1612043260-03677b2ec215803ebaddfe4ba9558164 (542284), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Принципкомпактности.Гармонические функции и их свойства.восстановление аналитической функции поее действительной части.Теорема о среднем для аналитической игармонической функций. Принцип экстремума для гармонической функции. Интегральные формулы Шварца и Пуассона.410201411201412201413201414201415243416201Теорема Лорана. Классификация изолизованных особых точек аналитическойфункции. Связь между нулем и полюсомфункций f(z) и 1/f(z).Поведение аналитической функции вокрестности изолированной особой точки,теорема Сохоцкого-Вейерштрасса.
Бесконечно удаленная изолированная особаяточка. Понятие аналитичности функции вбесконечно удаленной точке. Понятияцелой и мероморфной функций.Понятие вычета функции относительноизолированной особой точки и его вычисление. Основная теорема о вычетах. Вычетфункции относительно бесконечно удаленной изолированной особой точки. Интегральная формула Коши для внешнейобласти.Формула логарифмического вычета.Принцип аргумента аналитической функции. Теорема Руше.
Необращение в нульпроизводной однолистной аналитическойфункции.Приложение теории вычетов к вычислению интегралов, лемма Жордана.Аналитическое продолжение, понятие иметоды. Понятие полной аналитическойфункции аналитической функции в смыслеВейерштасса. Теорема монодромии. Принцип непрерывности. Граничная теорема5124352222532645422255215856245КоллоквиумДифференцируемыйзачет5.75.85.95.105.115.125.135.145.155.165.175.18единственности аналитической функции.Принцип симметрии Римана-Шварца.Аналитическое продолжение действительной аналитической функции действительного переменного.
Принцип Шварца.Лемма Шварца.Конформное отображение односвязныхобластей. Лемма об однолистности пределапоследовательности однолистных аналитических функций.Построение вспомогательной «раздувающей» функции. Теорема Римана. Соответствие границ при конформном отображении. Принцип взаимно однозначногосоответствия.Задача Дирихле (первая краевая задача).Решение задачи Дирихле для круга. Существование и единственность решениязадачи Дирихле для односвязной жордановой области.Построение конформного отображенияжордановой области на единичный круг спомощью решения задачи Дирихле.Функция Грина и ее свойства.Задача Неймана (вторая краевая задача).Необходимое условие разрешимостизадачи Неймана.
Формула Дини.Интеграл в смысле главного значения поКоши. Формулы Сохоцкого-Племеля.Свойства интеграла типа Коши в замкнутойобласти.Понятие кусочно-аналитической функции. Нахождение кусочно-аналитическойфункции, имеющей конечный порядок набесконечности, по заданному скачку.Однородная задача сопряжения и союзная с ней задача. Каноническое решениеНеоднородная задача сопряжения. ЗадачаРимана-Гильберта.Сингулярное интегральное уравнениенормального типа.
Решение характеристического уравнения.Решение уравнения, союзного с характеристическим. Три основные теоремыНетера.572015820159201510211511201512201513201514201515201516201517201518201686868Контрольная работа2Коллоквиум436Экзамен5. Образовательные технологииИспользуется традиционная система обучения, включающая лекции и практические занятия. Содержание лекции должно отвечать следующим дидактическим требованиям:изложение материала от простого к сложному, от известного к неизвестному;логичность, строгость, четкость и ясность в изложении материала;возможность проблемного изложения, с целью активизации деятельности студентов.В курсе, наряду с традиционной лекционно-семинарской формой обучения и самостоятельной работой студентов, предполагается использовать коллективную работу студентов по просчету наиболее часто встречающихся в теории ситуаций на персональныхкомпьютерах, с использованием компьютерных программ “Mathematica” и “Maple”.
Внеучебного процесса предусмотрены встречи с ведущими специалистами, активно работающими в области комплексного анализа ведущих Российских и зарубежных университетах.Для контроля освоения студентами теоретического материала в середине каждогосеместра предусмотрено проведение контрольной работы, а в конце каждого семестрапредполагается проведение коллоквиума.Цель практических занятий состоит в выработке устойчивых навыков решения основных примеров и задач дисциплины, на которых основана теория лекционного курса.Главная и определяющая особенность любого практического занятия – наличие элементов дискуссии, диалога между преподавателем и студентами и самими студентами. Покурсу практических занятий рекомендуется проведение двух контрольных работ в течениекаждого семестра и итогового зачета.Для проверки уровня знаний студентов и их аттестации в конце курса предполагается проведение экзамена.
