lek_12 (549891)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция № 12Специальные вопросы курса сопротивление материалов: оптимизация элементов конструкций; брус равного сопротивления; сопротивление деформированию при изгибетонкостенных стержней; понятие о центре изгиба.12. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ИЗГИБА12.1.

Оптимизация элементов конструкций. Общие понятияПод оптимальным проектированием принято понимать такое назначение характеристик конструкции, несущей нагрузки, при котором она в определенном смысле будет наилучшей из всех конструкций рассматриваемого типа.Признаки, используемые при оптимизации, называются критериями оптимизации. Критерий оптимизации – это величина, которая в ходе поиска оптимального решения должна принять либо минимум, либо максимум. После того как определена цель проектирования и выбраны критерии оптимизации,формируется целевая функция – функция, включающая в себя все критериии их вклад (важность) в искомое решение, затем разрабатываются модель иметод оптимизации, с помощью которых ищется максимум или минимум целевой функции.При решении оптимизационных задач приходится принимать во вниманиеочень многие факторы, учесть которые удается только при помощи ЭВМ сиспользованием специальных методов.Далее мы рассмотрим элементарные примеры оптимального проектированияконструкций при изгибе.Как правило, в сопротивлении материалов за критерий оптимизации принимают или м и н и м а л ь н ы й в е с конструкции или м а к с и м а л ь н у ю н а г р у з к у , которую может выдержать элемент.

При этом очень часто критерий минимального веса заменяется критерием р а в н о п р о ч н о с т и (то естьравенство напряжений во всех сечениях элемента конструкции).12.2. Балки равного сопротивления при изгибеДо сих пор мы рассматривали расчет на изгиб стержней, сечение которых оставалось постоянным по длине. Такие стержни, особенно при значительнойих длине, нельзя считать рациональными с точки зрения веса и расхода материала, так как размеры сечения подбираются по усилиям, действующим вопасном сечении, в остальных же сечениях получается весьма значительныйизбыток прочности. Для экономии материала, а также для увеличения в нужных случаях гибкости балок применяют балки равного сопротивления, у которых во всех сечениях наибольшее нормальное напряжение одинаково и непревышает допускаемого значения.79Условие, определяющее форму такойбалки, получим из условия прочности:M ( x)σ max = const = z≤ [σ] ,Wz ( x )отсюда можем записатьM ( x)Wz ( x ) = z.(12.1)[ σ]То есть у балки равного сопротивлениямомент сопротивления данного сечениядолжен быть прямо пропорционален изгибающему моменту в этом сечении.Рассмотрим некоторые примеры проектирования балок равного сопротивления.Пример №1Дано:Рассмотрим консольную балку длиной l прямоугольногосечения постоянной высоты hо и переменной шириныb(x), загруженную силой F.Определить:Найти закон изменения ширины сечения балки b(x) из условия равнопрочности.РешениеОпределим закон изменения изгибающего момента и построим его эпюру подлине балки:M z ( x) = F ⋅ x .Момент сопротивления прямоугольного сечения в общем виде можем записать какb ⋅ h2Wz =,6в нашем же случаеb ( x ) ⋅ hо2Wz ( x ) =.6Величину b(x) найдем из условия (12.1):b ( x ) ⋅ hо2 M z ( x )6 F⋅xWz ( x ) =b ( x) = 2 ⋅=⇒,hо [ σ]6[σ]при x=0 ⇒ b(0)=0,при x=l ⇒ b(l)=bо, где bо – ширина сечения в опасной точке.Как видим, ширина балки в данном случае должнаизменяться по линейному закону по длине балки.80Пример №2Дано:Рассмотрим консольную балку длиной l прямоугольного сечения постояннойширины bо и переменной высоты h(x), загруженную силой F.Определить:Найти закон изменения высоты сечения балки h(x) из условия равнопрочности.РешениеОпределим закон изменения изгибающего момента и построим его эпюру подлине балки:M z ( x) = F ⋅ x .Момент сопротивления прямоугольного сечения в общем виде можем записать какb ⋅ h2,Wz =6в нашем же случае2bо ⋅ h ( x )Wz ( x ) =.6Величину h(x) найдем из условия (12.1):2bо ⋅ h ( x )M ( x)6 F⋅x= z⇒ h ( x) =⋅Wz ( x ) =,6bо [ σ][ σ]при x=0 ⇒ h(0)=0,при x=l ⇒ h(l)=hо, где hо – высота сечения в опасной точке.Как видим, высота балки в данном случае должнаизменяться по закону квадратичной параболы подлине балки.Рассмотренные примеры часто находят применение на практике,например, при проектировании рессор.

Рассматривая рессору какбалку на двух опорах, легко найти, что брус равного сопротивления будет иметь форму ромба. При этом, так как подобная конструкция крайне неудобна в эксплуатации, поступают следующимобразом. Представим, что лист рессоры разделен на узкие полоски. Если расположить эти полоски не рядом друг с другом, а однанад другой, то работа такой балки не изменится, а ее конструкциястанет более компактной.Другим примером использования балок переменного сечения вмашиностроительной практике являются конструкции ступенчатых валов. Здесь, для удобства изготовления и применения такоговала, размеры сечения стержня изменяются по длине вала неплавно, как в предыдущих примерах, а ступенчато.

