Лекции по ТФКП Гуриной Т.А. (553612)
Текст из файла
Теория функции комплексногопеременного. Курс лекций.Гурина Т.А.Глава 1Введение в комплексный анализ1.1Множество комплексных чиселN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.N – множество натуральных чисел;Z – множество целых чисел;Q – множество рациональных чисел;R – множество действительных чисел;C – множество комплексных чисел.Пример. Решимуравнение x2 − 2x + 5 = 0√x12 = 1 ± −4;√−1 = i ∈/ R;x1 = 1 − 2i,x2 = 1 + 2i;Определение 1 (Комплексное число). Говорят, что пара (комплекс)z = (x, y), x, y ∈ R является комплексным числом и пишут: x = Re z; y =Im z, если выполняются следующие условия:1.
z1 = z2 , (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) ⇔ x1 = x2 , y1 = y2 ;2. z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 );3. z1 ·z2 = (x1 , y1 )·(x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 );Замечание. z = (x, 0) = x – чисто действительное число; (0, y) – чистомнимое число;(0, 1) = i – мнимая единица.
i2 = (0, 1)·(0, 1) = (0·0 − 1·1, 0·1 + 1·0) =(−1, 0) = −1.21.1. Множество комплексных чисел3Теорема 1 (Свойства операций над комплексными числами).Пусть z = (x, y), z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ), z3 = (x3 , y3 ) ∈ C. Тогдасправедливы следующие свойства:I Свойства сложения:1. z1 + z2 = z2 + z1 – свойство коммутативности;2. z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 – свойство ассоциативности;3.
∃! e : z + e = z. e = (0, 0) - существование и единственностьнейтрального элемента по сложению4. ∃! z −1 : z+z −1 = e - существование и единственность обратногоэлемента по сложениюII Свойства умножения:1. z1 ·z2 = z2 ·z1 – свойство коммутативности;2. z1 ·(z2 ·z3 ) = (z1 ·z2 )·z3 – свойство ассоциативности;3. ∃! e : z·e = z. e = (1, 0) - существование и единственностьнейтрального элемента по умноженио;4. ∃! z −1 : z·z −1 = e.x−y−1,z =x2 + y 2 x2 + y 2- существование и единственность обратного элемента поумноженио;III Свойство дистрибутивности:(z1 + z2 )·z3 = z1 z3 + z2 z3Доказательство.
I.1 (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) = (x2 + x1 , y2 +y1 ) = z2 + z1 . Коммутативность сложения комплексных чисел следует изкоммутативности сложения действительных чисел.I.3 (x, y) + (0, 0) = (x, y), т.е. e = (0, 0) = 0 - нейтральный элемент посложению.Докажем единственность нейтрального элемента.
Пусть ∃ẽ 6= e : z + ẽ =z ⇒ e + z + ẽ = z + ẽ = z + e = z ⇒ e = ẽ.Замечание. Множество, обладающее свойствами I и II, называется алгебраическимполем. Множества R и Q являются алгебраическими полями; множестваN и Z алгебраическими полями не являются.4Глава 1. Введение в комплексный анализЗамечание. 1. Наличие обратных элементов по сложению и умножениоозначает наличие операций вычитания и деления.2.
На множестве C отсутствует отношение порядка, т.е. запись видаz1 > z2 не имеет смыла.Определение 2 (Алгебраическая форма записи комплексногочисла). z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)·(y, 0). Равенство видаz = x + iyназывается алгебраической формой записи комплексного числа z.Замечание. В алгебраической форме свойства Определения 1 весьмаочевидны :z1 + z2 = x1 + iy1 + x2 + iy2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 );z1 z2 = (x1 + iy1 )·(x2 + iy2 ) = x1 x2 + iy1 x2 + ix1 y2 + i2 y1 y2 = (x1 x2 − y1 y2 ) ++ i(x1 y2 + y1 x2 );Определение 3 (Модуль и аргумент комплексного числа). Комплексноечисло можно графически представить в виде вектора, у которого перваякоордината равна действительной части комплексного числа, а вторая мнимой (см.
рисунок).pМодуль комплексного числа, |z| = r = x2 + y 2 , - длина вектора.Аргумент: ϕ = arg z, ϕ ∈ (−π, π]Im z 6z = (x, y)y-0xRe zsin ϕ = y/r; cos ϕ = x/r;Arg z = arg z + 2πn, n ∈ Z.Определение 4 (Тригонометрическая форма записи комплексногочисла). z = x + iy = r cos ϕ + i r sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ)z = |z|(cos Arg z + i sin Arg z)1.1. Множество комплексных чисел5Определение 5 (Показательная форма записи комплексного числа).Согласно формуле Эйлера: eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ, ϕ ∈ R;z = |z|(cos Arg z + i sin Arg z) = r eiϕz = r eiϕ ,z = |z|ei Arg ϕАлгебраической формой записи комплексных чисел удобно пользоватьсяпри их сложении и вычитании, а тригонометрической и показательной при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня.Теорема 2 (Свойства операций над комплексными числами втригонометрической форме).
