Лекции по ТФКП Гуриной Т.А. (553612), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Сфера Римана).Как было сказано выше, склеим всеточки окружности бесконечно большогорадиуса. Полученная сфера называетсясферойРимана.Чтобыполучитьстереографическую проекцию какойлибо точки z комплексной плоскости,необходимопровести прямую, соединяющую точки z и N . Точка пересечения прямойи сферы и будет искомой проекцией.Определение 9 (Открытое и замкнутое множества в C, границамножества).

Говорят, что множество Ω ∈ C является открытым, еслилюбая точка, принадлежащая множеству Ω, входит в него вместе со своейокрестностью.∀c ∈ Ω ⇒ U (c) ∈ Ω.Говорят, что точка c ∈ Γ является граничной, если любая окрестностьU (c) содержит как точки, принадлежащие Ω, так и не принадлежащиеΩ.Замыканием открытого множества Ω - Ω назовем объединение этогомножстваS с границей:Ω = Ω Γ.Замечание. Множество C открыто, множество C - замкнуто.Определение 10 (Связное и несвязное множества). Множество Ωназывается связным, если любые две его точки можно соединить кривой,принадлежащей этому множеству.

Если существуют точки, которые нельзясоединить кривой, целиком лежащей в Ω, множество Ω называется несвязным.12Глава 1. Введение в комплексный анализЗамечание. Множество Ω называется областью, если оно одновременноявляется открытым и связным.Определение 11 (Односвязное и многосвязное множества). МножесвоΩ называется односвязным, если любую замкнутую кривую, принадлежащуюмножеству Ω можно непрерывным преобразованием стянуть в точку,также принадлежащую множеству Ω. В противном случае множествоназывается неодносвязным или многосвязным ("множество с дырками").1.3.

Функции комплексного переменного1.313Функции комплексного переменногоОпределение 1 (Комплексная функция действительного переменного).Пусть (t1 , t2 ) ∈ R, кривая Γ ∈ C. g(t) - комплексная функция действительногопеременного t :⇔ g(t) : (t1 , t2 ) → Γ.Замечание.1. Функция g(t) может быть представлена в виде g(t) = g1 (t) + ig2 (t).2. g(t) ∈ C(t0 ), t0 ∈ (t1, t2) ⇔ g1 (t), g2 (t) ∈ C(t0 );g(t) ∈ D(t0 ) ⇔ g1 (t), g2 (t) ∈ D(t0 ), причем g 0 (t0 ) = g10 (t0 ) + ig20 (t0 ).Также справедливо, t → t0 , или ∆t = t − t0 → 0, g(t) − g(t0 ) = g 0 (t0 )∆t ++ o(∆t).Точки на касательной к кривой Γ в точке c = g(t0 ): l(t) = c + g 0 (t0 )∆t.Определение 2 (Комплексная функция комплексного переменного).Пусть Z, W ∈ C, z = x + iy ∈ Z, w = u + iv ∈ W .14Глава 1. Введение в комплексный анализf (z) - комплексная функция комплексного переменного :⇔ ∃f : Z → W ,f : z 7→ w, w = f (z).При этом f : (x, y) 7→ (u, v);u = u(x, y),R2 → Rv = v(x, y);Вещественное представление комплексной функции комплексного переменногоимеет вид: f (z) = u(x, y) + iv(x, y).Определение 3 (Предел функции комплексного переменного).Пусть f : Z → W , c ∈ Z, p ∈ W .lim f (z) = p :⇔ ∀Uε (p) ∃Uδ (c) : ∀z ∈ U̇δ (c) f (z) ∈ Uε (p).z→cОпределение 4 (Непрерывность функции комплексного переменного).Пусть f : Z → W, c ∈ Z, f (c) ∈ W .

Говорят, что функция f непрерывна вточке c и пишут: f ∈ C(c), если ∃ lim f (z) = f (c).Z3z→cТеорема 1 (Критерий непрерывности функции комплексногопеременного). Пусть дана функция f : Z → W, c = a + ib ∈ Z,f (z) = u(x, y) + iv(x, y), f (c) = u(a, b) + iv(a, b).Чтобы функция f была непрерывна в точке c, необходимо и достаточно,чтобы функции u(x, y) и v(x, y) были непрерывны в точке (a, b), т.е.чтобы u(x, y), v(x, y) ∈ C(a, b).Доказательство.Докажем необходимость.∀ Uε u(a, b) ∃ Uδ (a, b) : ∀ (x, y) ∈ Uδ (a, b) u(x, y) ∈ Uε u(a, b) , т.е.

