ChernishevMathstat (554749), страница 2
Текст из файла (страница 2)
То есть, ε0i =yi − ((−1.81349719008) + (3.97733594158)xi + (−9.02844771696)x2i ).Остатки:1[2.4113698219800312, 1.9201451084223891, −1.8488037877784222,3.1045231333776258, 2.7801258718904194, 0.17800442776001546,−5.701841199013586, −3.859411008430385, −0.29470500049039572,−3.0077231751935756, 1.4015344674600101, 0.63306792747040674,−3.7131227951623913, 1.6629622995615989, 3.2613232116424058,−4.2180400589200033, −3.7751275121255929, −0.40993914797439146,−0.22247496646640386, 3.7872650323983983, 3.8192808486200001,0.073572482198402511, 2.8001399331336003, 1.1189832014256003,1.2101022870744005, −1.3565028099199998, 0.56016791044240022,3.4571144481616005, 1.3573368032376003, −3.4301650243295985,1.3046089654600008, −0.55834122739359948, −0.75901560289039871,−2.0374141610303944, 0.40646309818640347, −2.627383825239999,3.7610450686904073, −1.3282502200224044, −0.69526969137839245,−6.1400133453775965, 1.3375188179800119, 0.43732679869444269,0.059410596765602008, −3.496229787806385, 2.0704056449784076,3.3593168951200028, −1.6294960373815854, 2.1039668474736288,−2.4402944503144113, 1.7377200692544079, 2.6380104061800012,6.2605765604624253, −1.3945814678983481, −5.3274636789024044,0.46192992745045558, −2.0264006488399673, 3.2075445922264407,−1.8362343493502635, −0.15773747357042112, −0.75696478043357729,0.36608373006004058]Отсортированные остатки:1[−6.1400133453775965, −5.701841199013586, −5.3274636789024044,−4.2180400589200033, −3.859411008430385, −3.7751275121255929,−3.7131227951623913, −3.496229787806385, −3.4301650243295985,−3.0077231751935756, −2.627383825239999, −2.4402944503144113,−2.0374141610303944, −2.0264006488399673, −1.8488037877784222,−1.8362343493502635, −1.6294960373815854, −1.3945814678983481,−1.3565028099199998, −1.3282502200224044, −0.75901560289039871,−0.75696478043357729, −0.69526969137839245, −0.55834122739359948,−0.40993914797439146, −0.29470500049039572, −0.22247496646640386,−0.15773747357042112, 0.059410596765602008, 0.073572482198402511,0.17800442776001546, 0.36608373006004058, 0.40646309818640347,140.43732679869444269, 0.46192992745045558, 0.56016791044240022,0.63306792747040674, 1.1189832014256003, 1.2101022870744005,1.3046089654600008, 1.3375188179800119, 1.3573368032376003,1.4015344674600101, 1.6629622995615989, 1.7377200692544079,1.9201451084223891, 2.0704056449784076, 2.1039668474736288,2.4113698219800312, 2.6380104061800012, 2.7801258718904194,2.8001399331336003, 3.1045231333776258, 3.2075445922264407,3.2613232116424058, 3.3593168951200028, 3.4571144481616005,3.7610450686904073, 3.7872650323983983, 3.8192808486200001,6.2605765604624253]На интервале [−6.14, 6.26] построим гистограмму.
Длинна интрервала равна 12.40.Разобъем интервала на 8 отрезков. Обычно, длины отрезков выбираеются равными,но это совсем не обязательно. Все наши отрезки будут иметь длину hk = 1.55.Граничные точки отрезков будут:[’−6.1’, ’−4.6’, ’−3.0’, ’−1.5’, ’0.1’, ’1.6’, ’3.2’, ’4.7’, ’6.3’]1Отрезки имеют вид:12345678[[[[[[[[−6.14, −5.70, −5.33,]−4.22, −3.86, −3.78, −3.71, −3.50, −3.43,]−3.01, −2.63, −2.44, −2.04, −2.03, −1.85, −1.84, −1.63,]−1.39, −1.36, −1.33, −0.76, −0.76, −0.70, −0.56, −0.41, −0.29, −0.22, −0.16, 0.06,]0.07, 0.18, 0.37, 0.41, 0.44, 0.46, 0.56, 0.63, 1.12, 1.21, 1.30, 1.34, 1.36, 1.40,]1.66, 1.74, 1.92, 2.07, 2.10, 2.41, 2.64, 2.78, 2.80, 3.10,]3.21, 3.26, 3.36, 3.46, 3.76, 3.79, 3.82,]6.26,]Их длины, можно записать в виде массива:1[3, 6, 8, 12, 14, 10, 7, 1]Вычислим pk = nnk , где nk — число элементов выборки попавших в k-ый отрезок n—всего элементов вывборки.
