IrmadiMathstat (554751), страница 2
Текст из файла (страница 2)
То есть, ε0i =yi − ((3.22674934025) + (2.22274098476)xi + (−6.02056999)x2i ).Остатки:1[−7.5987946664500043, −22.843660043802004, 13.39312017804599,15.111545999094034, 1.3116174193419994, 5.1933344387900036,−3.8433029425620049, −4.4982947247139862, −19.271640907666011,13.636658508582009, 5.6266035240300027, −0.6018058613219992,−2.0485696474739967, −1.8136878344260055, 6.7028395778220045,−5.498987410729999, −1.6191688000819937, −1.2577045902339954,−2.2145947811860012, −11.889839372938001, 18.116561634509999,3.6246082411580005, 15.974300447006, 7.7656382520540008, 10.458621656302,2.4332506597500001, −11.280474737601999, −3.2275545357539999,3.3270112652939998, 9.7482226655420003, 6.5710796649900001,−5.5344177363620011, −9.1382695385140007, 7.3295242585340032,−9.4210363452179973, −2.8899513497699978, −20.177220755121997,1.2171554387259995, 1.493177231774002, −2.4491553759780089,4.4901576154700038, −2.8888837938819876, −15.186279604034013,−1.5020298149859883, −10.436134426738008, −0.68859343929000261,3.5405931473580097, −1.4485746667939736, 6.943903118253985,4.8180265025019935, −13.826204514050005, 8.0112100685980181,−4.6697297495539658, 20.130976031493987, 8.4133274117420171,5.1773243911900124, 0.42296696983802917, −6.849744852313961,−4.6408110752660434, −2.9502316990180475, 3.2219932764299983]Отсортированные остатки:1[−22.843660043802004, −20.177220755121997, −19.271640907666011,−15.186279604034013, −13.826204514050005, −11.889839372938001,−11.280474737601999, −10.436134426738008, −9.4210363452179973,−9.1382695385140007, −7.5987946664500043, −6.849744852313961,−5.5344177363620011, −5.498987410729999, −4.6697297495539658,−4.6408110752660434, −4.4982947247139862, −3.8433029425620049,−3.2275545357539999, −2.9502316990180475, −2.8899513497699978,−2.8888837938819876, −2.4491553759780089, −2.2145947811860012,−2.0485696474739967, −1.8136878344260055, −1.6191688000819937,−1.5020298149859883, −1.4485746667939736, −1.2577045902339954,−0.68859343929000261, −0.6018058613219992, 0.42296696983802917,1.2171554387259995, 1.3116174193419994, 1.493177231774002,142.4332506597500001, 3.2219932764299983, 3.3270112652939998,3.5405931473580097, 3.6246082411580005, 4.4901576154700038,4.8180265025019935, 5.1773243911900124, 5.1933344387900036,5.6266035240300027, 6.5710796649900001, 6.7028395778220045,6.943903118253985, 7.3295242585340032, 7.7656382520540008,8.0112100685980181, 8.4133274117420171, 9.7482226655420003, 10.458621656302,13.39312017804599, 13.636658508582009, 15.111545999094034, 15.974300447006,18.116561634509999, 20.130976031493987]На интервале [−22.84, 20.13] построим гистограмму.
Длинна интрервала равна 42.97.Разобъем интервала на 6 отрезков. Обычно, длины отрезков выбираеются равными,но это совсем не обязательно. Все наши отрезки будут иметь длину hk = 7.16.Граничные точки отрезков будут:1[’−22.8’, ’−15.7’, ’−8.5’, ’−1.4’, ’5.8’, ’13.0’, ’20.1’, ’27.3’]Отрезки имеют вид:1234567[ −22.84, −20.18, −19.27,][ −15.19, −13.83, −11.89, −11.28, −10.44, −9.42, −9.14,][ −7.60, −6.85, −5.53, −5.50, −4.67, −4.64, −4.50, −3.84, −3.23, −2.95, −2.89, −2.89,−2.45, −2.21, −2.05, −1.81, −1.62, −1.50, −1.45,][ −1.26, −0.69, −0.60, 0.42, 1.22, 1.31, 1.49, 2.43, 3.22, 3.33, 3.54, 3.62, 4.49, 4.82, 5.18,5.19, 5.63,][ 6.57, 6.70, 6.94, 7.33, 7.77, 8.01, 8.41, 9.75, 10.46,][ 13.39, 13.64, 15.11, 15.97, 18.12,][ 20.13,]Их длины, можно записать в виде массива:1[3, 7, 19, 17, 9, 5, 1]Вычислим pk = nnk , где nk — число элементов выборки попавших в k-ый отрезок n—всего элементов вывборки.