При этом размеры каждой из ступенейвала выбираются, с одной стороны, из конструктивных соображений, а с другой, так, чтобы напряжения в сечениях вала не превышали допускаемых (то есть – из условия прочности).8112.3. Касательные напряжения при изгибе балок тонкостенного профиляПри поперечном изгибе тонкостенного стержня в его сечениях преобладающими остаются нормальные напряжения, которые в основном и определяютпрочность стержня.

Однако здесь, в отличие от стержня сплошного сечения,существенное значение приобретают касательные напряжения и законы ихраспределения. Тонкостенные стержни замкнутого профиля сопротивляютсянагрузкам примерно также, как и массивные. Иначе обстоит дело с тонкостенным открытым профилем (незамкнутое сечение).Допущения, положенные в основу вывода формулыЖуравского для касательных напряжений (формула(10.10), лекция 10), в достаточной степени соответствуют действительности для массивного сечения. Когда сечение представляет собой тонкостенный профиль, например, вроде швеллера, его ширина b значительна (по сравнению с толщиной t) и картина распределения касательных напряжений здесь существенно меняется: они не только переменны вдольсредней линии полки, но и направление их становится не параллельным кпоперечной силе Q.Заметим, что в полках будут действовать и касательные напряжения, параллельные Q.

Однако эти напряжения настолько малы, что их можно не принимать во внимание.Выведем формулу для вычисления касательных напряжений (обозначим ихτxz) в полках тонкостенных профилей (на примере швеллера). Учитывая, чтополка узкая (t мало по сравнению с b), примем следующие допущения: 1) касательные напряжения τxz постоянны по толщине полки и зависят только отрасстояния z до вертикальной оси; 2) всюду в полке касательные напряженияτxz параллельны ее средней линии.Рассматривая равновесие отсеченной частиполки (шириной dx) подобно тому, как этоделалось при выводе формулы Журавского(формула (10.10), лекция 10), заметим, что напередней и задней гранях элемента возникают нормальные напряжения σ* и σ**( M z + dM ) ⋅ y ,M ⋅yσ* = z ;σ** =JzJzа также касательные напряжения τxz. Точнотакие же напряжения τzx будут возникать ина боковой грани элемента (по закону парности касательных напряжений).

Остальные82поверхности элемента свободны от напряжений, так как являются наружными (незагруженными) поверхностями балки. Проецируя все силы, действующие на элемент, на ось x, получим:***∫ σ ⋅ dA − ∫ σ ⋅ dA + τ zx ⋅ dx ⋅ t = 0 ,ААMz ⋅ yMz ⋅ ydM ⋅ ydA⋅−∫А J z∫А J z ⋅ dA − ∫А J z ⋅ dA + τ zx ⋅ dx ⋅ t = 0 ,dMτ zx ⋅ dx ⋅ t −⋅ y ⋅ dA = 0 .J z ∫АКак видим, вывод формулы для напряжений τxz совершенно аналогичен выводу формулы Журавского для касательных напряжений при поперечном изгибе (см. лекцию 10).

Поэтому, не повторяя дальнейших рассуждений, окончательно можем записатьQy ⋅ S z′τ xz =.t ⋅ JzОбобщая изложенное на случай тонкостенного сечения спроизвольным незамкнутым криволинейным профилем,можем констатировать, что при изгибе от поперечнойсилы Q в сечении возникают касательные напряжения τп,равномерно распределенные по толщине стенки t и ориентированные по касательной к очертанию контура сечения.

Определяются эти напряжения по формуле Д. И.Журавского для тонкостенного незамкнутого сечения:Qy ⋅ S z′τп =,t ⋅ Jzгде S z′ – статический момент отсеченной части сечения (на рисунке заштрихована) относительно оси z.12.4. Понятие о центре изгиба тонкостенных стержнейКак было отмечено выше, касательные напряжения в незамкнутых поперечных сеченияхтонкостенных стержней образуют «поток», параллельный к контурным линиям каждогоэлемента сечения.

В некоторых случаях этот поток может создавать момент относительнооси стержня, вызывающий его закручивание и искривление (депланацию) сечения.Рассмотрим поперечный изгиб консольной балки швеллерного сечения в плоскости x0y. В стенке швеллера будут возникать касательные напряжения τxy, а вполках – касательные напряжения τxz=τп.Равнодействующей касательных напряжений в стенке (τxy) является сила Тс, которая практически равна внутренней поперечной силе Qy (Тс≈Qy).

Касательные83напряжения в полках (τxz=τп) приводятся к равнодействующим силам Тп.Нетрудно видеть, что силы Тс и Тп создают момент относительно центра тяжести швеллера, вызывающий закручивание стержня (помимо его изгиба).Таким образом, если линия действия внешней силы F проходит через центртяжести сечения швеллера, то балка будет испытывать изгиб с кручением.Как известно, открытые (незамкнутые) тонкостенные профили плохо работают на кручение. Кроме того, если балка заделана так, что депланация сечения в заделке становитсяневозможной, то будет иметь место так называемое стесненное кручение, при котором всечении дополнительно возникают не только касательные, но и значительные нормальныенапряжения.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций