02Глава21-22 (561019), страница 4

Файл №561019 02Глава21-22 (Полезная книга) 4 страница02Глава21-22 (561019) страница 42015-11-25СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Базисы {/\,¯} и {\/,¯} являются минимальными.

Другие базисы:

а) { ,/\,1}- функционально полная система (это следует из теоремы Жегалкина);

б) функция импликации и константа 1: {x→y,1};

в) функция импликации и инверсии : {x→y,¯}.

Пример. Доказать, что функция Шеффера образует полную систему

f14(xy)=x | y= .

Доказательство. Выразим ¯ и /\ через функцию Шеффера:

Так как {¯,/\} – полная система, утверждение доказано.

Пример. Выразим функцию, используя только функцию Шеффера:

.

Пример. Доказать, что А↓В образует функционально полную систему

Так как инверсия и дизъюнкция выражаются только через функцию «стрелка Пирса», а {¯,\/} – функционально полная система, то А↓В является функционально полной системой.

Пример. Выразить функцию, используя только функцию «стрелка Пирса»:

Выбор функционально полной системы по таблице.

Пример. {\/,¯}.

Инверсия – не сохраняет 0 и 1 и не монотонна, \/ - не самодвойственна, не линейна.

Пример. { ~ , ¯ }.

Обе функции самодвойственны. Система { ~ , ¯ } не полна.

Можно показать, что из всякой полной системы функций можно выбрать полную подсистему, содержащую не более четырех функций. Пусть { f1, f2,…, fn} – функционально полная система. Тогда среди fi найдется fk , не сохраняющая константу нуль, т.е. fk(00…0)=1.

Если fk(11…1)=1, то эта же функция не самодвойственна, так как fk(00…0)≠0.

Если же fk(11…1)=0, то эта же функция не сохраняет константу 1 и не монотонна.

Присоединив к fk недостающие три функции, получим систему, состоящую не более чем из четырех функций.

Пример. Составить минимальный базис, включающий функцию

f11(xy)=y→x.

f11(xy) Є К1. Значит, надо добавить любую функцию, которая не принадлежит классу К1. Существует 6 минимальных базисов, содержащих функцию f11(xy). Это {f0,f11}, {f2,f11},{f4,f11},{f6,f11},{f10,f11},{f11,f12}.

Базисы {f8,f11} и {f11,f14} не минимальны, так как f8 и f11 и сами функционально полны.

Пример. Выразить функцию в системе {f0,f11}:

Для преобразований используем систему {\/,/\,¯} как основную:

Глава 2.2. Минимизация булевых функций.

§1. Сокращенные, тупиковые и минимальные формы булевых функций.

ДНФ (КНФ) называется минимальной, если количество букв, которые она содержит, будет не больше, чем в любой другой ДНФ (КНФ) той же функции.

Пусть на каком-то наборе аргументов функция f1(x1 x2 … xn) принимает значение α1 , а функция f2(x1 x2 … xn) - значения α2 . Тогда говорят, что функция f1 на данном наборе накрывает значение α2 функции f2 своим значением α1.

Аналогично можно сказать, что функция f2 на данном наборе накрывает значение α1 функции f1 своим значением α2.

Пример. f11(xy)= m0+m1+m3.

Каждый минтерм накрывает своим значением единица на соответствующем наборе единичное значение функции f11 , а все минтермы, входящие в СДНФ функции, накрывают значениями единица все единицы функции.

Определение. Если некоторая булева функция φ равна нулю на тех же наборах, на которых равна нулю другая функция f, то говорят, что функция φ входит в функцию f:

.

Таким образом, функция φ накрывает нулями все нули функции f и, следовательно, имеет не меньше нулей, чем функция f.

Пример.

а) Любой минтерм СДНФ функции f входит в f; f6(xy)= m1+m2 и равна 0 на наборах ,

f0(xy) f6(xy);

f4(xy) f6(xy);

f2(xy) f6(xy);

б) Функция f0=0 – входит в любую булеву функцию.

в) В функцию

- входят все функции n переменных.

Определение. Функция φ, входящая в данную функцию f, называется ее импликантой.

Собственной частью конъюнкции называется конъюнкция, полученная из данной конъюнкции путем исключения одного или нескольких сомножителей.

Простыми импликантами булевой функции называются такие элементарные конъюнкции, которые сами входят в данную функцию, но никакая собственная часть этих конъюнкций в эту функцию не входит.

Пример. имеет собственные части

Пример. Пусть выполняется условие

Значит, - простая импликанта функции f(xyz).

Пример. Рассмотрим функцию, представленную в табл.16.

Таблица 16

x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1

f(xzy) 0 0 0 0 1 0 1 1

xyz 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0

xy 0 0 0 0 0 0 1 1

В эту функцию входят xyz, , , xy, так как они равны нулю на всех наборах, где f(xyz)=0, но простыми импликантами будут и xy.

Теорема. Любая булева функция равна дизъюнкции всех своих простых импликант.

