ТВиМС (554720)
Текст из файла
13
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ).
Курсовая работа
по теории вероятности и математической статистике
на тему
"Метод наименьших квадратов".
Научный руководитель: Сиротин А. Н.
Студент: Полунин В. Ю.
Группа: 05-211
Москва. 2001г.
План курсовой работы.
Исходные данные. ----------------------------------------------------------------------------------- стр. 3.
Этап 1. Моделирование измерений -------------------------------------------------------------- стр. 3.
Этап 2. Оценки МНК. ------------------------------------------------------------------------------- стр. 6.
Этап 3. Доверительные интервалы. ------------------------------------------------------------- стр. 11.
Список используемой литературы. ------------------------------------------------------------- стр. 13.
Исходные данные:
Вариант (К) – 17.
N=41.
=K*10-3=0.017.
=К*10-2=0,17.
b1=[K/2]=8.
b2=[K/3]=5.
b3=[K/5]=3.
=0.1.
Этап 1. Моделирование измерений.
Задание:
Исследуется модель измерений: yi = b1 + b2*ti + b3*t2i , где b1, b2, b3 - постоянные параметры, yi - наблюдаемая величена, ti = (i - 21) - моменты времени, в которых проводится измерения, - шаг по времени, i~N(0,2) - независимые ошибки измерений, N - количество измерений.
Используя исходные данные (стр. 3.), смоделировать результаты измерений, пользуясь таблицами или ЭВМ для моделирования реализаций независимых нормально распределенных величин i*~ N(0,1) и представлением i =*i. Заполнить таблицу.
Решение:
Значение параметра i* берем из учебника – Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982г.
Метод наименьших квадратов - один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки. Применяется при обработке наблюдений. Является наиболее распространенных методов статистической обработки экспериментальных данных. Разработан, в основном еще К. Гауссом и А. Марковым. МНК допускает простую геометрическую интерпретацию, так как напрямую связан с проектированием в конечном евклидовом пространстве на некоторое его подпространство. Евклидово пространство это n – мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, элементы которого u=(u1,…,un)T и v=(v1,…,vn)T складываются и умножаются на действительные числа по обычным законам, естественным правилам, а скалярное произведение задается соотношением (u,v)=u1v2+u2v2+…+unvn. Скалярное произведение векторов a и b – число (скаляр) (a,b) равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. (a,b) = |a|*|b|*cos.
МНК используется для отыскания приближенных зависимостей между изучаемыми экспериментальными величинами. Предположим требуется найти зависимость между наблюдаемыми величинами, не обязательно случаемыми. Для этого обычно выбирают подходящую функцию, зависящую от некоторых параметров и подбирают параметры так, чтобы сумма квадратов ошибок приближенной зависимости во всех экспериментальных точках была минимальной (У-У^)2=min). В этом и состоит метод наименьших квадратов.
Модель измерений. Предположим, что переменная у является функцией переменных х1,х2,…,хn: у =f(х1, х2,…, хn). Данное соотношение часто сравнивается с некоторым техническим объектом, для которого переменные х1, х2,…, хn (в данной курсовой работе - 1 , t, t2) являются входными параметрами, у - выходной параметр, f - неизвестная характеристика объекта. Но можно осуществить некоторое количество опытов (41) позволяющих по заданным значениям входных параметров (1, t, t2) получить соответствующее значение выходного параметра. В данной курсовой работе рассматривается полиномиальная аппроксимация (т.е. замена одних объектов другими более простыми), то есть функция вида y = b1 + b2*t + b3*t2.
В данной части курсовой работы функция f известна - yi = b1 + b2*ti + b3*t2i, и есть независимые ошибки i. Другими словами - в первом этапе проведение опыта сводится к расчету yi , который представляет собой следующую стохастическую (случайный, вероятностный) функцию: yi=b1+b2*ti+b3*ti2+i.
Рассчитываем и заполняем таблицу №1.