Найдем высоту прямоугольника гистограмммы vk = pk /hkдля каждого отрезка.Высоты будут иметь вид:1[0, 0.031727734401210142, 0.063455468802420284, 0.084607291736560383,0.12691093760484057, 0.14806276053898065, 0.10575911467070045,0.074031380269490327, 0.010575911467070048]152Гистограмма165Гипотеза: ошибки наблюдения имеют гауссовскоераспеределениеПроверим гипотезу H0 при помощи хи-квадрат критерия Пирсона на уровне значимости 0.05 по остаткам от регрессии: εi = yi − (θ0 + θ1 xi + θ2 x2i + θ3 x3i ) ∼ N (0, δ 2 ).Параметры подлежащие оценке:• вектор θ,• дисперсия δ 2Имеем:−1.8135θ̂ = 3.9773 −9.028461δ̄ 2 =1 X(yi − ((−1.81349719008) + (3.97733594158)xi + (−9.02844771696)x2i ))261 − 3 i=1δ̄ 2 = 7.32430743301δ̄ = 2.70634577115Для критерия хи-квадрат, используем инервалы, из раздела про гистограмму, но,так как, область значений гауссовского распределения [−∞, ßf ty] то левая границапервого инервала заменяется на −∞, а правая граница последнего — на ∞.В итоге:1.
[−∞, −4.58993960715]2. [−4.58993960715, −3.03986586892]3. [−3.03986586892, −1.48979213069]4. [−1.48979213069, 0.0602816075424]5. [0.0602816075424, 1.61035534577]6. [1.61035534577, 3.160429084]7. [3.160429084, ∞]17Для каждого из этих интервалов надо вычислить вероятность попадания в него реализации гауссовской величины. Для [ai , bi ] будет: p̂i = Φ0 ( bδ̄i ) − Φ0 ( aδ̄i ).−4.58993960715−∞) − Φ0 () = 0.04494373849192.706345771152.70634577115−3.03986586892−4.58993960715Φ0 () − Φ0 () = 0.160326156572.706345771152.70634577115−1.48979213069−3.03986586892Φ0 () − Φ0 () = 0.2178906469532.706345771152.706345771150.0602816075424−1.48979213069Φ0 () − Φ0 () = 0.2152027224432.706345771152.706345771151.610355345770.0602816075424Φ0 () − Φ0 () = 0.1544650857882.706345771152.706345771153.1604290841.61035534577Φ0 () − Φ0 () = 0.08056468872092.706345771152.70634577115∞3.160429084Φ0 () − Φ0 () = 0.08056468872092.706345771152.70634577115Φ0 (Если сложить все p̂i , то получится 1.0.
Что соостветствует площади под графикомгауссщвской функции распределения. Всего скорее, наше предположение правильное, применим критерий Пирсона.7Xn2mgn =− 61 ∼ χ2 (7 − 1 − 4)61p̂mm=1Квантиль χ2 распределения на уровне надежности 0.95 равна 5.9915. Квантильχ2 распределения на уровне надежности 0.99 равна 9.2103. Реализация gn есть2.05964714329. Гипотеза принимается в обоих случаях.186ВыводыВ ходе выполнения лабораторной работы был изучен метод наименьших квадратови примен для оценки полезного сигнала.
Был получен результат:ŷ(x) = −1.8134 + 3.9773x − 9.0284x2Построены доверительные интегралы для сигнала и его параметров. Найдена оценкадисперсии ошибки наблюдения.σ 2 = 7.32430743301При помощи критерия Пирсона, была проверена гипотеза, о том, что закон распеределения ошибки гауссовский. Гипотеза принята на уровне значимости 0.05.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
