2sem_5 (552398), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

она имеетразмерность нуль и в ней частица находится бесконечно малое время.Правильно в этом случае определять вероятность того, что частица находится в интервале значенийкоординаты от x до x + dx . Различные области возможных значений случайной величины могут не бытьодинаково вероятными, поэтому для непрерывно изменяющейся величины существует «распределениевероятностей». Время t x , которое частица проводит в интервале ( x ÷ x + dx ) пропорционально dx , и тогдавероятность попадания частицы в этот интервал может быть записана какdPx = ρ ( x)dx .(1.5)ρ ( x ) − коэффициент пропорциональности, дающий вероятность нахождения частицы в интервалеединичной длины. Коэффициент ρ ( x ) называют плотностью вероятности.ЗдесьОбратимся снова к частице, заключенной в объеме V , и определим вероятность её попадания в объем ∆V ,являющийся частью объема V .

По-прежнему∆N.N →∞ NP(∆V ) = limОпределим плотность вероятности как 1 ∆N (1.6)P(∆V )ρ ( x, y, z ) = lim = limN →∞ ∆V N  ∆V →0 ∆V∆V →0 Или=dP.dV(1.7)dP = ρ ( x, y, z )dV .Подход к нахождению вероятности обнаружения частицы посредством задания плотности вероятностиявляется более универсальным, поскольку позволяет вычислить вероятность интересующего нас события и томслучае, когда пространство, в котором заключена частицы неоднородно.Если проведено N измерений, то число измерений dN , соответствующих попаданию частицы вбесконечно малый объем dV (под N в будущем будем понимать число частиц в рассматриваемом объеме),определяется какdN = NdP = N ⋅ ρ ( x, y, z )dV = N ⋅ ρ ( x, y, z )dxdydz ,а в конечный объем ∆V :4N (∆V ) = N ∫ ρ ( x, y, z )dxdydzV1и вероятность обнаружить частицу в объеме ∆V :P(∆V ) =N (∆V )= ∫ ρ ( x, y, z )dxdydz .N∆V(1.8)Условие нормировки для непрерывно изменяющихся величин имеет вид:∫ dP = ∫ ρ ( x, y, z )dxdydz = 1 .V(1.9)VВ заключение параграфа сделаем следующие важные замечания.Конечно же, применение теории вероятностей было бы весьма затруднительно, если для определениявероятностей наступления событий требовалось бы на самом деле проводить серию соответствующихиспытаний для определения предельных частот.

В действительности вероятности определяются обычно неэмпирически, а либо на основании соображений симметрии (как в случае с игральным кубиком), либо вводятсяa priori на основании какой-либо гипотезы, справедливость которой обосновывается всеми полученнымитеорией следствиями.Одной из основных задач теории вероятностей является определение вероятности сложных событий поизвестным вероятностям простых событий. Наиболее просто такая задача решается, если возможностьнаступления какого-либо событие, никак не связана с появлением любого другого из возможных событий.Такие события называются статистически независимыми.Простейшим примером таких событий опять-таки является выпадения какого-либо числа очков припоследовательном бросании игральной кости (или при одновременном бросании нескольких костей).2.2.

Основные теоремы.а). Теорема сложения вероятностей.Пусть имеем дискретный набор случайных величин, характеризующих состояние системы. Назовем одноиз возможных состояний системы α , а другое – β . Если система не может одновременно находиться всостоянииα и в состоянии β , то мы имеем дело с взаимоисключающими событиями: αилиβ.Пусть времена их нахождения в этих состояниях равны tα и t β , соответственно.

Тогда вероятностьсистеме попасть в состояния либоα , либо βPα + β = limесть:tα + t β= limττ →∞τ →∞tατ+ limτ →∞tβ= Pα + Pβ .τ(1.10)Это теорема сложения вероятностей для двух взаимоисключающих событий.Примеры: бросаем кубик - ожидаем «5» или «6», молекула внутри объема ∆V = ∆V1 + ∆V2 .Исходя из этого, формируется условие нормировки вероятностей:P1 + P2 + P3 + ... = ∑ Pi = limiτ →∞t1τ+ limτ →∞t2τ+ limτ →∞t3τ+ ... = limτ →∞т.к. сумма по всем возможным состояниям, или по всем временам∑ti1τ(t1 + t 2 + t 3 + ...) = 1,(1.11)= τ , дает единицу.iДля непрерывного распределения переменной x :∫ dP = ∫ ρ ( x)dx = 1 .(1.12)б).