Таблица №1. Расчет параметра yi.
i | ti | i=i* | b1+b2*ti+b3*ti2 | yi=b1+b2*ti+b3*ti2+i | i* |
1 | -3,4 | 0,00789 | 25,68000 | 25,68789 | 0,464 |
2 | -3,23 | 0,00233 | 23,14870 | 23,15103 | 0,137 |
3 | -3,06 | 0,04174 | 20,79080 | 20,83254 | 2,455 |
4 | -2,89 | -0,00549 | 18,60630 | 18,60081 | -0,323 |
5 | -2,72 | -0,00116 | 16,59520 | 16,59404 | -0,068 |
6 | -2,55 | 0,00503 | 14,75750 | 14,76253 | 0,296 |
7 | -2,38 | -0,00490 | 13,09320 | 13,08830 | -0,288 |
8 | -2,21 | 0,02207 | 11,60230 | 11,62437 | 1,298 |
9 | -2,04 | 0,00102 | 10,28480 | 10,28582 | 0,060 |
10 | -1,87 | -0,03835 | 9,14070 | 9,10235 | -2,256 |
11 | -1,7 | -0,00903 | 8,17000 | 8,16097 | -0,531 |
12 | -1,53 | -0,00330 | 7,37270 | 7,36940 | -0,194 |
13 | -1,36 | 0,00923 | 6,74880 | 6,75803 | 0,543 |
14 | -1,19 | -0,02649 | 6,29830 | 6,27181 | -1,558 |
15 | -1,02 | 0,00318 | 6,02120 | 6,02438 | 0,187 |
16 | -0,85 | -0,02023 | 5,91750 | 5,89727 | -1,190 |
17 | -0,68 | 0,02526 | 5,98720 | 6,01246 | 1,486 |
18 | -0,51 | -0,00602 | 6,23030 | 6,22428 | -0,354 |
19 | -0,34 | -0,01078 | 6,64680 | 6,63602 | -0,634 |
20 | -0,17 | 0,01185 | 7,23670 | 7,24855 | 0,697 |
21 | 0 | 0,01574 | 8,00000 | 8,01574 | 0,926 |
22 | 0,17 | 0,02338 | 8,93670 | 8,96008 | 1,375 |
23 | 0,34 | 0,01335 | 10,04680 | 10,06015 | 0,785 |
24 | 0,51 | -0,01637 | 11,33030 | 11,31393 | -0,963 |
25 | 0,68 | 0,01737 | 12,78720 | 12,80457 | 1,022 |
26 | 0,85 | -0,00802 | 14,41750 | 14,40948 | -0,472 |
27 | 1,02 | 0,02174 | 16,22120 | 16,24294 | 1,279 |
28 | 1,19 | 0,05986 | 18,19830 | 18,25816 | 3,521 |
29 | 1,36 | 0,00971 | 20,34880 | 20,35851 | 0,571 |
30 | 1,53 | -0,03147 | 22,67270 | 22,64123 | -1,851 |
31 | 1,7 | 0,00330 | 25,17000 | 25,17330 | 0,194 |
32 | 1,87 | 0,02026 | 27,84070 | 27,86096 | 1,192 |
33 | 2,04 | 0,02370 | 30,68480 | 30,70850 | 1,394 |
34 | 2,21 | -0,00944 | 33,70230 | 33,69287 | -0,555 |
35 | 2,38 | 0,00078 | 36,89320 | 36,89398 | 0,046 |
36 | 2,55 | 0,00546 | 40,25750 | 40,26296 | 0,321 |
37 | 2,72 | 0,05007 | 43,79520 | 43,84527 | 2,945 |
38 | 2,89 | 0,03356 | 47,50630 | 47,53986 | 1,974 |
39 | 3,06 | -0,00439 | 51,39080 | 51,38641 | -0,258 |
40 | 3,23 | 0,00700 | 55,44870 | 55,45570 | 0,412 |
41 | 3,4 | 0,01540 | 59,68000 | 59,69540 | 0,906 |
Этап 2. Оценка МНК.
Задание:
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.