lek_05 (549884)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция № 5Теория напряженного состояния. Понятие о тензоре напряжений, главные напряжения.Линейное, плоское и объемное напряженное состояние. Определение напряжений прилинейном и плоском напряженном состоянии. Решения прямой и обратной задач.5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадкиНапряжения являются результатом взаимодействия частиц тела при его нагружении.Внешние силы стремятся изменить взаимное расположение частиц, а возникающие приэтом напряжения препятствуют их смещению. Расположенная в данной точке частица поразному взаимодействует с каждой из соседних частиц. Поэтому в общем случае в однойи той же точке напряжения различны по различным направлениям.В сложных случаях действия сил на брус (в отличие от растяжения или сжатия) вопрос обопределении наибольших напряжений, а также положения площадок, на которых они действуют, усложняется.

Для решения этого вопроса приходится специально исследовать законы изменения напряжений при изменении положения площадок, проходящих черезданную точку. Возникает проблема исследования н а п р я ж е н н о г о с о с т о я н и я вточке деформируемого тела.Напряженное состояние в точке – совокупность напряжений, действующихпо всевозможным площадкам, проведенным через эту точку.Исследуя напряженное состояние в даннойточке деформируемого тела, в ее окрестности выделяют бесконечно малый (элементарный) параллелепипед, ребра которогонаправлены вдоль соответствующих координатных осей.

При действии на теловнешних сил на каждой из граней элементарного параллелепипеда возникают напряжения, которые представляют нормальными и касательными напряжениями –проекциями полных напряжений на координатные оси.Нормальные напряжения обозначают буквой σ синдексом, соответствующим нормали к площадке,на которой они действуют. Касательные напряжения обозначают буквой τ с двумя индексами: первый соответствует нормали к площадке, авторой – направлению самого напряжения (или наоборот).Таким образом, на гранях элементарного параллелепипеда, выделенного вокрестности точки нагруженного тела, действует девять компонентов напряжения. Запишем их в виде следующей квадратной матрицы:32⎛ σx⎜Tσ = ⎜ τ yx⎜⎝ τ zxτ xyσyτ zyτ xz ⎞⎟τ yz ⎟ .σ z ⎠⎟Эта совокупность напряжений называется т е н з о р о м н а п р я ж е н и й .Тензор напряжений полностью описывает напряженное состояние в точке, то есть еслиизвестен тензор напряжений в данной точке, то можно найти напряжения на любой изплощадок, проходящих через данную точку (заметим, что т е н з о р представляет собойособый математический объект, компоненты которого при повороте координатных осейподчиняются специфическим правилам тензорного преобразования, при этом тензорноеисчисление составляет отдельный раздел высшей математики и здесь не рассматривается).Не все девять компонентов напряжений, действующих на гранях параллелепипеда, независимые (несвязанные друг с другом).

В этом легко убедится,составив уравнения равновесия элемента в отношении его вращений относительно координатных осей. Записав уравнения моментов от сил, действующих по граням параллелепипеда, и пренебрегая их изменением при переходеот одной грани к другой ей параллельной, получим, чтоτ xy = τ yx , τ xz = τ zx , τ yz = τ zy .Данные равенства называют з а к о н о м п а р н о с т и к а с а т е л ь н ы х н а пряжений.Закон парности касательных напряжений: по двум взаимно перпендикуляр-ным площадкам касательные напряжения, перпендикулярные линии пересечения этих площадок, равны между собой.В окрестности исследуемой точки можно выделить бесконечное множествовзаимно перпендикулярных площадок.

В том числе можно найти и такиеплощадки, на которых действуют только нормальные напряжения, а касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называют г л а в н ы м и(более точно–площадки главных напряжений).Главные площадки – три взаимно перпендикулярные площадки в окрестно-сти исследуемой точки, на которых касательные напряжения равны нулю.Главные напряжения – нормальные напряжения, действующие по главнымплощадкам (то есть площадкам, на которых отсутствуют касательные напряжения).На главных площадках нормальные напряжения (главные напряжения) принимают своиэкстремальные значения – максимум σ1, минимум σ3 и минимакс σ2 (σ1 ≥σ2 ≥σ3).