Теорема умножения вероятностей.Рассмотрим две независимые физические системы 1 , состояние которой характеризуются совокупностьювеличин L = L1 , L2 ,...Lα ,... и 2 , состояние которой характеризуются совокупностью величинM = M 1 , M 2 ,...M β ,... , соответственно.Системы называются статистически независимыми, если вероятность Pα нахождения системы 1 всостоянииαсо значением Lα никак не зависит от вероятности нахождения системы 2 в состоянииβсозначением M β .Найдем вероятность того, что первая система находится в состоянии α, а вторая - в состоянии β:Pαβ = limN →∞N αβN(1.13)5где N αβ - число измерений, в которых параметры систем L и M одновременно принимают значения Lα иM β , соответственно.

Число измерений, когда система 1 находится в состоянии, характеризуемом значениемLα : N α = Pα ⋅ N . Однако лишь в некоторой доле этих измерений параметр M системы 2 принимаетзначение M β . Нетрудно видеть, что: N αβ = Pβ ⋅ N α . Тогда получаем теорему умножения вероятностей длястатистически независимых систем:Pαβ = Pα ⋅ Pβ(1.14)Примеры:1) бросаем два кубика (либо один кубик бросаем два раза), интересуемся вероятностью выпадения у одного“ 6 ”, а у второго - “ 5 ”, тогда имеем: P6,5 =1 1 1⋅ =.6 6 36Если нам безразлично, на каком конкретно кубике выпадает одно из этих чисел, то вероятность такогособытия: P6,5 =2.362 ∆V = . V 2) Одновременное попадание двух молекул в объем ∆V : P2→∆V2.3.

Среднее значение случайной величины.Как уже неоднократно подчеркивалось, особый интерес для описания макроскопических систем,образованных очень большим числом частиц, зачастую представляет не полный набор возможных значенийинтересующей нас величины и их вероятности, а её среднее значение.Определим среднее значение случайной величины или, в пределе, математическое ожидание.Пусть некоторая физическая величина L принимает дискретный ряд значений L1 , L2 , L3 ,... ссоответствующими вероятностями P1 , P2 , P3 ,... их появления.Среднее значение L физической величины L определяется (подобно нахождению центра масс) какN α Lα∑N 1 L1 + N 2 L2 + ...αL = lim= lim= ∑ Pα Lα ,N →∞N →∞NNαL = ∑ Pα Lα .(1.15)αСреднее значение произвольной функции f (L ) равноf ( L) = ∑ Pα f ( Lα ) .(1.16)αДля непрерывно изменяющихся величин (например, координаты x ) имеемx = ∫ xdPx = ∫ xρ ( x )dx ,f ( x ) = ∫ f (x )ρ (x )dx ,где интегрирование проводится по всем возможным значениям x .(1.17)(1.17а)Рассмотрим некоторые свойства средних значений.1.

Пусть f (L ) и ϕ (L ) - две различные функции случайной величины L . Тогда среднее значение суммыравно этих функций равноf ( L) + ϕ ( L) = ∑ Pα ( f ( L) + ϕ ( L) ) = ∑ Pα f ( Lα ) + ∑ Pα ϕ ( Lα ) = f ( L) + ϕ ( L) .α2.3.α(1.18)αЕсли f (L ) = cϕ (L ) , где c − постоянный множитель, тоf (L ) = cϕ (L ) = c ϕ (L ) = c ∑ ϕ α (L )Pα = c ϕ (L ) .Если f (L ) иϕ (M )(1.19)α- функции аргументов L и M , соответственно, тоf (L )ϕ (M ) = ∑∑ Pαβ f (Lα )ϕ (M β ) .α(1.20)βВ том случае, когда переменные L и M описывают две статистически независимые системы, Pαβ = Pα Pβ6и тогдаf (L )ϕ (M ) = ∑ Pα f (Lα )∑ Pβ ϕ (M β ) = f (L ) ϕ (M ) .αβ3.4. Флуктуации.При статистическом описании задачи возникает естественный вопрос, с какой точностью значениеf (L ) ≡ f характеризует наблюдаемые на опыте значения f (L ) ≡ f ? Совершенно очевидно, чтовеличина f может отклоняться от своего среднего значения и, в отдельных случаях, весьма значительно.