u(x, y) ∈C(a, b).Аналогично доказывается, что v(x, y) ∈ C(a, b).1.3. Функции комплексного переменного15Докажем достаточность.∀ Uε√2 f (c) ∃ Uδ (c) δ = min(δ1 , δ2 ) : ∀z ∈ Uδ (c) f (z) ∈ Uε√2 f (c) ⇒ f ∈C(c).Определение 5 (Комплексная дифференцируемость функциикомплексного переменного). f : Z → W, c ∈ Z, ∆z ∈ Z;f (c + ∆z) − f (c)f ∈ DC(c) :⇔ ∃ lim= f 0 (c).∆z→0∆zОпределение 6 (Комплексная дифференцируемость функциикомплексного переменного).f ∈ DC(c) :⇔ f (c + ∆z) − f (c) = C∆z + o(∆z), ∆z → 0.c, ∆z ∈ Z; f (c), f (c + ∆z), c∆z, o(∆z) ∈ W ;C : Z → W, C(λ1 ∆z1 + λ2 ∆z2 ) = λ1 C∆z1 + λ2 C∆z2 , C = A + iB, ∆z =∆x + i∆y.ppo(∆z) : Z → W, o(∆z) = o1 ( ∆x2 + ∆y 2 ) + io2 ( ∆x2 + ∆y 2 );∆x, ∆x → 0.16Глава 1.

Введение в комплексный анализЗамечание. Определения 6 и 5 эквивалентны, но определение 6 являетсяболее удобным для доказательства.Определение 7 (Вещественное дифференцирование функции комплексногопеременного).f (z) = u(x, y) + iv(x, y);c = a + ib;f ∈ DR(c) :⇔ u(x, y), v(x, y) ∈ D(a, b).Замечание. В отличие от комплексной функции действительного переменного,дифференцируемости действительной и мнимой частей недостаточно длякомплексной дифференцируемости функции комплексного переменного.Теорема 2 (Критерий комплексной дифференцируемоси функциикомплексного переменного (Коши-Риман)).

Пусть задана функциякомплексного переменного:f : Z → W, f (z) = u(x, y) + iv(x, y);c = a + ib ∈ Z;f ∈ DC(c) ⇔1. f ∈ DR(c);2. В точке (a, b) выполняются условия Коши-Римана:∂v ∂u∂v∂u=,=− ,∂x∂y ∂y∂xДоказательство. Докажем, что из комплексной дифференцируемостиФКП следует выполнение условий (1) и (2).f (c + ∆z) = f (c) = C∆z + o(∆z), ∆z → 0.f (c + ∆z) = u(a + ∆x, b + ∆y) + iv(a + ∆x, b + ∆y).∆z = ∆x + ∆y, C = A + iB,f (c) = u(a, b) + iv(a, b);u(a + ∆x, b +p∆y) + iv(a + ∆x, b p+ ∆y) − u(a, b) − iv(a, b) = (A + iB)(∆x ++ i∆y) + o1 ( ∆x2 + ∆y 2 ) + o2 ( ∆x2 + ∆y 2 ), pu(a + ∆x, b + ∆y) − u(a, b) = A∆x − B∆y + o1 ( ∆x2 + ∆y 2 ),1.3.

Функции комплексного переменного17pv(a + ∆x, b + ∆y) − v(a, b) = B∆x + A∆y + o2 ( ∆x2 + ∆y 2 ).Таким образом, v(x, y), v(x, y) ∈ D(a, b).∂u∂u∂v∂u= A,= −B,= B,= A ⇒ f (t) ∈ DR(c).∂x∂y∂x∂y∂v ∂u∂v∂u=,=− ,∂x∂y ∂y∂xт. е. условия Коши-Римана выполнены.Теперь докажем обратное: из условий (1) и (2) следует комплекснаядифференцируемость ФКП.u(x, y), v(x, y) ∈ DR(c).p∂u∂u22u(a + ∆x, b + ∆y) − u(a, b) =∆x +∆y + o1 ( ∆x + ∆y )∂x∂y⇒p∂v∂v22v(a + ∆x, b + ∆y) − v(a, b) =∆x +∆y + o2 ( ∆x + ∆y )∂x ∂y ∂v∂v∂v∂u+i∆x ++i∆y + o(∆z);⇒ f (c + ∆z) − f (c) =∂x∂y ∂x ∂x∂u∂u∂u∂u−i−if (c + ∆z) − f (c) =∆x +∆y + o(∆z);∂y ∂x∂y ∂x∂u∂u−i(∆x + i∆y) +o(∆z) = C∆z + o(∆z) ⇒f (c + ∆z) − f (c) ={z}∂x∂y ||{z}∆zC⇒ f ∈ DC(c).∂u∂v∂v∂u−i=+i .f 0 (c) = C =∂x∂y∂y∂xТеорема 3 (Свойства комплексно-дифференцируемой функциикомплексного переменного). Для комплексно-дифференцируемых функцийкомплексного переменного справедливы следующие свойства:1.