Тензорнапряжений, записанный через главные напряжения, принимает наиболее простой вид:⎛ σ1 0Tσ = ⎜⎜ 0 σ 2⎜0 0⎝330⎞0 ⎟⎟ .σ3 ⎟⎠В зависимости от того, сколько главных напряжений действует в окрестностиданной точки, различают три вида напряженного состояния:1) линейное (одноосное) – если одно главное напряжение отлично от нуля, адва других равны нулю ( σ1 ≠ 0, σ2 = 0, σ3 = 0 );2) плоское (двухосное) – если два главных напряжения отличны от нуля, аодно равно нулю ( σ1 ≠ 0, σ2 ≠ 0, σ3 = 0 );3) объемное (трехосное) – если все три главных напряжения отличны от нуля( σ1 ≠ 0, σ2 ≠ 0, σ3 ≠ 0 ).5.2. Напряжения на наклонных площадках при линейном напряженном состоянииЭлементы, находящиеся в линейном напряженном состоянии, можно выделить в окрестности некоторых точек стержня, работающего на изгиб, иногда – при сложном нагружении, но главным образом на растяжение или сжатие.Рассмотрим стержень, испытывающий простоерастяжение. Нормальные напряжения в его поперечных сечениях определяются следующимобразом:NF.σ0 ==A0 A0Касательные напряжения здесь равны нулю.Следовательно, эти сечения являются главнымиплощадками (σ1=σ0).Перейдем теперь к определению напряжений нанеглавных, наклонных площадках.

Выделимплощадку, нормаль к которой составляет с осьюстержня угол α. Проведенную таким образомнаклонную площадку будем обозначать α-площадкой, а действующие на ней полные, нормальные и касательные напряжения – pα, σα, ταсоответственно. При этом площадь α-площадки(Aα) связана с площадью поперечного сечениястержня (A0) следующим образом:Aα = A 0 cos α .Для определения напряжений воспользуемся методом мысленных сечений.Считая, что наклонная площадка рассекла стержень на две части, отбросимодну из них (верхнюю) и рассмотрим равновесие оставшейся (нижней). Осе34вая сила (N) в сечении представляет собой равнодействующую полных напряжений pα. Следовательно,N = pα ⋅ Aα .ОтсюдаNNpα ==⋅ cos α = σ0 ⋅ cos α .Aα A0Нормальные и касательные напряжения определим, проецируя полное напряжение на нормаль и плоскость α-площадки соответственно:σα = pα ⋅ cos α;τα = pα ⋅ sin α,или, учитывая, что pα = σ0 ⋅ cos ασα = σ0 ⋅ cos 2 α;τα =σ0⋅ sin 2α.2Из анализа формул видно, что1) при α=0 в поперечных сечениях стержня τα=0, σα=σ0 (σ1=σ0, σ2=0, σ3=0);2) при α=π/2 в поперечных сечениях стержня τα=0, σα=0;3) при α=±π/4 в поперечных сечениях стержня возникают максимальные касательные напряжения τα= τmax= σ0/2 (нормальные напряжения σα= σ0/2).5.3.

Напряжения на наклонных площадках при плоском напряженном состоянииПлоское (двухосное) напряженное состояние встречается при кручении, изгибе и сложномсопротивлении и является одним из наиболее распространенных видов напряженного состояния.Определим напряжения на наклонных площадках при плоском напряженном состоянии. Рассмотрим элементарный параллелепипед, грани которого являются главнымиплощадками. По ним действуют положительные напряжения σ1 и σ2, а третье главное напряжение σ3=0.Проведем сечение, нормаль к которому повернута на угол α от большего из двух главных напряжений (σ1) против часовой стрелки (положительное направление α).

Напряжения σα и τα на этой площадке будут вызываться как действием σ1, так идействием σ2.Запишем п р а в и л а з н а к о в . Будем считать положительными следующие направлениянапряжений и углов: нормальные напряжения σ – растягивающие; касательные напряжения τ – вращающие элемент по часовой стрелке; угол α – против часовой стрелки от наибольшего из главных напряжений (α≤45o).35Плоское напряженное состояние может быть представлено как суперпозиция (наложение) двух ортогональных(взаимноперпендикулярных) одноосных напряженныхсостояний.