Пусть z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 =r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ), z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Тогда справедливы следующиесоотношения:1. z1 z2 = (r1 r2 )(cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ))2.r1z1= (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 ))z2r23. z n = (rn )(cos(nϕ) + i sin(nϕ))4.√nz=√nr(cosϕ + 2πk+ i sin(ϕ1 − ϕ2 ))nДоказательство. Доказательство провести самостоятельно с использованиемэлементарных формул тригонометрии.Теорема 3 (Свойства операций над комплексными числами впоказательной форме). Пусть z = r eiϕ , z1 = r1 eiϕ1 , z2 = r2 eiϕ2 комплексные числа. Тогда справедливы следующие соотношения:1.
z1 z2 = (r1 r2 )ei(ϕ1 +ϕ2 )2.r1z1= ei(ϕ1 −ϕ2 )z2r23. z n = rn ei n ϕ4.√nz=√nzeiϕ+2πkn, k = 0, 1, ..., (n − 1)Доказательство. Утверждения теоремы 3 являются перефомулировкойсоответствующих утверждений теоремы 2 в показательной форме.6Глава 1. Введение в комплексный анализОпределение 6 (Комплексное сопряжение). Говорят, что число z̄является комплексно-сопрояженным числу z ∈ C, если Re z̄ = Re z, аIm z̄ = − Im z.z = x + iy, z̄ = x − iy;z = r(z = cos ϕ + i sin ϕ, z̄ = cos ϕ − i sin ϕ);z = r ei ϕ , z̄ = r ei ϕ .Теорема 4 (Свойства комплексного сопряжения).
Пусть z1 , z2 , z– комплексные числа.1. (z1 + z2 ) = z̄1 + z̄22. (z1 · z2 ) = z̄1 · z̄23. (z n ) = (z̄)n z̄1z14.=z2z̄25. z · z̄ = |z|26. (z̄) = zДоказательство. Доказывается непосредственно на основании свойствалгебраической, тригонометрической и показательной форм записи комплексногочисла.Теорема 5 (Свойства модулю комплексного числа). Пусть z1 , z2 , z– комплексные числа.1. |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |;2.
|z1 − z2 | ≥ |z1 | − |z2 |;3. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |; z1 |z1 |;4. =z2|z2 |5. |z̄| = |z|;6. |z n | = |z|n .Теорема 6 (Свойства аргумента комплексного числа). Пусть z1 , z2 , z– комплексные числа.1.1. Множество комплексных чисел1. arg(z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2 ; z12. arg= arg z1 − arg z2 ;z23. arg(z n ) = n · arg(z);4. arg√nz=arg z + 2πk, k = 0, . . . , (n − 1).n78Глава 1.
Введение в комплексный анализ1.2Топология множества CОпределение 1 (Комплексная плоскость). Геометрически удобнопредставлять комплексные числа в виде векторов.{(x, 0)} – вещественная ось;{(0, y)} – мнимая ось;{(x, 0)} ∩ {(0, y)} = (0, 0) = 0.Im z 6z = (x, y)y0-xRe z2C ↔ R , C ↔ V – пространство геометрических векторов.Сумме (разности) комплексных чисел z1 и z2 соответствует сумма (разность)соответствующих векторов. Произведению комплексных чисел соответствуетвектор, лежащий под углом ϕ1 +ϕ2 к вещественной оси, с длиной, равнойпроизведению модулей перемножаемых комплексных чисел. Частномусоответствует вектор, лежащий под углом ϕ1 − ϕ2 к вещественной оси, сдлиной, равной частному модулей.
Комплексному сопряжению соответствуетвектор, симметричный z относительно вещественной оси.1.2. Топология множества C9Определение 2 (Метрика pна множестве C). Пусть z1 , z2 ∈ C.Функция d(z1 , z2 ) := |z1 −z2 | = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 называется метрикой.Замечание. Метрика обладает следующими свойствами:1. d(z1 , z2 ) = 0 ⇔ z1 = z2 ;2. d(z1 , z2 ) = d(z2 , z1 );3. d(z1 , z2 ) ≤ d(z1 , z3 ) + d(z2 , z3 ) – неравенство треугольника.Определение 3 (Окрестность в C).
Пусть c ∈ C, ε ∈ R, ε > 0. εокрестностью точки c называется множествоUε (c) := {z ∈ C | d(z, c) < ε}.UM (∞) := {z ∈ C | d(z, 0) > M }.10Глава 1. Введение в комплексный анализЗамечание. Uε (c) и UM (∞) - открытые множества.Определение 4 (Предел комплексной последовательности). Пустьзадана последовательность {zn } ⊂ C.
c = lim zn :⇔ ∀Uε (c)∃ N :n→∞∀ n > N zn ∈ Uε (c)Замечание (Свойства пределов комплексных последовательностей).1. {zn0 } → c0 , {zn00 } → c00 ⇒{zn0 + zn00 } → c0 + c00 ,{zn0 · zn00 } → c0 · c00 , 0znc0 00→, c 6= 0.zn00c002. zn = xn + iyn , c = a + ib.{zn } → c ⇒ {xn } → a, {yn } → b.3. zn = rn eiϕn , c = |c|ei arg c ,{zn } → c ⇒ {rn } → |c|.4. {rn } → c, {ϕn } → arg c ⇒ {zn } → cОпределение 5 (Бесконечно удаленная точка).lim zn = ∞ :⇔ ∀UM (∞)∃N : ∀n > N zn ∈ UM (∞).n→∞Замечание. Бесконечно удаленная точка - это внешность сколь угоднобольшого круга на комплексной плоскости.
Или бесконечно удаленнаяточка - это объединение всех точек окружности бесконечно большогорадиуса.Определение 6 (Бесконечно удаленная точка).lim zn = ∞ :⇔ ∀UM (∞)∃N : ∀n > N zn ∈ UM (∞).n→∞Определение 7 (Расширенная комплексная плоскость). МножествоC = C ∪ {∞} называется расширенной комплексной плоскостью.Замечание. Склеивая точки окружности сколь угодно большого радиусаили добавляя точку бесконечность к множеству конечных комплексныхчисел, мы приходим к пониманию множества комплексных чисел каксферы.1.2. Топология множества C11Определение 8 (Стереографическая проекция.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