При проведении аттестации по предмету студентов важно помнить, что систематичность, объективность, аргументированность – главные принципы, накоторых основаны контроль и оценка знаний студентов.6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочныесредства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины6.1. Перечень задач для контрольных, самостоятельных и домашних работ содержится в учебнике: Волковысский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач потеории функций комплексного переменного.
– Москва: Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2006.6.2. Вопросы для коллоквиума в IV семестре:1. Принцип масимума модуля аналитической функции.2. Первая теорема Вейерштрасса о рядах аналитических функций.3. Принцип компактности.6.3. Вопросы для коллоквиума в V семестре:1. Принцип аргумента аналитической функции.2. Лемма об однолистности предела последовательности однолистных аналитических функций.3. Теорема Римана.6.2. Перечень теоретических вопросов, предлагаемых на экзамене по теории функций комплексного переменного:БИЛЕТ 11.
Сфера Римана. Стереографическая проекция.2. Предельные значения интеграла типа Коши. Формулы СохоцкогоПлемеля.БИЛЕТ 21. Формула Коши - Адамара.2. Лемма Шварца и ее обобщение. Конформные автоморфизмы круга.БИЛЕТ 31. Определение аналитической функции. Условия Коши - Римана.2. Задача Неймана.БИЛЕТ 41. Аналитичность суммы степенного ряда.2. Теорема монодромии.БИЛЕТ 51. Конформные отображения.
Геометрический смысл модуля и аргументапроизводной.2. Равностепенная непрерывность равномерно ограниченного семействааналитических функций. Принцип компактности.БИЛЕТ 61. Основные свойства дробно-линейных отображений.2. Принцип взаимно-однозначного соответствия.БИЛЕТ 71. Дробно-линейные отображения верхней полуплоскости и круга на круг.2. Интегральные формулы Шварца и Пуассона.БИЛЕТ 81.
Функция z n и ее обращение.2. Интегральная формула Коши для внешней области.БИЛЕТ 91. Функция e z и ее обращение.2. Принцип аргумента.БИЛЕТ 101. Определение и основные свойства комплексного интеграла.2. Аналитические функции действительного переменного. ПринципШварца продолжения через аналитическую дугу.БИЛЕТ 111. Лемма Гурса.2. Теорема Руше.
Основная теорема алгебры.БИЛЕТ 121. Теорема Коши.2. Принцип непрерывности. Граничная теорема единственности.БИЛЕТ 131. Обобщенная теорема Коши.2. Топологическое свойство аналитической функции.БИЛЕТ 141. Интегральная формула Коши.2. Основное свойство производной однолистной аналитической функции.БИЛЕТ 151. Интеграл типа Коши и его основное свойство.2. Принцип симметрии Римана - Шварца.БИЛЕТ 161. Понятие неопределенного интеграла. Теорема Морера.2.
Теорема Римана (существование в общем случае).БИЛЕТ 171. Принцип максимума модуля для аналитических функций.2. Лемма о раздутии.БИЛЕТ 181. Теоремы Вейерштрасса о рядах аналитических функций.2. Разложение на простейшие дроби функций 1 / sin 2 z и ctg z .БИЛЕТ 191. Понятие интеграла в смысле главного значения по Коши.2. Теорема Римана (доказательство единственности и исключительныеслучаи).БИЛЕТ 201. Ряд Тейлора.2. Теорема Римана (существование в случае ограниченной области).БИЛЕТ 211.
Внутренняя теорема единственности для аналитических функций.2. Основные свойства гармонических функций.БИЛЕТ 221. Неравенства Коши и теорема Лиувилля.2. Теорема о пределе последовательности однолистных аналитическихфункций.БИЛЕТ 231. Теорема Лорана.2. Понятие гармонической функции. Восстановление аналитическойфункции по ее действительной или мнимой части.БИЛЕТ 241. Изолированные особые точки и их классификация.2. Решение задачи Дирихле для единичного круга.БИЛЕТ 251. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса.2.
Решение задачи Неймана для единичного круга. Формула Дини.БИЛЕТ 261. Вычет аналитической функции относительно изолированной особойточки.2. Выражение решения задачи Дирихле через функцию Грина.БИЛЕТ 271. Основная теорема о вычетах.2. Однородная задача сопряжения.БИЛЕТ 281. Вычисление интегралов по границе неограниченной области. ЛеммаЖордана.2. Определение кусочно-аналитической функции по заданному скачку.БИЛЕТ 291. Формула логарифмического вычета.2.
Неоднородная задача сопряжения.7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплиныа) основная литература:1. Билута П.А. Лекции по теории функций комплексного переменного: Учеб. пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. - Новосибирск: НГУ, 2005.2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного – С-Пб.: Лань, 2002.3. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