При этом:σα = σ′α + σ′′α ,τα = τ′α + τ′′α ,где σ′α , τ′α – напряжения, вызванные действием σ1;σ′′α , τ′′α – напряжения, вызванные действием σ2.Напряжения при одноосном напряженном состоянии (отдействия σ1) связаны между собой какσ′α = σ1 ⋅ cos 2 α;σ1⋅ sin 2α.2Напряжения σ′′α , τ′′α , вызванные действием σ2, можно найти аналогично, нопри этом необходимо учесть, что вместо угла α в формулы необходимо подставить угол β= − ( 90o − α ) – угол между α-площадкой и напряжением σ2.τ′α =Отсюда получимσ′′α = σ2 ⋅ cos 2 ⎡⎣ − ( 90o − α ) ⎤⎦ ⇒τ′′α =σ2⋅ sin 2 ⋅ ⎡⎣ − ( 90o − α ) ⎤⎦ ⇒2Окончательно можем записатьσα = σ1 ⋅ cos 2 α + σ 2 ⋅ sin 2 α =σ′′α = σ2 ⋅ sin 2 α;τ′′α = −σ2⋅ sin 2α.2σ1 + σ 2 σ1 − σ2+⋅ cos 2α;22(5.1)σ1σσ − σ2⋅ sin 2α − 2 ⋅ sin 2α = 1⋅ sin 2α.222На площадке, перпендикулярной данной, значения напряжений можно найтииз этих же формул, подставляя вместо угла α величину угла β= − ( 90o − α ) :τα =σβ = σ1 ⋅ sin 2 α + σ 2 ⋅ cos 2 α =σ1 − σ 2 σ1 + σ 2+⋅ cos 2α;22σσσ − σ2τβ = − 1 ⋅ sin 2α + 2 ⋅ sin 2α = − 1⋅ sin 2α.222(5.2)Если сложить левые и правые части выражений для напряжений на α- и β-площадках, получим следующие равенства:1) σα + σβ = σ1 + σ 2 , из которого следует, что сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам есть величина и н в а р и а н т н а я , то есть не зависитот поворота площадки.362) τα=–τβ, которое еще раз указывает на закон парности касательных напряжений (знак«минус» связан с вышеприведенным правилом знаков для касательных напряжений).Решая совместно уравнения (5.1) и (5.2) относительно напряжений σ1 и σ2,получим выражения для определения г л а в н ы х н а п р я ж е н и й п р ип л о с к о м н а п р я ж е н н о м с о с т о я н и и по известным напряжениям напроизвольных взаимноперпендикулярных площадках:σ + σβ 12(5.3)σmax = α± ⋅ ( σα − σβ ) + 4 ⋅ τα2 .22minОбозначения главных напряжений σmax, σmin здесь оправданы тем, что одно из трех главных напряжений равно нулю.Н а п р а в л е н и е г л а в н ы х п л о щ а д о к найдем, исключая из выражений(5.1), (5.2) величины σ1, σ2 и решая полученное уравнение относительноугла α:2 ⋅ ταtg2α = −.(5.4)σα − σβЗадачи, рассматриваемые в теории напряженного состояния, могут даваться впрямой и обратной постановке.П р я м а я з а д а ч а .

В точке известны положения главных площадок и соответствующие им главные напряжения; требуется найти нормальные и касательные напряжения по площадкам, наклоненным под заданным углом α кглавным (аналитическое решение прямой задачи дается формулами (5.1) и(5.2)).О б р а т н а я з а д а ч а . В точке известны нормальные и касательные напря-жения, действующие по двум взаимно перпендикулярным произвольнымплощадкам, проходящим через данную точку; требуется найти направлениеглавных площадок и главные напряжения (аналитическое решение обратнойзадачи дается формулами (5.3) и (5.4)).Отметим, что именно о б р а т н а я з а д а ч а оказывается наиболее распространенной всопротивлении материалов, так как наиболее часто удается определить (теоретически илиэкспериментально) нормальные и касательные напряжения (σα, τα, σβ, τβ) на некоторыхпроизвольных площадках.

Затем по этим данным требуется найти положение главныхплощадок и величину главных напряжений, по которым и производится дальнейший расчет на прочность.37.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций