ТВиМС (554720), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Задание:

Используя точечные оценки b₁^, b₂^, b₃^, ^^ и результаты измерений, построить доверительные интервалы для b₁, b₂, b₃, ^, соответствующие уровню значимости =0,1

Решение:

Случайный интервал, полностью определяемый результатами опытов и не зависящий от неизвестных характеристик, который с заданной вероятностью  накрывает неизвестную скалярную статистическую характеристику , называется доверительным интервалом для этой характеристики, соответствующим интервалом доверия .

Так как ^_N), то можно найти не только точечные оценки, но и интервальные оценки неизвестных параметров. Так как выполняется условия:

y = Х^Тb + 

Е=0, К_=Е(^Т)= ^_N

Аb^=Ху

detA0, то

S²(b)=(у-Х^Тb)^T(у-Х^Тb);

S²(b^)=(у-Х^Тb^)^T(у-Х^Тb^);

T²= S²(b) - S²(b^). Тогда

b^N(b;²A^-1);

S²(b^)/²²(n-m);

T²/²²(m).

При этом b²^ и S²(b^), а также S²(b) и T² независимы.

²(r) – хи квадрат распределение с r степенями свободы. То есть распределение случайной величины ₁²+₂²+…+_r² (₀;₁,₂,…,_n,_n+1,…,_n+m – независимые и одинаково распределенные по закону N(0;1) случайные величины).

Отсюда вытекает, что

P(S²(b^)/²_1-/2,n-m<^< S²(b^)/²_/2,n-m )=1-, где

²_n – квантиль уровня  для ²-распределения с n степенями свободы.

Далее, ((b_i^ - b_i)/c_ii)/(S²(b^)/n-m) = n-m*(b_i^-b_i)/c_iiS(b^)  t(n-m), где

c_ii – обозначает (i,i)–й элемент матрицы А^-1, а символ t(n-m) – распределение Стьюдента с n-m степенями свободы, распределение случайной величены __^_^_n^) (₀;₁,₂,…,_n,_n+1,…,_n+m – независимые и одинаково распределенные по закону N(0;1) случайные величины).

Отсюда

Р(b_i^-t_1-/2,n-m*c_iiS(b^)/n-mi< b_i^+t_1-/2,n-m*c_iiS(b^)/n-m )=1-, где

t_,n – квантиль уровня  для распределения Стьюдента с n степенями свободы.

Расчет доверительного интервала ^.

По формуле:

P(S²(b^)/²_1-/2,n-m<^< S²(b^)/²_/2,n-m )=1-, где

S²(b^) - значение берем из этапа 2 (Таблица №3  (У-У^)²).

²_1-/2,n-m, ²_/2,n-m - квантиль уровня 0,95 (0,05) для ² распределения с 38 степенями свободы и равно 53,38351 (24,88389) соответственно.b

P(S²(b^)/²_0.95,38<^< S²(b^)/²_0.05,38 )=0,9;

P(0,000284<^<0,000608)=0,9;

Доверительный интервал для ^ - 0,000284<^<0,000608.

Определяем доверительный интервал для b₁, b₂, b₃.

По формуле:

Р(b_i^ - t_1-/2,n-m*C_i|iS(b^)/n-m<b_i< b_i^+t_1-/2,n-m*C_i|iS(b^)/n-m)=1-;

t_1-/2,n-m – распределение Стьюдента с n-m степенями сободы.

t_0.95,38=2,04227;

S(b^) – значение берем из этапа 2 S(b^)= S²(b^)=0,123044707;

C_i|i – соответствующий элемент матрицы А^-1 значение берем из этапа 2;

Р(b_i^ - 2,04227*C_i|i0,123044707/38<b_i< b_i^+2,04227*C_i|i*0,123044707/38)=0,9;

Доверительный интервал для b₁:

8,00071< b₁<8.005188

Доверительный интервал для b₂:

5.00194< b₂<5.002432

Доверительный интервал для b₃:

3.000731< b₁<3.000883

Список используемой литературы.

1. Кочетков Е. С. Метод наименьших квадратов: Учебное пособие. М. Изд-во МАИ, 1993г.

2. Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Наука, 1979г.

3. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. М. Наука, 1982г.

Характеристики

Список файлов домашнего задания