f (z), g(z) ∈ DC(c) ⇒ f (z) ± g(z), f (z) · g(z),f (z)∈ DC(c), причемg(z)(f ± g)0 (c) = f 0 (c) ± g 0 (c);(f · g)0 (c) = f 0 (c)g(c) + f (c)g 0 (c); ff 0 (c)g(c) − f (c)g 0 (c)(c) =, g(c) 6= 0.gg 2 (c)2. f ∈ DC(c), g ∈ DC f (c) ⇒ g f (z) ∈ DC(c), причем0g(f ) (c) = g 0 f (c) · f 0 (c). C0−13. Если f ∈DC(c),f(c)=60,∃f:Uf(c)−→ U (c) ⇒ f −1 ∈DC f (c) , причем18Глава 1.

Введение в комплексный анализf −10f (c) =1f 0 (c)1=f0f −1 .f (c)Доказательство. Свойства 1-3 доказываются на основе определения 6Замечание (Отображение кривых и производных). γ : (t1 , t2 ) → Γ,f : Γ → f Γ, γ(t0 ) = c ∈ Γ, f 0 (c) 6= 0, γ ∈ D(t0 ).γ(t) = γ(t ) + γ 0 (t )∆t + o(∆t), ∆t → 0;|{z} | {z0} | 0 {z}zz0∆zf (z) =f (c) + f 0 (c) · γ 0 (t0 )∆t + o(∆t) + o γ 0 (t0 )∆t + o(∆t) ⇒f γ(t) = f (c) + f 0 (c) · γ 0 (t0 )∆t +o(∆t).|{z}0f (γ) (t0 )0f (γ) (t0 ) = f 0 (c) · γ 0 (t0 )Теорема 4 (Геометрический смысл модуля и аргумента производной).Пусть задана функция f : Z → W, f ∈ DC(c), f 0 (c) 6= 0. Тогда1. f 0 (c) - коэффициент локального растяжения плоскости под действиемf.2. arg f 0 (c) - угол локального поворота плоскости под действием f .Замечание.

Теорема 4 утверждает, что при действии отображения f ,имеющего ненулевую производную, комплексная плоскость локально поворачиваетсяи растягивается.1.3. Функции комплексного переменного19Доказательство. Рассмотрим кривую Γ.γ : (t1 , t2 ) → Γ,0 γ(t0 ) = cf (γ) (t0 ),f 0 (c) =0 γ (t0 )0f(γ)∆fγ(t)(t)∆t0 0 0 f (c) =f (c) = - коэффициент локального⇒γ 0 (t0 )∆t∆γ(t)растяжения.0arg f 0 (c) = arg f (γ) (t0 )−arg γ 0 (t0 ) ⇒ arg f 0 (c) - угол локального поворота.Теорема 5 (Свойство сохранения углов между кривыми).0f : Z → W, f ∈ DC(zT 0 ), f (c) 6=∧ 0;Γ1 , Γ2 ⊂ Z; c = Γ1 Γ2 ; α = Γ1 Γ2 ⇒ f Γ∧1 f Γ2 = α.Доказательство.

α - угол между касательными к Γ1 и Γ2 . Под действиемf касательные к кривым Γ1 и Γ2 перейдут в касательные к кривым f Γ1 иf Γ2 , которые повернутся на один и тот же угол arg f 0 (c). Следовательно,угол между касательными сохранится.Определение 8 (Аналитическая ФКП).f : Z → W, c ∈ Z.Говорят, что ФКПf (z) - аналитическая в точке c f ∈ O(c) , если ∃U (c) :f ∈ DC U (c) .Замечание. Аналитические функции называют также голоморфными.В действительном анализе аналитическими называются функции, ряд20Глава 1. Введение в комплексный анализТейлора которых сходится к самой функции.

Далее буде доказано, чтоопределение 8 для комплексных функций эквивалентно действительномуопределению.Предварительно мы докажем, что функция комплексного переменного,дифференцируемая в точке один раз, дифференцируемав этой точке∞сколько угодно раз f ∈ DC(c) ⇒ f ∈ DC (c) .Определение 9 (Гармонические функции действительных переменных).Φ(x, y) : Ω → R, Ω ⊂ R2 ;Φ(x, y) - гармоническая в Ω :⇔ ∀(x, y) ∈ Ω Φ(x, y) ∈ D2 (x, y) и удовлетворяетуравнению Лапласа:∂2Φ ∂2Φ+= 0.∂x2∂y 2Теорема 6 (Гармоничность вещественного представления аналитическойфункции). f : Z → W, f ∈ O(z), f (z) = u(x, y)+iv(x, y) ⇒ u(x, y), v(x, y)- гармонические в Z ⊂ R2 .Доказательство.

Характеристики

Список файлов лекций