NikitinMathstat (554752), страница 2
Текст из файла (страница 2)
С учётом достаточно большого n = 61, можно говорить о нормальном распеределении. Построим интервал:Ŷ − YP (−u0.975 < p< u0.975 ) = 0.952σ L(X T X)−1 LT1.9267 + 2.1559x − 2.0601x2 − Y< u0.975 ) = 0.95P (−u0.975 < √1.3909 + 0.1364x − 0.0470x2 − 0.0211x3 + 0.0052x4P(√1.9267+2.1559x−1.9600 1.3909 + 0.1364x − 0.0470x2 − 0.0211x3 + 0.0052x4 −2.0601x2<Y<√1.9267+2.1559x+1.9600 1.3909 + 0.1364x − 0.0470x2 − 0.0211x3 + 0.0052x4 −2.0601x2 ) == 0.95Доверительный интервал для Y на уровне надежности 0.95 —√[1.9267+2.1559x−1.9600 1.3909 + 0.1364x − 0.0470x2 − 0.0211x3 + 0.0052x4 −2.0601x2 ,√1.9267+2.1559x+1.9600 1.3909 + 0.1364x − 0.0470x2 − 0.0211x3 + 0.0052x4 −2.0601x2 ]125Доверительная трубкаНа графике точками изображен график реального сигнала.Синем цветом показана фунция√y(x) = 1.9267+2.1559x+1.9600 1.3909 + 0.1364x − 0.0470x2 − 0.0211x3 + 0.0052x4 −2.0601x2Зеленым —√y(x) = 1.9267+2.1559x−1.9600 1.3909 + 0.1364x − 0.0470x2 − 0.0211x3 + 0.0052x4 −2.0601x2Красным —y(x) = 1.9267 + 2.1559x − 2.0601x2134Гистограмма по остаткам от регрессии1ВычисленияPp−1Вычислим остатки по формуле yk − j=0(θj xjk ), где = 4, k ∈ [1, 61].
То есть, ε0i =yi − ((1.92671594516) + (2.15591627026)xi + (−2.06011691356)x2i ).Остатки:1[6.4557882451400062, 4.0867758405103984, −4.8174272110344063,9.8431790905056005, 4.2685947451303932, −0.74118024715999553,−13.486145886365598, −8.9663021724863938, −0.38164910552240627,−6.1321866854735987, 3.1820850876600026, 1.4611662138783963,−9.1949433068183986, 3.9137565255695996, 7.7772657110424017,−10.174415750400001, −9.0712878587575982, −1.0833506140303992,−0.57060401621840029, 9.2569519346783995, 9.2493172386599998,0.2594918957264003, 6.7184759058776002, 2.6852692691136002,2.9168719854344003, −3.22671594516, 1.3745054773303997, 8.3405362529056006,3.3113763815656001, −8.1729741366896, 3.1874846981399996, −1.2192471139456,−1.8771695729464002, −5.0222826788623998, 1.1374135683064002,−6.3380808314400001, 9.1412341218983997, −3.1546415716783995,−1.6057079121703985, −14.611964899577602, 3.2465874661000012,0.36994918486240103, −0.14187974329040465, −7.1888993183583985,5.1288904596584004, 6.9114895907599987, −6.0411019250536029,5.8711159122175971, −4.4518568974264099, 3.6899796460144003,6.7966255425399993, 13.468080792150403, −3.2956546051543967,−8.9945806493744058, −0.22869734050960489, −4.3980046785599995,6.3974973364744017, −5.8421912954063941, 0.48292942579759313,−2.0271404999136138, 1.5275989274599908]Отсортированные остатки:1[−14.611964899577602, −13.486145886365598, −10.174415750400001,−9.1949433068183986, −9.0712878587575982, −8.9945806493744058,−8.9663021724863938, −8.1729741366896, −7.1888993183583985,−6.3380808314400001, −6.1321866854735987, −6.0411019250536029,−5.8421912954063941, −5.0222826788623998, −4.8174272110344063,−4.4518568974264099, −4.3980046785599995, −3.2956546051543967,−3.22671594516, −3.1546415716783995, −2.0271404999136138,−1.8771695729464002, −1.6057079121703985, −1.2192471139456,−1.0833506140303992, −0.74118024715999553, −0.57060401621840029,−0.38164910552240627, −0.22869734050960489, −0.14187974329040465,0.2594918957264003, 0.36994918486240103, 0.48292942579759313,1.1374135683064002, 1.3745054773303997, 1.4611662138783963,141.5275989274599908,3.1820850876600026,3.3113763815656001,4.0867758405103984,5.8711159122175971,6.7184759058776002,7.7772657110424017,9.2493172386599998,13.468080792150403]2.6852692691136002,3.1874846981399996,3.6899796460144003,4.2685947451303932,6.3974973364744017,6.7966255425399993,8.3405362529056006,9.2569519346783995,2.9168719854344003,3.2465874661000012,3.9137565255695996,5.1288904596584004,6.4557882451400062,6.9114895907599987,9.1412341218983997,9.8431790905056005,На интервале [−14.61, 13.47] построим гистограмму.
Длинна интрервала равна 28.08.Разобъем интервала на 8 отрезков. Обычно, длины отрезков выбираеются равными,но это совсем не обязательно. Все наши отрезки будут иметь длину hk = 3.51.Граничные точки отрезков будут:[’−14.6’, ’−11.1’, ’−7.6’, ’−4.1’, ’−0.6’, ’2.9’, ’6.4’, ’10.0’, ’13.5’, ’17.0’]1Отрезки имеют вид:12345678[[[[[[[[−14.61, −13.49,]−10.17, −9.19, −9.07, −8.99, −8.97, −8.17,]−7.19, −6.34, −6.13, −6.04, −5.84, −5.02, −4.82, −4.45, −4.40,]−3.30, −3.23, −3.15, −2.03, −1.88, −1.61, −1.22, −1.08, −0.74,]−0.57, −0.38, −0.23, −0.14, 0.26, 0.37, 0.48, 1.14, 1.37, 1.46, 1.53, 2.69, 2.92,]3.18, 3.19, 3.25, 3.31, 3.69, 3.91, 4.09, 4.27, 5.13, 5.87, 6.40,]6.46, 6.72, 6.80, 6.91, 7.78, 8.34, 9.14, 9.25, 9.26, 9.84,]13.47,]Их длины, можно записать в виде массива:1[2, 6, 9, 9, 13, 11, 10, 1]Вычислим pk = nnk , где nk — число элементов выборки попавших в k-ый отрезок n—всего элементов вывборки.
Найдем высоту прямоугольника гистограмммы vk = pk /hkдля каждого отрезка.Высоты будут иметь вид:1[0, 0.0093409777479273003, 0.028022933243781897, 0.042034399865672846,0.042034399865672846, 0.060716355361527446, 0.05137537761360015,0.046704888739636498, 0.0046704888739636501]152Гистограмма165Гипотеза: ошибки наблюдения имеют гауссовскоераспеределениеПроверим гипотезу H0 при помощи хи-квадрат критерия Пирсона на уровне значимости 0.05 по остаткам от регрессии: εi = yi − (θ0 + θ1 xi + θ2 x2i + θ3 x3i ) ∼ N (0, δ 2 ).Параметры подлежащие оценке:• вектор θ,• дисперсия δ 2Имеем:1.9267θ̂ = 2.1559 −2.060161δ̄ 2 =1 X(yi − ((1.92671594516) + (2.15591627026)xi + (−2.06011691356)x2i ))261 − 3 i=1δ̄ 2 = 39.6856012114δ̄ = 6.29965088012Для критерия хи-квадрат, используем инервалы, из раздела про гистограмму, но,так как, область значений гауссовского распределения [−∞, ßf ty] то левая границапервого инервала заменяется на −∞, а правая граница последнего — на ∞.В итоге:1.
[−∞, −11.1019591881]2. [−11.1019591881, −7.59195347665]3. [−7.59195347665, −4.08194776518]4. [−4.08194776518, −0.571942053714]5. [−0.571942053714, 2.93806365775]6. [2.93806365775, 6.44806936922]7. [6.44806936922, 9.95807508068]8. [9.95807508068, ∞]17Для каждого из этих интервалов надо вычислить вероятность попадания в него реализации гауссовской величины. Для [ai , bi ] будет: p̂i = Φ0 ( bδ̄i ) − Φ0 ( aδ̄i ).−11.1019591881−∞) − Φ0 () = 0.03900818019056.299650880126.29965088012−7.59195347665−11.1019591881Φ0 () − Φ0 () = 0.1444292085836.299650880126.29965088012−4.08194776518−7.59195347665Φ0 () − Φ0 () = 0.2053258557656.299650880126.29965088012−0.571942053714−4.08194776518Φ0 () − Φ0 () = 0.2157001496036.299650880126.299650880122.93806365775−0.571942053714Φ0 () − Φ0 () = 0.1674482959316.299650880126.299650880126.448069369222.93806365775Φ0 () − Φ0 () = 0.09605223590016.299650880126.299650880129.958075080686.44806936922Φ0 () − Φ0 () = 0.04070732383346.299650880126.29965088012∞9.95807508068Φ0 () − Φ0 () = 0.04070732383346.299650880126.29965088012Φ0 (Если сложить все p̂i , то получится 1.0.
Что соостветствует площади под графикомгауссщвской функции распределения. Всего скорее, наше предположение правильное, применим критерий Пирсона.8Xn2mgn =− 61 ∼ χ2 (8 − 1 − 4)61p̂mm=1Квантиль χ2 распределения на уровне надежности 0.95 равна 5.9915. Квантильχ2 распределения на уровне надежности 0.99 равна 9.2103. Реализация gn есть5.96140634558. Гипотеза принимается в обоих случаях.186ВыводыВ ходе выполнения лабораторной работы был изучен метод наименьших квадратови примен для оценки полезного сигнала.
Был получен результат:ŷ(x) = 1.9267 + 2.1559x − 2.0601x2Построены доверительные интегралы для сигнала и его параметров. Найдена оценкадисперсии ошибки наблюдения.σ 2 = 39.6856012114При помощи критерия Пирсона, была проверена гипотеза, о том, что закон распеределения ошибки гауссовский. Гипотеза принята на уровне значимости 0.05.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
