2sem_2 (552396), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Т.к. объем газа остается постоянным, то количествотеплоты, необходимое для нагревания, равноV = const :δQ = CV dT .Согласно первому началу, в изохорном процессе ( δA = 0 ) количество полученной теплоты равно изменениювнутренней энергии газаCV dT = dU .(1.25)Пусть начальное состояние газа то же самое, но поршень может свободно перемещаться, сохраняя постояннымдавление P . Теперь для повышения температуры газа на dT потребуется теплотаP = const :δQ = C P dT .Внутренняя энергия идеального газа, зависящая только от температуры, изменится так же, как и в предыдущемопыте. Кроме того, газ совершит работуδA = PdV = d (PV ) = d (RT ) = RdT .Т.о.,C P dT = dU + RdT .(1.28)Вычитая из (1.28) уравнение (1.25) и поделив на dT , снова получаем уравнение Роберта Майера.Этот вывод уравнения Роберта Майера ясно показывает, что различие между теплоемкостями C P и CV дляидеального газа обусловлено только работой, которую совершает газ при расширении против постоянноговнешнего давления.9Теплоемкость и степени свободы.

Зависимость теплоемкости от температуры.Закон о равнораспределении энергии по степеням свободы мы обсудили, когда рассматривали средниезначения энергии, приходящиеся на различные степени свободы молекул.Рассмотрим идеальный газ. Один моль газа содержит N A молекул, поэтому его внутренняя энергия можетбыть найдена какU = NA ε = NAгдеiikT = RT ,2212ε = kT − средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы.Определим теплоемкости CV идеального газа в зависимости от строения его молекул.1) Одноатомные молекулы - три поступательных степени свободы:CV =3iR = R.22(3.15)2) Двухатомные молекулы с жесткой связью - 3 поступательных степени свободы + 2 вращательныхстепени = 5 степеней свободы.

ТогдаCV =5R.2(3.16)3) Двухатомные молекулы с упругой связью - 3 поступательных степени свободы + 2 вращательныхстепени + 1 колебательная степень свободы. На колебательную степень свободы приходится двеполовинки 2 ×kT, т.е. kT . Тогда27R.24) Многоатомная молекула - тогда введем i = iпост + iв р ащ + 2iколеб и теплоемкость:CV =CV =ii+2R, C p =R22(3.17)(3.18)Эти простые формулы хорошо описывают теплоемкости многих реальных газов (одноатомных и многихдвухатомных) вблизи комнатной температуры. Для газов, образованных 3-х атомными молекулами чащенаблюдаются отклонения от полученных значений.Опыт показал, что в широком температурном диапазоне CV существенно зависит от температуры.Экспериментальная зависимость теплоемкости газа 2-х атомных молекул (типа H2) от температуры,построенная в полулогарифмическом масштабе, приведена на рисунке.Опыт показывает, что классический закон равнораспределения энергии по степеням свободывыполняется не при всех температурах.

Понимание такойтемпературной зависимости теплоемкости былодостигнуто в квантовой физике, где учитывается, что энергия молекул принимает дискретные значения.Пусть расстояние между двумя уровнями энергии равно∆ε = ε 2 − ε 1 .Тогда если внутренняя энергия тепловогоCVдвижения такая, что kT << ∆ε , то этой энергии не7хватает, чтобы возбудить уровень энергии ε 2 иR2соответствующую степень свободы. Тогда при расчететеплоемкости системы надо учитывать степени свободы,5Rсвязанные только с уровнем энергии ε 1 .

Степени свободы,23R2связанные с уровнем ε 2 не будут давать вклад втеплоемкость.Для типичной двухатомной молекулы получаютсяследующие температуры для полного включенияразличных степеней свободы:Для поступательного движения ∆ε пост ≤ 50 K503006000 Tмасштаб оси логарифмическийДля вращательного движения ∆ε вращ ≤ 300 KДля колебательного движения ∆ε кол ≤ 6000 K10С ростом температуры происходит включение соответствующих степеней свободы.