Доказательство. Так как все простые импликанты входят в данную функцию (по определению), то они равны нулю на всех наборах, на которых функция равна нулю. Следовательно, и дизъюнкция их равна нулю на тех наборах, где равна нулю функция.

Так как СДНФ функции есть дизъюнкция элементарных конъюнкций, а простые импликанты есть собственные части этих конъюнкций, то на тех наборах, где СДНФ функции равна 1, обязательно равна единице и одна из простых импликант. Таким образом, дизъюнкция простых импликант принимает значения 1 на тех же наборах, что и сама функция.

Теорема доказана.

Дизъюнкция всех простых импликант называется сокращенной ДНФ функции. Любая переключательная функция имеет единственную сокращенную ДНФ.

§2. Метод Квайна.

Этот метод используется для получения сокращенной ДНФ функции из СДНФ ее с помощью операций неполного склеивания:

и поглощения A+AB=A.

Теорема Квайна. Если в СДНФ булевой функции провести все операции неполного склеивания, а затем все операции поглощения, то получится сокращенная ДНФ этой функции, т.е. дизъюнкция всех ее простых импликант.

Доказательство теоремы проверять не будем.

Чтобы получить все простые импликанты, так как один и тот же член дизъюнктивной формы может склеиваться с несколькими другими, образуя при этом различные импликанты, после склеивания исходный член следует сохранить.

Алгоритм метода Квайна.

  1. Провести все возможные склеивания минтермов, входящих в СДНФ функции. В результате образуются элементарные конъюнкции ранга (n-1).

  2. Так как склеиваться могут только элементарные конъюнкции одного ранга, то в дальнейших склеиваниях минтермы не участвуют, поэтому следует выполнить операции поглощения.

  3. Над полученными элементарными конъюнкциями ранга (n-1) повторить операции склеивания и поглощения, образовав элементарные конъюнкции нижнего ранга, и т.д.

  4. Процесс заканчивается, когда дальнейшее склеивание оказывается невозможным.

  5. Оставшиеся в результате поглощения элементарные конъюнкции являются простыми импликантами функции, а дизъюнкция их есть сокращенная ДНФ функции.

Пример. Найти сокращенную ДНФ функции:

СДНФ функции

Приводим алгоритм метода:

Здесь \/ - отметка поглощения.

Сокращенная ДНФ функции:

Пример. Найти сокращенную ДНФ функции:

СДНФ функции

Проводим операции склеивания и поглощения:

Сокращенная ДНФ функции

§3. Гарвардский метод.

Метод, разработанный в Гарвардском университете, позволяет находить сокращенную ДНФ функции с использованием специальных карт для записи булевых функций соответствующего числа переменных.

В столбцах карт перечислены все элементарные конъюнкции функции n переменных, содержащие от 1-й до n букв.

Алгоритм Гарвардского метода.

  1. Внести в карту для функции соответствующего числа переменных значения функции на всех наборах.

  2. Вычеркнуть все строки, где записаны нулевые значения функции.

  3. В каждом столбце таблицы вычеркнуть числа, совпадающие с числами в вычеркнутых строках данного столбца.

  4. Из каждой не вычеркнутой строки выбрать элементарную конъюнкцию, содержащую наименьшее количество букв двоичный эквивалент которой остался не зачеркнутым.

Пример. Найти сокращенную ДНФ функции:

Карта для заданной функции приведена в табл.17.

В результате получаем

.

Нетрудно убедиться, что в полученной сокращенной ДНФ импликанту можно исключить:

Таблица 17.

Простая импликанта, которую нельзя исключить из сокращенной ДНФ функции, называется существенной импликантой.

Дизъюнкция существенных импликант функции называется тупиковой ДНФ заданной функции.

Некоторые булевы функции имеют несколько тупиковых форм. Тупиковая ДНФ функции называется минимальной (МДНФ), если количество букв, которое она содержит, будет не больше, чем в любой другой ДНФ той же функции.

Отсюда следует, что для отыскания минимальных форм достаточно получить все тупиковые формы заданной функции и выбрать среди них минимальные.

§4. Метод импликантных матриц.

Рассмотрим графический метод отыскания тупиковых форм функции из сокращенной ДНФ.

Импликантная матрица представляет собой таблицу, столбцы которой соответствуют всем конституентам единицы СДНФ заданной функции, а строки – всем простым импликантам.

В таблице по строке каждой импликанты отмечаются те минтермы, которые ею поглощаются.

Чтобы получить минимальную ДНФ заданной функции, достаточно найти минимальное число импликант, которые совместно накрывают все столбы импликантной матрицы, если в каком-либо из столбцов составленной импликантной матрицы функции имеется только одна отметка, то соответствующая ей импликанта является обязательной и обязательно входит в тупиковую форму функции, так как без нее будет получено накрытие всего множества минтермов.

Для случая имеем импликантную матрицу, представленную в табл.18.

В данном случае импликанты AC и являются обязательными. Их сумма покрывает все минтермы, следовательно, тупиковая форма Она единственна и поэтому является минимальной.

Таблица 18.

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
7,14 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее