2sem_6 (552399), страница 2
Текст из файла (страница 2)
величины, не зависящие от времени, илиинтегралы движения. Тогда можно сказать, что функция распределения ρ ( q, p ) , являясь функциеймеханических инвариантов, сама есть интеграл движения.Если учесть, что распределение ρ для совокупности двух подсистем согласно теореме об умножениивероятностей равно произведению функций распределенияρ1 и ρ 2этих подсистем в отдельности:ρ = ρ1 ρ 2 , то аддитивным интегралом движения должен быть логарифм функции распределенияln ρ = ln ρ1 + ln ρ 2 ,который выражается через, опять-таки, аддитивные механические инварианты.Такие интегралы движения хорошо известны – это энергия, три компоненты вектора импульса и трикомпоненты момент импульса.Т.о., значения аддитивных интегралов движения – энергии, импульса и момента импульса – полностьюопределяют статистические свойства замкнутой системы, т.е.
статистические распределения любых еёподсистем и средние значения физических величин.Заметим, что импульс и момент импульса замкнутой системы связаны с её движением как целого:равномерным поступательным движением и равномерным вращением. Если представить систему, заключеннойв твердый «ящик» (газ в сосуде) и использовать систему координат, в которой «ящик» покоится, то импульс имомент импульса системы можно вообще исключить из рассмотрения.
Тогда единственным аддитивныминтегралом движения остается энергия, причем наличие «ящика» на статистических свойствах подсистем нескажется. Поэтому можно сказать, что статистическое состояние системы, совершающей заданное движение,зависит только от её энергии. Благодаря этому энергия приобретает в статистике совершенноисключительное значение.Т.о., для любой квазизамкнутой системы функция распределения ρ (q, p ) , описывающая статистическоесостояние системы, зависит только от энергии.Для одной молекулы можно записать:ρ ( x, y , z , p x , p y , p z ) = ρ W ( x , y , z , p x , p y , p z ) .(5.12){}2Для идеального газа энергия 1 молекулы: W ( p x , p y , p z ) =2px + p y + pz2m2p2=.2mВ общем случае W - это полная энергия квазизамкнутой системы, включающая поступательную,вращательную и колебательные энергии, а также потенциальную энергию.Функция распределения по энергиям.Учитывая определяющую роль энергии, естественно перейти от определения вероятности попаданиямолекулы в объем dΓ = dΓq dΓ p = dΓr dΓ p к нахождению вероятности для молекулы рассматриваемойсистемы иметь энергию W .Начнем, как мы обычно поступаем, с решения задачи для системы, представляющей собой идеальный газ,т.е.
совокупность молекул, взаимодействиями между которыми можно пренебречь.5.3. Идеальный газ.В этом случае нет необходимости рассматривать пространственную часть объема фазового пространстваdΓr , т.к. энергия системы не является функцией координат.PzБудем искать вероятность состояния молекулы с энергией,лежащей в интервале от W до W + dW .Энергия частицы может быть представлена как W =pypxp 2 mv 2=.2m2Для определенных значений скорости v , или импульса p , областьфазового пространства, соответствующая диапазону энергийW ÷ W + dW , имеет вид тонкого шарового слоя, радиусомp = 2mW .Вероятность того, что энергия молекулы принадлежит диапазону значений W ÷ W + dW , определяетсяпо теореме сложения вероятностей как5∫ ρ {W ( pdP(W ) =x, p y , p z )}dp x dp y dp z ,(5.13)p ÷ p + dpгде интегрирование ведется по шаровому слою от p до p + dp .