И только при kT > ∆ε колгаз ведет себя в соответствии с классическим законом равнораспределения.Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона.Процесс, происходящий в системе без теплообмена с окружающей средой, называется адиабатическим.Установим связь между параметрами идеального газа, совершающего квазистатический адиабатическийпроцесс. Положив в уравнении (38) δQ = 0 и dU = CV dT , получаемCV dT + PdV = 0 .(1.25)Дифференцируя уравнение Менделеева-Клапейрона, получимd (PV ) = PdV + VdP = RdT ,откудаdT =PdV + VdP PdV + VdP=.RC P − CV(1.26)Выражая dT из (1.25), находимC P PdV + CV VdP = 0 .Введем обозначениеγ =ТогдаCP.CV(1.27)γPdV + VdP = 0 .(1.28)Мы получили дифференциальное уравнение, описывающее квазистатический адиабатический процесс,проводимый с идеальным газом.Теплоемкости C P и CV идеального газа, вообще говоря, зависят от температуры, однако во многихслучаях они остаются практически постоянными в широком интервале температур. Понятно, что постояннымбудет и их отношение γ .При этом условии уравнение (1.28) легко интегрируетсяPV γ = const .(1.29)Полученное соотношение называется уравнением Пуассона (1781 – 1840).

Оно является уравнением адиабаты– кривой, изображающей квазистатический адиабатический процесс.Величина γ называется показателем адиабаты, или адиабатической постоянной.Поскольку переменные P , V и T для идеального газа связаны уравнением PV = RT , то уравнениеадиабаты можно записать какилиTV γ −1 = const ,(1.30)P γ −1= const .Tγ(1.31)Так как γ > 1 , то из уравнения (1.30) следует, что при адиабатическом сжатии газ будет нагреваться(механизм воспламенения горючей смеси в дизелях), а при адиабатическом расширении – охлаждаться.Нагревание газа при адиабатическом сжатии объясняется тем, что производимая внешними силами работа идетна увеличение внутренней энергии газа.

Если газ идеальный, то, как следует из (1.21), увеличение еговнутренней энергии будет проявляться в повышении его температуры. Аналогично объясняется охлаждениегаза при адиабатическом расширении.Калорическое уравнение идеального газа.C P − CV = RCPC = γ VRCV = γ − 1⇒γRC P =γ −1U=RT,γ −1H=γRT.γ −111Политропические процессы.Процессы, идущие при постоянной теплоемкости C = const , называются политропическими процессами.Найдем уравнение политропического процесса.

Из первого начала имеем для одного моля:δQ = CdT = pdV + dU = pdV + CV dT .(3.9)Откуда, учитываяPV = RT ,получаемdTR dV=TC − CV V(3.10)Решая дифференциальное уравнение (3.10), находим уравнение политропического процесса в переменных T иV:Обозначим n =C − CpC − CVTV−RC − CV= const(3.11), тогда уравнение политропического процесса принимает вид:pV n = const.TV n −1 = const(3.12)В частности, все элементарные процессы (изобарический, изохорический и изотермический) являютсяполитропическими и их уравнения получаются из (3.12).Теплоемкость твердых тел.

Закон Дюлонга и Пти.Распределение Максвелла-Больцмана позволяет получить теплоемкость твердых тел при высокихтемпературах T, при которых применимо классическое описание.Равновесное состояние кристалла - периодическое расположение атомов в пространстве. Однако, атомы ненаходятся в покое, они совершают малые тепловые колебания относительно положений равновесия. Пустьколебания совершаются вдоль оси OX, тогда энергия такого осциллятора равна:12ε = 2 × kT = kT ,т.е.ε − энергия, приходящаяся на одну колебательную степень свободы.Если считать, что атомы кристаллической решетки могут совершать колебания в пространстве вдоль осейOX, OY, OZ, то средняя энергия атома будет равнаε = 3kT , а тела, состоящего из Nатомов, равна:U = 3 ε = 3 NkT(3.19)Если рассматривать 1 моль твердого тела, т.е.

N = N A , то имеем:U = 3 N A kT = 3RT .Эта энергия играет роль внутренней энергии в термодинамике, поэтому молярная теплоемкость припостоянном объеме твердого тела: dU CV =  = 3R . dT V(3.20)(3.21)Это закон Дюлонга и Пти: при высоких температурах молярная теплоемкость всех твердых тел не зависит оттемпературы и равна постоянному значению:CV = 3R = 25Дж.Кмоль(3.22)При низких температурах наблюдается отклонение теплоемкости твердых тел от закона Дюлонга и Пти..

Характеристики

Список файлов лекций