ТВиМС (554720), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Ввести обозначения

и получить модель измерений в матричном виде y = Х^Тb + , где ^_N) – нормально распределенный случайный вектор ошибок измерений, _N  R^N*N – единичная матрица.

Используя МНК и таблицу результатов измерений из этапа 1, получить оценки: b^ вектора параметров b и ^^ дисперсии ^ ошибок.

Решение:

Статистика - любая функция результатов опытов, которая не зависит от неизвестных статистических характеристик. Оценкой статистической характеристики  называется статистика, реализация которой, полученная в результате опытов, принимается за неизвестное истинное значение параметра . Если математическое ожидание оценки равно характеристике , то оценка несмещенная. Разность М^- - смещение оценки. Оценка статистической характеристики  называется состоятельной, если она сходится по вероятности к  при неограниченном увеличении опытов.

Проведя серию “опытов” в первом этапе, получили значение выходного параметра y и значение входных параметров 1, t, t². Теперь по этим данным найдем значения коэффициентов b^ в аппроксимации y_i = b₁^ + b₂^*t_i + b₃^*t²_i, то есть оценку b^ вектора параметров b. По известным входным и выходным параметрам найдем коэффициенты b₁^, b₂^, b₃^ при входных параметрах 1, t, t² соответственно, которые будут составлять вектор оценок вектора b и или (что одно и тоже) будут точечными оценками параметров b₁, b₂, b₃ в исходном уравнении y_i=b₁+b₂*t_i+b₃*t_i²+_i. Так как значение y_i, t_i, t_i², _i переменных в i-ом по счету опытах, то уравнение y_i=b₁+b₂*t_i+b₃*t_i²+_i можно записать в виде системы уравнений:

Или их можно записать в векторной записью: y = Х^Тb + , где ^_N) – нормально распределенный случайный вектор ошибок измерений такой что, Е=0, К_=Е(^Т)= ^_N, _N  R^N*N – единичная матрица, параметр b=( b₁, b₂, b₃)^Т  R₃, Х^Т=||Х_ij||  R_3XN.

Коэффициенты b₁^, b₂^, b₃^ должны быть такими, чтобы вектор у – у^= у - b₁^ + b₂^*t + b₃^*t², рассматриваемый как элемент евклидового пространства, имел наименьшую длину. Решение этой задачи известно по курсу линейной алгебры. Искомый вектор у^= b₁^ + b₂^*t + b₃^*t², является ортогональной проекцией вектора у на подпространство, порожденной векторами 1, t, t² (х₁,х₂,…,х_n), так что скалярное произведение разности у – у^ с каждым из векторов 1, t, t² (х₁,х₂,…,х_n) равно нулю: (х_i,у – у^)=0 (i=1,2,…,m). Данное соотношение выражает необходимое и достаточное условие минимума длины вектора у – у^. Перепишем их в виде системы относительно искомых уравнений:

(х₁,х₁)b^₁+(x₁,x₂)b^₂+…+(x₁,x_m)b^_m=(x₁,y)

(х₂,х₁)b^₁+(x₂,x₂)b^₂+…+(x₂,x_m)b^_m=(x₂,y)

…

(х_m,х₁)b^₁+(x_m,x₂)b^₂+…+(x_m,x_m)b^_m=(x_m,y)

Данная система всегда совместна и однозначно определяет вектор у^=b₁^х₁+b₂^x₂+…+b_m^x_m, хотя сами коэффициенты b₁^, b₂^, …, b_m^ могут находиться и неоднозначно – если векторы х₁, x₂, …, x_m линейно не зависимы.

Матрица

Называется матрицей Грамма для системы векторов х₁, x₂, …, x_m. Эта матрица является невырожденной в том и только том случае, если х₁, x₂, …, x_m - линейно не зависимая система. Для удобства вводим матрицу:

Тогда систему уравнений можно переписать в виде так называемой нормальной системы уравнений:

ХХ^Тb^=Ху или

Аb^=Ху, где

А=ХХ^Т так как предположили, что вектора линейно не зависимы, а значит detA, получаем

b^=A^-1Ху.

Расчет оценки b^ вектора параметров b.

Уравнение y_i = b₁^ + b₂^*t_i + b₃^*t²_i можно записать в матричном виде y = Х^Тb^, где параметр b^=( b₁^, b₂^, b₃^)^Т  R₃ неизвестный, параметры y=( y₁, y₂,…, y_N )  R_N и Х^Т=||Х_ij||  R_3XN - получены в этапе 1 и представлены в таблице №2.

Решением данного уравнения будет уравнение в матричной форме b^=А^-1Ху, где А=ХХ^Т. Матрицы А^-1 будет рассчитываться как А^-1 = (1/detA) А*, где detA - определитель матрицы, А* - присоединенная матрица. Для расчета матрицы А^-1 воспользуемся таблицей №3. Перемножим сначала матрицы Х и у, а затем полученную матрицу умножим на матрицу А^-1.

Матрица А: Матрица А* - присоединенная:

Матрица А^-1:

det A=

3645381,4

Определитель матрица А:

Произведение матриц Ху:

Расчет оценки вектора параметров b.

Так как y = Х^Тb +  и b^=A^-1Ху, то

b^=A^-1Х(Х^Тb + )=b+ A^-1Х, b^ - является не смещенной оценкой вектора b.

Оценка b^ вектора параметров b: b₁^=8.00295; b₂^=5.00219; b₃^=3.00081;

Или в матричной форме: b^=(8.00295; 5.00219; 3.0081)^Т;

Определение оценки ²^ дисперсии ошибок ².

Пусть S²=(у - у^)^T(у - у^). Учитывая, что у - у^=(I_n-X^TA^-1X) и принимая во внимание, что матрица Н= I_n-X^TA^-1X симметрична и идемпотентна, получаем S²=^T(I_n-X^TA^-1X). Будем считать, что Н=||h_ij||, тогда ЕS²=E(^TH)=E(h_ij_i_j)=hijE(_i_j)=H_ii²=²trH, где символом trH обозначают след матрицы Н.

Известно, что след матрицы совпадает с суммой ее собственных чисел. Для того чтобы найти trH заметим, что матрица X^TA^-1X (как и сама матрица Н) симметрична и идемпотентна. Поэтому ее собственными числами могут быть только нули и единицы, причем число единиц должно совпадать с рангом, равным m – числу неизвестных параметров b₁, b₂, …, b_m. Отсюда следует, что trH= tr(I_n-X^TA^-1X)=n-m. Тогда ЕS²=( n-m)².

Значит, оценка дисперсии ² рассчитывается по формуле ²^=S²/(n-m). Статистика S²/(n-m) говорит о том, что оценка ²^ несмещенная оценка дисперсии ².

Расчет ²^ оценка дисперсии ².

S²=(у - у^)^T(у - у^)=(у - у^)²; Рассчитываем при помощи таблицы №3.

n – число измерений;

m – число элементов b в уравнении;

²^=0.01514/(41-3)=0.000398;

Таблица №2. Матрицы y, Х^Т, b, 

Таблица №3. Вспомогательные расчеты для матрицы А^-1, произведения матриц Х и У, оценки ²^.

Этап 3. Доверительные интервалы.

Характеристики

Список файлов домашнего задания