Найдем высоту прямоугольника гистограмммы vk = pk /hkдля каждого отрезка.Высоты будут иметь вид:1[0, 0.0080108251406430572, 0.018691925328167137, 0.050735225890739366,0.045394675796977327, 0.024032475421929173, 0.013351375234405096,0.0026702750468810196]152Гистограмма165Гипотеза: ошибки наблюдения имеют гауссовскоераспеределениеПроверим гипотезу H0 при помощи хи-квадрат критерия Пирсона на уровне значимости 0.05 по остаткам от регрессии: εi = yi − (θ0 + θ1 xi + θ2 x2i + θ3 x3i ) ∼ N (0, δ 2 ).Параметры подлежащие оценке:• вектор θ,• дисперсия δ 2Имеем:3.2267θ̂ = 2.2227 −6.020661δ̄ 2 =1 X(yi − ((3.22674934025) + (2.22274098476)xi + (−6.02056999)x2i ))261 − 3 i=1δ̄ 2 = 85.1540984783δ̄ = 9.22789783636Для критерия хи-квадрат, используем инервалы, из раздела про гистограмму, но,так как, область значений гауссовского распределения [−∞, ßf ty] то левая границапервого инервала заменяется на −∞, а правая граница последнего — на ∞.В итоге:1.
[−∞, −15.6812206979]2. [−15.6812206979, −8.51878135204]3. [−8.51878135204, −1.35634200615]4. [−1.35634200615, 5.80609733973]5. [5.80609733973, 12.9685366856]6. [12.9685366856, ∞]Для каждого из этих интервалов надо вычислить вероятность попадания в него реализации гауссовской величины. Для [ai , bi ] будет: p̂i = Φ0 ( bδ̄i ) − Φ0 ( aδ̄i ).17−15.6812206979−∞) − Φ0 () = 0.04462874552439.227897836369.22789783636−8.51878135204−15.6812206979Φ0 () − Φ0 () = 0.2636096286569.227897836369.22789783636−1.35634200615−8.51878135204Φ0 () − Φ0 () = 0.2938147221679.227897836369.227897836365.80609733973−1.35634200615Φ0 () − Φ0 () = 0.1846556340089.227897836369.227897836365.8060973397312.9685366856) − Φ0 () = 0.0653848760104Φ0 (9.227897836369.22789783636∞12.9685366856Φ0 () − Φ0 () = 0.06538487601049.227897836369.22789783636Φ0 (Если сложить все p̂i , то получится 1.0.
Что соостветствует площади под графикомгауссщвской функции распределения. Всего скорее, наше предположение правильное, применим критерий Пирсона.6Xn2mgn =− 61 ∼ χ2 (6 − 1 − 4)61p̂mm=1Квантиль χ2 распределения на уровне надежности 0.95 равна 3.8415. Квантильχ2 распределения на уровне надежности 0.99 равна 6.6349. Реализация gn есть0.364406195919. Гипотеза принимается в обоих случаях.186ВыводыВ ходе выполнения лабораторной работы был изучен метод наименьших квадратови примен для оценки полезного сигнала. Был получен результат:ŷ(x) = 3.2267 + 2.2227x − 6.0205x2Построены доверительные интегралы для сигнала и его параметров.
Найдена оценкадисперсии ошибки наблюдения.σ 2 = 85.1540984783При помощи критерия Пирсона, была проверена гипотеза, о том, что закон распеределения ошибки гауссовский. Гипотеза принята на уровне значимости 0.05.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
