cw3 (557387), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Кроме того, будем полагать, что входнойсигнал масштабирован, и его максимальная амплитуда Аmax = 1.Масштабированы пусть будут и коэффициенты фильтра, так чтомаксимальное значение коэффициента передачи в полосе пропускания равноединице. В этом случае можно считать, чтоPш = A2max/2 ⋅10 – (R+D)/10 .(6)- 26 В соответствии с линейной шумовой моделью фильтра на входе фильтраи на выходе каждого умножителя «точно» представленные отсчёты сигналовсуммируются с шумом квантования:v[n]bkbkv[n]+e[n]e[n] – шумквантованияСхема фильтра, таким образом, включает в себя несколько источников шумаквантования.
Их количество равно числу умножителей плюс единица(учитывается шум квантования входного сигнала). Все источники шумасчитаются независимыми. В случае округления результатов умноженийдисперсия шума квантования равнаσ2=2 – 2p/12,(7)где p – количество разрядов сигнала на выходе умножителя (без учётазнакового). На выходе фильтра каждый источник шума квантования создаётшум с дисперсией σ2вых i =σ2 Σ(gi[n])2, где gi[n] – импульсная характеристикаnчасти фильтра от i-го источника шума до выхода. Суммирование квадратовотсчётов импульсной характеристики ведётся для всех номеров n, прикоторых значения gi[n] существенны (не являются пренебрежимо малыми).Всилу независимости источников шума полная дисперсия шума квантованияна выходе фильтра равна сумме дисперсий отдельных источников:σ2вых=Σσ2вых i .
В результате анализа, основанного на изложенном подходе,iможно определить , как связаны дисперсии шума квантования на входе ивыходе цифрового фильтра для различных структур фильтра.1) Прямая и транспонированная структуры.σ2вых=σ2вх( Σ(g[n])2+(k+m)Σ(gрек[n])2),(8)где k – количество умножителей в обратных связях (с коэффициентами a),m – количество умножителей в прямых связях (с коэффициентами b),gрек[n] – импульсная характеристика рекурсивной части фильтра.- 27 -В случае прямой структуры, как видно из её схемы (см. подраздел 6.1), шумвсех умножителей проходит только через рекурсивную часть (умножители скоэффициентами a), в то время как входной шум проходит через весьфильтр.
То же самое можно сказать и о транспонированной структуре (см.подраздел 6.3). Дисперсия шума умножителей равна дисперсии входногошума σ2вх, поскольку, как указывалось выше, отсчёты сигнала вездепредставлены одинаковым количеством разрядов p. Следует отметить, чточисла k и m необязательно равны количеству коэффициентов ak и bk , т.е.числам N и M+1 соответственно, так как некоторые из коэффициентов могутбыть нулевыми или равняться единице. В этих случаях умножители неприменяются.2) Каноническая структура.σ2вых=σ2вх ((k+1)Σ(g[n])2 + m).(9)Анализ канонической структуры (см. подраздел 6.2) показывает, чтовходной шум и шум умножителей рекурсивной части (коэффициенты a)проходят через весь фильтр, а шум умножителей с коэффициентами bнепосредственно проходит на выход.3) Каскадная структура со звеньямитранспонированных структур.ввидепрямыхσ2вых=σ2вх cL, причём cL вычисляется через коэффициенты сi:ci= ci-1Σ(gi[n])2 + (ki+mi)Σ(gрек i [n])2 , i=1,2,…, L,L – количество каскадов, c0=1.или(10)(11)Шум квантования, прошедший через первый каскад, характеризуетсядисперсией σ2вхc1.
Этот шум является входным для следующего каскада,поэтому дисперсия шума на выходе второго каскада σ2вхc2 и т.д. Из этогорассуждения становится понятным, каким образом составлены выражения(10) и (11).4) Каскадная структура со звеньями в виде канонических структур.σ2вых=σ2вхcL ,2где ci= (ki+ci-1)∑(gi[n]) + mi , i=1,2,…, L , c0 =1.(12)5) Параллельная структурасо звеньями в виде прямых илитранспонированных структур.(13)σ2вых=σ2вх (c1 +c2 +…+cL ) ,- 28 где ci=Σ(gi[n]) + (ki+mi)Σ(gрек i [n])2 , i=1,2,…, L,(14)L – количество параллельно включённых звеньев.6) Параллельная структура со звеньями в виде каноническихструктур.2σ2вых=σ2вх (c1 +c2 +…+cL ) ,2где ci= (ki+1)∑(gi[n]) + mi , i=1,2,…, L,(15)L – количество параллельно включённых звеньев.7) Нерекурсивный фильтр.σ2вых=σ2вх (Σ(g[n])2 + m) =σ2вх(Σbk2 + m)(см.