Какуже отмечалось, мы рассматриваем поведение макроскопических систем, и рассматриваемые отклонения будутопределяться коллективным поведением огромного числа частиц. Поэтому нас интересует мера отклонениясреднего отклонения функции f от своего среднего значенияСреднее значение отклонения f от своего среднего∆f =(f −ff .f равно)= f − f = 0,и поэтому не может являться мерой среднего отклонения f от своего среднего значенияf . Равенство нулю∆f связано с тем, что отклонения f от своего среднего значения в одну и другую стороны при случайныхотклонениях встречаются одинаково часто.За меру среднего отклонения величины f от(∆f )2=(f −f)2=(f2f выбирают обычно величину−2f f + f2)=f2−2 f2+ f2= f2− f2,называемую квадратичной флуктуацией величины f .Наряду с квадратичной флуктуацией для описания возможных отклонений параметров макроскопическойсистемы от своих средних значений часто используют величинуσ=(∆f )2,называемую дисперсией, а также относительную квадратичную флуктуацию, определяемую как(∆f )2δf =f.Флуктуация – отклонение случайной величины от своего среднего значения.

Она характеризует, как частосостояние системы отклоняется от своего среднего значения.1.3. Распределение молекул газа в сосуде.3.1. Распределение молекул между двумя половинками сосуда.Применим теперь элементы теории вероятности для описания одноатомного идеального газа, заключенногов сосуд объемом V . Рассмотрим сначала распределение молекул между двумя половинками сосуда.Введем следующую терминологию:Макросостояние - состояние, определяемое только известным количеством частиц в каждой из половин сосуда(без уточнения их номеров и, полагая частицы неразличимыми);Микросостояние - состояние, определяемое нахождением конкретных (по номерам) частиц в каждой изполовин сосуда (известно, частицы с какими номерами находятся в левой и правой половинах сосуда).Статистический вес (статвес) - это число равновероятных микросостояний, посредством которыхреализуется данное макросостояние.1).

Если имеется всего одна молекула, то вероятность найти ее в любой половине сосуда равнаP1 / 2 =12(4.1).2). Возьмем две молекулы, пронумеруем их и будем размещать их всеми возможными способами двум пополовинкам сосуда. Очевидно, что всего возможны 4 (четыре) способа размещения:•2•1•1•2•2•1•1•27Вероятность каждой из молекул оказаться в какой-либо половине сосуда равна1.

Поскольку положения2молекул никак не зависят друг от друга, т.е. это независимые события, то, вероятность определенногоразмещения двух молекул сразу равна1 1 1× = .2 2 43). Пусть мы теперь имеем 4 молекулы. Пронумеруем эти частицы: 1, 2, 3, 4, считая, что это возможно сделать.Итак, каждое “номерное” размещение частиц по половинкам сосуда - это микросостояние. Понятно, что411вероятность каждого микросостояния одинакова и в случае 4-х частиц равна:   =.216Построим таблицу:МакросостояниеN(число частиц вполовинках сосуда)левая123450праваяМикросостояниеСтатистический вес(частицы с разныминомерами в половинкахсосуда)леваяправая(число микросостояний,соответствующихопределенномумакросостоянию)41,2,3,4112,3,41321,3,4431,2,441,2,31,23,41,32,4221,42,362,31,42,41,33,41,21,2,34311,2,4341,3,422,3,41401,2,3,41Полная вероятность макросостояний равна, как и следует ожидать, единице:Вероятностьмакросостояния1/164 ⋅1/16 = 1/46 ⋅1/16 = 3/81/41/161 1 3 1 1+ + + += 1.16 4 8 4 16Из данных таблицы видно, что наиболее вероятное макросостояние - это симметричное распределение молекул.4).

Характеристики

Список файлов лекций