2sem_5 (552398), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Исследуем его. Подставим вотносительную квадратичную флуктуацию выражения для p и q.(∆n) 2δ =n=q 1V1⋅=−1 ⋅pvNN(4.9)1) Рассмотрим большой объем v → V , тогда относительная флуктуация стремится к нулю, т.к. число частиц вобъеме V фиксировано.2) При уменьшении объема v ( v → 0 ) относительная флуктуация возрастает, т.е. при v << V(∆n) 2n≈1vNV=1nуменьшаем область рассмотрения и относительная флуктуация возрастает.13). Пусть v = V , тогда2(∆n) 2n=1Примеры: а) Пусть n = 10 частиц и v =N.1V , тогда относительная флуктуация2(4.10)13σn1=13~10б) Рассмотрим газ, находящийся при нормальных условиях в объеме v = 1 мм = 103−3см 3 . Средняяконцентрация молекул в этом случае составляет n = 2.7 ⋅ 10 частиц/мм3.При v << V получаем очень малую величину относительной квадратичной флуктуации16(∆n) 21=n≈ 10 −8nПолученный результат можно обобщить следующим образом.

Относительная флуктуация всякойаддитивной величины убывает обратно пропорционально квадратному корню из числа частицмакроскопического тела, т.е. в макроскопических системах статистические флуктуации незначительны.Поэтому при достаточно большом числе частиц сама аддитивная величина может считаться практическипостоянной во времени и с большой точностью равной своему среднему значению.

Или иначе, подавляющуючасть времени система находится в состояниях, в которых отклонения аддитивных параметров системы отсреднего не превышают относительную флуктуацию.Поэтому поведение системы большого числа частиц можно надежно описывать с помощью среднихвеличин, характеризующих систему.Распределения Пуассона и Гаусса.Рассмотрим важные для статистики предельные случаи.Пусть N → ∞ , V → ∞ и n << N но так, что n = vNостается постоянным.VПерепишем (3.15) в видеnn 1 2   n − 1 PN (n ) =1 −1 − 1 −  ⋅ ⋅ ⋅ 1 −n!  N  N  N N nN −n.(3.16)В силу n << N выражение, стоящее в фигурных скобках, мало отличается от единицы.Учитывая далее, чтоn lim 1 −N →∞N N −n=e− n,получаем из (3.16) формулу Пуассона:P(n ) = lim PN (n ) =N →∞Заметим, что P (n ) удовлетворяет условию нормировки∞∞∑ P(n ) = e ∑− nn =0так как сумма по n равна enn =0nnnn!e− n.(3.17)nn!= 1,(3.18).Рассмотрим формулу Пуассона в случае, когда n , n и ∆n = n − n - большие числа, ноИз (3.17) следуетln P(n ) = n ln n − n − ln n! .∆nn<< 1 .(3.19)Преобразуя это выражение, воспользовавшись для ln n! полной формулой Стирлинга1ln n!= n ln n − n + ln (2πn ) ,2и проведя дальнейшие преобразования, в результате получим распределение Гаусса:(n − n )2P(n ) =(Комментарии: БКФ, т.V, 321-327).12π ne−2 n.(3.21)14Системы и подсистемы.Систем, полностью удовлетворяющих термину “замкнутая”, т.е.

не взаимодействующих ни с какимидругими телами, вообще говоря, в природе не существует, за исключением, вероятно Вселенной.Поэтому с практической точки зрения более интересными объектами являются малые, по сравнению со всеймакроскопической системой, но в то же время содержащие очень большое число частиц, её части.Такие относительно малые, но в то же времямакроскопические части мы будем называть подсистемами.Подсистема опять есть механическая система, но уже незамкнутая, а испытывающая всевозможные воздействия состороны остальных частей системы. Благодаря огромному числустепеней свободы окружающих подсистему остальных частейсистемы, эти взаимодействия будут носить сложный и запутанныйхарактер. Поэтому весьма сложным и запутанным образом будетменяться со временем и состояние рассматриваемой подсистемы.Точное решение задачи путем решения задачи механики для всейсистемы, как отмечалось выше, представляет собойневыполнимую задачу.

Однако, как мы уже знаем, существует иной подход к решению этой задачи –статистический.Т.о., давая возможность вычислять средние значения величин, характеризующих макроскопические тела,статистика позволяет делать предсказания, оправдывающиеся с весьма большой степенью точности. В этомсмысле предсказания статистической физики приобретают практически определенный, а не вероятностныйхарактер.Квазизамкнутость. Статистическая независимость.Поскольку подсистемы не являются сами по себе замкнутыми, они подвергаются непрерывномувоздействию со стороны остальных частей системы.