рис. на с.19) .(16)Допустимую дисперсию (среднюю мощность ) шума квантования навыходе можно рассчитать по формуле (6), в которой положить Аmax=1. Затемиз формул (8) – (16) выразить дисперсию входного шума квантования σ2вх,предварительно рассчитав отношение дисперсий для нужной структуры всоответствии с приведёнными выражениями. Далее на основании выражения(7) получаем наименьшее количество двоичных разрядов:p= int [ 0.5 log2 (1/(12σ2вх)) ] +1,(17)где int [⋅] – операция взятия целой части. С учётом знакового разряда нужнополученное по формуле (17) значение увеличить ещё на единицу.При работе в среде MatLab для расчёта наименьшей разрядности сигналаи выходных регистров умножителей цифрового фильтра можно применитьпрограмму minubit. Она вызывается следующим образом:>> minubit (b, a, D, R)Здесь b и a – векторы коэффициентов передаточной функции фильтра, D –динамический диапазон входного сигнала [дБ], R – допустимое отношениесигнал/ шум квантования на выходе фильтра [дБ].Программа рассчитывает наименьшее количество разрядов (с учётомзнакового) для структур перечисленных выше типов.
Если фильтррекурсивный, то производится расчёт для девяти структур (см. с. 26 – 28).Если фильтр нерекурсивный, то для одной структуры (см. с.28 и рис. на с.19).Результаты расчётов выводятся в командное окно по завершении работыпрограммы. Кроме наименьшей разрядности приводятся также значениядисперсии шума квантования на входе и выходе фильтра. Анализируяполученные результаты, можно выбрать оптимальную структуру,обеспечивающую заданное отношение сигнал/ шум квантования на выходефильтра при заданном динамическом диапазоне и позволяющую установитьсамую маленькую разрядность отсчётов сигнала по сравнению с другимиструктурами.- 29 9.3.
Расчёт дисперсии шума квантования на выходе фильтра призаданной разрядности отсчётов сигналаПоставим теперь задачу несколько иначе. Пусть разрядность входногосигнала, а также разрядность сигналов на выходах умножителей известна.Нужно рассчитать дисперсию шума квантования на выходах различныхструктур цифрового фильтра, обладающих одной и той же передаточнойфункцией K(z). Поскольку дисперсия входного шума однозначноопределяется количеством разрядов (см. (7)), то она одинакова для всехструктур, а так как выражения (8) – (16), связывающие дисперсии шумаквантования на входе и выходе различны, получается, что разные структурыбудут давать на выходе шум квантования различной средней мощности.Чтобы произвести расчёт, вызовите программу quanod:>> quanod (b, a, p)Здесь b, a – векторы коэффициентов передаточной функции цифровогофильтра; p – разрядность сигнала.
Программа рассчитывает и выводит вкомандное окно дисперсию шума квантования на выходе фильтра для девятиперечисленных выше структур рекурсивного фильтра или длянерекурсивного фильтра, если задан именно он. Выводится также и значениедисперсии шума квантования входного сигнала. На основании анализаполученных результатов можно выбрать оптимальную структуру,обеспечивающую наименьшую дисперсию шума квантования на выходе.10. Моделирование работы цифрового фильтраМоделирование работы цифрового фильтра предполагает заданиетестового сигнала, использование его отсчётов в качестве входных валгоритме цифровой фильтрации, нахождение выходного сигнала исравнение его с входным.
Кроме того, полезно рассмотреть спектры входногои выходного сигналов и сопоставить их с частотной характеристикойфильтра.10.1. Задание тестовых сигналовДанная процедура осуществляется в рабочей области MatLab. Сигналзадаётся в виде вектора, сопоставленного с вектором моментов времени.Перед вводом непосредственно модели сигнала нужно указать частотудискретизации и сформировать вектор-столбец моментов времени.Например,>> Fs = 1e3; t=0:1/Fs:1; t=t’;- 30 В данном случае введена частота дискретизации 1кГц. Сигнал будет заданна интервале времени 1с (1001 отсчёт).
Последний оператор означаетпреобразование вектора-строки в вектор-столбец ( ‘ – операциятранспонирования матрицы). Не следует забывать ставить точку с запятой вконце каждого оператора, чтобы подавить вывод значений на экранмонитора.Рассмотрим некоторые из возможных сигналов.а) Прямоугольный импульс.s(t)A0taut>> s=A* rectpuls (t – tau/2, tau);При вводе этого оператора либо нужно предварительно задать значенияамплитуды А и длительности tau, либо в самом операторе вместоидентификаторов А и tau поставить численные значения.б) Треугольный импульс.s(t)А0tau/2tau>> s= A * tripuls (t – tau/2, tau);t- 31 в) Экспоненциальный импульс.s(t)AAe-10taut>> s = A * exp ( - t / tau);Подразумевается, что вектор t задан для моментов времени t ≥ 0.г) Синусоидальный импульс.s(t)A0taut>> s = A * sin (pi * t / tau) .* (t>=0) .* (t<=tau);Здесь используется тот факт, что операции сравнения возвращают 1, еслинеравенство выполняется, или 0 в противном случае.д) Радиоимпульсы.Они получаются при умножении видеоимпульса s на гармоническоеколебание:>> s1 = s .* cos (2*pi*f0*t + phi);Предварительно нужно задать значение несущей частоты f0 и начальнойфазы phi.
Обратите внимание, что операция умножения представлена здеськак .* (точка перед знаком *). Это означает поэлементное умножение- 32 векторов (в противном случае производились бы операция матричногоумножения). В тех случаях, когда осуществляется умножение скаляров илиматрицы (вектора) на скаляр, можно использовать символ *. То же самоеотносится к операции деления и возведения в степень. Поэлементное делениематриц задаётся оператором . /, поэлементное возведение в степень . ^.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