Поскольку рассматриваемый шаровой слойочень тонкий (в его пределах W практически не меняется), то значение функции распределениянего можно считать постоянным, и вынести ρ из-под знака интеграла:dP(W ) = ρ (W ) ⋅∫ dΓpρвнутри= ρ (W ) ⋅ dΓW(5.14)p ÷ p + dpЗдесь dΓ p = dp x dp y dp z , а dΓW =∫ dΓp- объем шарового слоя с радиусом p . Вычислим его.p ÷ p + dpОбъем шара радиусом p находится по хорошо известной формуле443/ 2Γшар = π p 3 = π (2mW ) .33Отсюда объем соответствующего шарового слоя:dΓшар = 4π p 2 dp .Выразим этот объем через энергию:dΓW =dΓшарdWdW = 4π p 2dpdW ,dW(5.15)где dΓW − число состояний (единичных элементов фазового объема) с энергией между W и W + dW .Учитывая, что p =2mW , находим из (5.14) и (5.15) для молекулы идеального газа вероятность иметьэнергию в интервале значений от W до W + dW :dP (W ) = 4π m 3 / 2 2W ⋅ ρ (W )dW = ρ W (W )dW ,(5.16)где ρ W (W ) − новая функция распределения молекул по энергиям:ρ W (W ) = 4π m 3 / 2 ρ (W ) 2W.Примечание 1.
Важно отличать друг от друга функции распределения, обозначенные1) функцияρ (W ) и ρ W (W ) :(5.17)ρ (W ) = ρ {W (q, p)} определяет плотность вероятности микросостояния (обнаружитьсистему с заданной энергией W в единице фазового объема с координатами q и импульсами p ), это естьмикрораспределение;2) функция ρ W (W ) представляет собой плотность вероятности обнаружить систему в состояниис заданной энергией W при всех возможных значениях координат q и импульсов p , соответствующих этойэнергии (шаровой слой в фазовом пространстве), иначе, это есть макрораспределение.Примечание 2. Если функция микрораспределения ρ (W ) = ρ W ( q, p ) определена в пространстве скоростей{(т.е. W =}2mv), то вероятность иметь энергию в интервале от W до W + dW для молекулы идеального газа2равнаdP (W ) = 4π m −3 / 2 2W ⋅ ρ (W )dW = ρ W (W )dW .5.4.
Зависимость функции микрораспределенияρ (W )от энергии.Используя вероятностные соображения, можно найти явный вид зависимости функции ρ (W ) от энергии.Выделим в рассматриваемой системе (снова обратимся к идеальному газу) подсистему из двух молекул(невзаимодействующих). Энергия такой подсистемы - аддитивная величина:W = W1 + W2 .(5.18)Функция распределения подсистемы по теореме умножения вероятностей равнаρ (W ) = ρ (W1 ) ⋅ ρ (W2 ) ,(5.19)т.е.
функция распределения выделенной подсистемы есть не аддитивная величина. Поскольку всегда удобнееработать с аддитивными величинами, можно ввести в рассмотрение логарифм функции распределения поэнергиям от энергии:6ln ρ (W ) = ln ρ (W1 ) + ln ρ (W2 ) ,(5.20)который есть уже величина аддитивная.Т.о., при описании при описании сложной системы, состоящей из слабовзаимодействующих подсистемдолжны суммироваться их энергии и логарифмы функций распределения, являющиеся аддитивнымивеличинами. Однако выражения (5.18) и (5.20), описывающие свойства одной и той же системы можносовместить только в том случае, когда логарифм функции распределения ln ρ (W ) является линейнойфункцией энергии W :гдеαиβln ρ (W ) = α + β W ,(5.21)ρ (W ) имеет вид:ρ (W ) = const ⋅ e βW .(5.22)- неизвестные пока постоянные.Итак, общий вид функции распределения5.5.
