ч,=О цп где еп — столбец, составленный из амплитуд падающих а, и отражекиых Ь, волн на первой группе входов: Ч, =[оп,азо...,анпЬ„,Ьзо...,бн,[,; Чз — столбец, составленный из амплитуд отраженных Ьз и падающих в, волн на второй группе входов: цз [1зз'Ьзз "' Ьмз 'з12 азз' амз[,. Последнее равенство может быть представлено в развернутом аиде: откуда следует, что, как и матрица Т, волновая матрица в общем случае — прямоуголь.
ная ниместрюмерность 2Фх2М. Следует отметить, что элементы блоков волновой матрицы передачи не имеют четкого физического смысла, а сама матрица О опрелелена ие лля всех устройств СВЧ и ограниченно применяеюя на практике, Зависимость матриц внешних характеристик от иелалсеннл кчеммнык аласкостей. Как отмечалось в и. 5.1, смещение клеммных плоскостей вдаль входных линий передачи приводит к изменению матриц внешних характеристик. Это обьясняется тем, что при амещенни клеммных плоскостей изменяются фазы падающих и отраженных волн.
Если обозначить через а„и Ь амплитуды падающей и отраженной воли на и-м входе устройства СВЧ до смещение клеммньш плоскостей, то после смещения получим -ь где Ь, — продольнзя постоянная распространения в и-й входной линии передачи', 1,— величина смешения ктеммной плоскости вдоль входной линии передачи, причем 1„> О при смещении в сторону устройства СВЧ, 1„< 0 при смешении от устройства СВЧ. В матричном виде соотношения для Ы„и Ь„' имеют вид а'= 1.
'а, Ь'=1.Ь, где Š— диагональная матрица, элементы которой определяются как Ь„= ехр(г 1г, 1„) . Определив из этих соотношений а = Ьа' и Ь = 1. 'Ь' и подставив их в формулу, определяющую матрицу рассеяния 15 15), получим 1. 'Ь'= ВЬа'. Отсюда находим Ь' = ЕЯ а' . Так как а' и Ь' связаны друг с другом через мюрицу рассеяния б', соответствующую смещенным клеммным плоскостям Ь'=б'а', сравнивая это равенства с последним соотношением, находим б'= ЕЯЕ. Так как матрица 1.
— диагональная, то из этого равенства дегко установить аналитическую связь между элементами матриц Я' и Б ь з,' =е „ехр(1Ь, 1„ейб 1„), Очевидно, что при смешении клеммных плоскостей изменяются матрицы Х и К Однако нс удается получить простой акааитичсской связи между элемснтын матриц сопротивлений и проводимостей до и после смешения клеммных плоскостей. Матричные же соотношения длл Х' и з" получаются подстановкой Б' в (5.20). 53. Матрицы внешыих характеристик взаимных устройств СВЧ. Матричные формулыровкы леммы Лореыцл В технике СВЧ большой класс устройств составляют взаимные устройства СВЧ, Как известно нз электродинамики, взаимность электродннамической структуры прн Отсутствии сторонних источников поля формулируется а виде леммы Лоренца, которая в интегральной форме имеет внд С~ ( ~йпн,|-~Е„Н,1 )45=О, (5.25) где применительно н произвольному (обобщенному) устройству СВЧ (рис.
5.4) 5е — замкнутая поверхность, ограничивающая обьем 1' устройства СВЧ, Ео Н, и Е, Нз — электрические н магнитные поля внутри устройства СВЧ, соответствующие двум независимым возбуждениям этого устройства; г(б=нл5 — векторный элемент поверхности; и — внешняя по отношению к объему Р нормаль к поверхности 5э Поверхность 5ь огРаничивающая устройство СВЧ, состоит из идеально щюводящей поверхности 5,' и клеммнай Рнс. 5.4.
Обобщенное поверхности 5х =5х, +5ззэ - ь5, пРедстав- усгролегэо СВЧ лающей собой совокупность поперечных сечений 5 „входных линий передачи устройства СВЧ. Вычислив поверхностный интеграл в (5.25) с учетом того, что значение этого интегРала по 5е Равно нУлю, а по 5з Равно сУмме интегРалов по каждомУ из поперечных сечений входных волноводов, получим (5.2б) тле 1о н, и 1з„нн — столбцы токов и напряжений на клеммах эквивзлентного многополюсннка, соответствующие каждому из двух независимых возбуждений входов устройства СВЧ. Подставив в(5.26) н, =Хй и а =Х1,, получим г,(Х вЂ” Х,)1, = О. При этом учтено, что в, = (Х1 ), =1, Х,. Так как в последнем равенстве токи 1, и 1г взяты независиммми и произвольными, Х=Х. (5.2т) В теории матриц данное равенство определяет макриду Х как симметрическую, т.е, элементы этой матрицы, стоящие симметрично относительно ее главной диагонали, Равны друг другу;,, = г ПодставлЯЯ в (5,26) значениЯ 1, = Хи, и 1з = Ъ'нз, а также пРоводЯ РассУждениЯ, аналогичные ракее проделанным, получаем Ъ' = Ъ; .
(5.28) Предстааим условие взаимности устройства СВЧ (5,2б) через его матрицу рассеяния. Для этого подстааим значения токая и напряжений а (5.2б), выраженные через амплитуды падающих и отраженных волн го (5.3). Учитывая определение матрицы рассеяния (5.15), получаем Б=Б,. (5.29) Таким образом, взаимные устройства СВЧ имеют синнемрическне матрицы Е, Х иБ,для которых г =с „, у „=у„„, з„=з . В матричномаидеуслоеиевзаимности определяется равенствами (55П), (5,25) и (5.29).
5.4. Баланс эыергыы в устройствах СВЧ, Матрвчыые формулыровжн теоремы Поыытныга Из злектролннамики известно, что теорема Пойитинга, определяющая баланс электромагнитной энергии для некоторого объема У, ограниченного замкнутой поверхностью Бе, устанавливает фунламентаяыгые свойства по1ш: запасать а этом объеме электромагнитную энергво, преобразовьвать ее в другие аиды энергии, например, а тевюаую, а также обмениваться энергией со саободным пространством через поверхность Бь Сформулируем уравнения баланса энергии в терминах внешних характеристик устройстаа СВЧ и огйзеделим саойства матриц Е, Х и Б, вытекающие из матричных уравнений баланса.
Осноаой длл такого анализа является интегральная формулировка теоремы Пойнгннга: (~~е,Й~аб =го (~сеец - ~РПЙь ~- ~пееь. (5.30) ) В этом соотношении применены те же обозначения, что и а (5.25); с,д,гг — материальные параметры среды, заполняюшей устройство СВЧ; Е,Н вЂ” векторы электрического и магнитного полей внутри объема 1', соответствующие произаольному возбужлению устройства СВЧ.
Вычислив поверхностный интеграл в (530) аналогично тому, как эго делалось при вычислении поверхностного интеграла а (5.25), получим — ~~г и ш =аде(йк — Ил) — 2Р„, гле Ос =0,25)сйййг, Ын —— 0,25)РНЙог — средняя энергия, накаплиааемая элек- трическим и магнитным волями внутри устройства СВЧ; Р„=0,5)пЕЕЙ вЂ” средние тецлоаые потери в устройстве СВЧ. Каждое слагаемое в сумме, стоящей а левой части последнего выражения, определяет комплексную мощность на соотаетствуюшем аходе устройстаа СВЧ. Представив сумму в уравнении баланса в матричном виде, получим !»=4иа(йи Ог)>ЪР. (5.3!) Эдесь знак еплюсъз над символом столбца тока означает операцию эрмитова сопряженна, т.е.
последовательно выполняемые операции транспоинроаания и комплексного сопряжения: 1 = 1~ Разделим комплексное уравнение (5.3!) на два действительных, выделив а левой части действительную и мнимую части: 0,5 (!в >и() =2Р„, (5.32) 1(Х в 2)1 = 4 Р„, 1(Х-2)1=8гт(йв-О,), а(Ъ' ' Ъ')и =4Р„, а(Ъ' — Ъ)н = 8еа (И гг — )Рг ), (5.34) (5.35) (5.36) (5.37) Приэтом учтено,что а=(21) =гХ, г=(Ъв)'=иЪ'. Итак„левые части уравнений (5.34) и (5.30) определяют тепловые потери внутри устройства СВЧ для заданных столбцов тока! и напряжения н.
Левые части уравнений (5.35) и (5.37) определяют разность средних энергий, запасаемых магнитным и электРическим полями в устройстве СВЧ. Так как при любых возбуждаюших токах и напряжениях на входах эквивалентного многаполюсннка Р, > О, из (5.34) и (53б) следует, что при любых 1 и и справедливы неравенства ЦХ в Х)1 > О, (538) и(У в У)а > О. (539) В теории матриц левые части этих неравенств называют эриитавыми фориими, а сами неРавенства определяют их как иватричатвльва алрвдвлвввыв. при отсутствии потерь а (5.38) и (5.39) лля л~абых 1 и в левые части равны нулю. Поэтому равны нулю матрицы эрмитавых форм 24Х=.О, \.'>Ъ'=О (5.40) Таким образом, если матрицы Х и у многаполнкника, эквивалентного устройству СВЧ, удовлетворяют условиям (5.40), то такой многополюскик ниывается рввктивлыт или ивдиссипативвым, т.е а нем нет тепловых потерь.
Следует отметить, что в случае взаимных устройств СВЧ, для которых Х= 2 и У = Т,, условия отсутствия потерь (5.40) упрошаются н принимтот вид 77 0,5 (1о — и)) = 4ев(О'г -О' ). (5.33) Используя этн соотношения, находим уравнениа баланса в терминах матриц Х и Ъ'. Дг!я этого в (5 32), (5.33) подставим значения напряжения и=2! тока 1=ун Тогда получим гех=о, У У=О. Представив матрицы Е и У в виде суммы действительной н мнимой частей (5.14)„ из (5.40) можно сделать вывод, что в общем случае должны выполняться равенства К= — К„Х=Х„т.е. при отсутствии тепловых потерь матрица К эквивалентного многополюсннка является кососнмметрической, а матрица Х вЂ” симметрической.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