Но благодаря тому, что эти малые части системыявляются сами макроскопическими телами, мы можем считать, что в течение не слишком большихпромежутков времени они ведут себя приблизительно как замкнутые системы.Действительно, во взаимодействии подсистемы с окружающими частями участвуют преимущественно течастицы, которые находятся вблизи её поверхности. Однако относительное число этих частиц по сравнению сполным числом частиц в подсистеме быстро уменьшается с ростом её размеров.

Поэтому при значительнойвеличине подсистемы энергия взаимодействия с окружающими частями будет мала по сравнению с еёвнутренней энергией. О такой подсистеме можно сказать, что она является квазизамкнутой.Можно провести следующие размерные оценки.Объемная энергия подсистемы пропорциональна ~ L ~ N , где L − линейный размер, а N − числочастиц в подсистеме.32Поверхностная энергия подсистемы пропорциональна ~ L ~ NWповерхнWобъемн~23.11~ 1 / 3 << 1 , если N велико.L N(5.3)Т.е.

с увеличением числа частиц в подсистеме объемные эффекты растут значительно быстрее, чемповерхностные. И при достаточно большой подсистеме ее взаимодействие с окружающими частями будет малопо сравнению с внутренними взаимодействиями. Это справедливо и в том случае, когда взаимодействие междучастицами мало (идеальный газ).Еще раз отметим, что квазизамкнутость подсистем будет иметь место лишь на протяжении не слишкомдлительных промежутков времени.

В течение же достаточно большого промежутка времени влияниевзаимодействия подсистем – сколь угодно слабое – все равно проявится. Именно это сравнительно слабоевзаимодействие и приводит в конце концов к установлению статистического равновесия в системе.Тот важный факт, что различные подсистемы можно считать слабо взаимодействующими друг с другом,приводит к тому, что на протяжении указанных промежутков времени их можно считать независимыми также ив статистическом смысле.Статистическая независимость означает, что состояние, в котором находится одна из подсистем, никак невлияет на вероятности различных состояний других подсистем.Свойства статистического распределения для малых подсистем.Статистическое распределение малой подсистемы не зависит1) от начального состояния какой-либо другой малой части той же системы, т.к. влияние этого начальногосостояния будет в течение времени τ вытеснено влиянием остальных обширных частей макросистемы;152) от начального состояния самой подсистемы, поскольку данная подсистема с течением времени проходитчерез все возможные состояния и каждое из них может быть выбрано в качестве начального.Это свойство макросистем и дает возможность находить функцию распределения, не решая уравнениямеханики для этой системы с учетом начальных условий.

Если задача решена и статистическое распределениемалой макроскопической подсистемы найдено, тогда можно вычислить вероятности различных значенийлюбых величин, зависящих от состояния рассматриваемой подсистемы.Важнейший результат этого рассмотрения: подсистему, входящую в замкнутую систему, и ее энергиюможно рассматривать и описывать статистически. Это и есть вероятностное описание тепловых процессов.Несколько раньше мы выяснили, что относительные флуктуации быстро падают с ростом числа частиц ималы для больших N , т.е. в течение достаточно большого промежутка времени физические величины малоотклоняются от своих средних значений.Очень важным является то, что практически все величины, описывающие физические свойства системы,могут рассматриваться как аддитивные.

В частности, полная энергия системы может быть определена какW = ε 1 + ε 2 + ... + ε n = ∑ ε i(5.4)iгдеεi −энергия квазизамкнутой подсистемы. Это равенство приблизительное, но выполняется с тем большейточностью, чем больше частиц содержится в системе и подсистемах.Предположим, что система замкнута и не взаимодействует ни с какими другими телами. Тогда состояниесистемы можно характеризовать её полной энергией W , причем W = const .5.3. Статистическое равновесие.Если замкнутая макросистема находится в состоянии, в котором для каждой ее части, являющейся самойпо себе макросистемой, значения физических величин, характеризующих состояние этой подсистемы, сбольшой точностью равны своим средним значениям, то говорят, что рассматриваемая система находится всостоянии статистического равновесия (о нем говорят также, как о термодинамическом или тепловомравновесии).1) Если система наблюдается в течение достаточно большого промежутка времени, то подавляющую частьэтого промежутка оно проводит в состоянии статистического равновесия.2) Если в какой-то начальный момент времени система не находилась в состоянии статистическогоравновесия (например, искусственно была выведена из него внешними воздействиями, а потом снова сталазамкнутой), то в дальнейшем она обязательно перейдет в состояние статистического равновесия.Промежуток времени перехода в состояние статистического равновесия есть время релаксации.Переходные процессы изучает кинетика, а статистика изучает системы, находящиеся в состояниистатистического равновесия.Заключая главу, ещё раз отметим, что основная задача статистической физики – вычисление на основемолекулярных представлений средних значений различных величин (давления, энергии, магнитного момента идр.) для макроскопических тел в состоянии статистического равновесия, а также флуктуаций соответствующихвеличин, относящихся к малым частям системы..

Характеристики

Список файлов лекций