Произвольная макроскопическая квазизамкнутая подсистема.Проведем рассуждения, аналогичные приведенным выше, применительно к произвольномумакроскопическому телу (неидеальные газы, твердое тело).Мысленно разбивая систему на квазизамкнутые макроскопические подсистемы, представим полнуюэнергию любой подсистемы как сумму энергий образующих её отдельных частиц (молекул):W = ∑ Wi ,(5.23)iгде теперь под Wi мы понимаем как кинетическую, так и потенциальную энергии частиц.При этом энергия подсистемы есть функция координат и импульсов всех образующих её частицW = W (q, p) , где q = x1 , y1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 ,... и p = p1x , p1 y , p1z , p2 x , p2 y , p2 z ,...Мы знаем, что вероятность нахождения подсистемы в элементе объема dΓ многомерного фазовогопространства определяется какdP(q, p) = ρ (q, p )dΓ(5.24)ЗдесьdΓ = dΓq dΓp = dx1dy1dz1dx 2 ...
dp1x dp1 y dp1z dp2 x ... дифференциал 2 s (или 6 N ) порядка, где s − число степеней свободы ( N − число частиц).Из стационарности функции распределения ρ (q, p ) следует, что она зависит лишь от интеграловдвижения, а именно от энергии. Поэтомуρ {W (q, p)} = ρ {W ( x1 , y1 , z1 ,..., p1x , p1 y , p1z ,...)}(5.25)Функция ρ {W (q, p )} ≡ ρ (W ) – микрораспределение, определяющее нахождение системы в состоянии сзаданной энергией при определенных значениях компонент координаты и импульса.Найдем теперь, как мы это делали для одной молекулы идеального газа, вероятность состояния системы,которое определяется только заданием энергетического интервала W ÷ W + dW при всех возможныхзначениях компонент координаты и импульса, т.е.
перейдем к макрораспределению ρ W (W ) .Вероятность состояния системы с энергией от W до W + dW определяется какdP(W ) =∫ ρ {W (x , y , z ,... p1111x, p1 y , p1z ,...)}dΓ .(5.26)W ÷W + dWЗначениям энергии, заключенным в интервале W ÷ W + dW , в многомерном фазовом пространстве{q, p} соответствует “шаровой слой”, содержащий все множество фазовых (изображающих) точек всехвозможных значений компонент обобщенных координат и импульсов, при которых рассматриваемаяподсистема обладает энергией от W до W + dW .Поскольку рассматривается тонкий “шаровой слой”, то внутри его можно считать функцию ρ {W (q, p )}постоянной и вынести из-под знака интеграла.Далее, вводя объем многомерного шарового слоя dΓW какdΓW =∫ dΓ ,W ÷W + dWможем записать(5.27)7dP(W ) = ρ (W ) ⋅∫ dΓ = ρ (W )dΓW.W ÷W + dWЗаметим, интеграл (7.27) берется по 2 s − 1 (или по 6 N − 1 ) переменным, поэтому dΓW - ужедифференциал первого порядка.Как и в предыдущем параграфе (при рассмотрении идеального газа), свяжем дифференциал dΓW ссоответствующим приращением энергии dW и введём функцию макрораспределенияэнергиям:dΓW =ТогдаdP (W ) = ρ (W )∂ ΓWdW .∂W(5.28)∂ ΓWdW = ρ W (W )dW∂WИлиρW (W ) = ρ (W )∂ ΓW∂WWпо всем W(W )dW =∫,(5.29).(5.30)Условие нормировки записывается как∫ dP(W ) = ∫ ρρW (W ) подсистемы поρ (W )по всем W∂ ΓWdW = 1 .∂WЕще раз отметим существо различия между используемыми функциями микрораспределениямакрораспределенияρ W (W ) .Можно сказать, что(5.31)ρ (W ) иρ (W ) = ρ {W (q, p )} - плотность вероятности иметь энергию винтервале от W до W + dW системе, находящейся в единице фазового объема,ρW (W ) = ρ (W )∂ ΓW∂W- плотность вероятности иметь энергию винтервале от W до W + dW системе, находящейся в любой точке всего объема фазового пространства.(Пример с мишенью).Прежде, чем приступить к нахождению явного вида функции распределения ρ (W ) для произвольнойквазизамкнутой равновесной макроскопической системы, как мы это сделали для идеального газа, определимпараметры, используемые при статистическом подходе к описанию таких систем.5.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
