1005148_1 (540895)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

12.5. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводностина отрезке.U t = 4U xx , 0 < x < 5, t > 02 x 2 5, 0 ≤ x ≤ 5 2,U ( x, 0 ) = 5 − x, 5 2 < x ≤ 5,U ( 0, t ) = U ( 5, t ) = 0РешениеОбщее решение данного уравнения имеет вид: π na − t l 2∞U ( x, t ) = ∑ An esinπ nxn =1l,2π nxгде An = ∫ U ( x, 0 ) sindx, n = 1, 2, ... .l 0llВ нашем случае a = 2, l = 5 .Находим:2  2An = 5 552∫0x sindx + ∫ ( 5 − x ) sindx  .55522π nxπ nx5Вычислим отдельно:du = 2 xdx∫0 x sin 5 dx = dv = sin π nx dx, v = − 5 cos π nx =πn5555u = x,du = dx5x2π nx 2 10 2π nx=−cos+x cosdx =5π nxπ nx =5 0 π n ∫05πndv = cosdx, v =sin55πn522π nxu = x2 ,5 5x2π nx 50 xπ nx 250π nx  2cos= −+ 2 2 sin+ 3 3 cos =n5n5n5πππ0=−125π n 250  π n π n 125cos+ 2 2 sin+− 1 . cos4π n2 π n2 π 3n3 21du = − dx∫ ( 5 − x ) sin 5 dx = dv = sin π nx dx, v = − 5 cos π nx =5255πn5π nxu = 5 − x, 5(5 − x )π nx 25π nx 25π n 25πn= −− 2 2 sin+ 2 2 sin .coscos =πn5π n5 52π n2 π n252Тогда2  2  125π n 125π n 250  π n  An =   −cos+ 2 2 sin+− 1  + cos5  5  4π n2 π n2 π 3n3 2π n 25π n  30π n 40  π n 25+cos+ 2 2 sin+− 1 . = 2 2 sin cos2π n2 π n2  π n2 π 3n 3 2Общее решение исходного уравнения: 2π n  t5  3πn4 π n   −U ( x, t ) = 2 ∑  2 sin+ 3  cos− 1  eπ n=1  n2 πn 210∞22sinπ nx5.13.5.

Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводностив круге.U t = 9∆U , 0 ≤ r < 8, t > 0, U ( r , 0 ) = 64 − r 2 , U ( 8, t ) = 0 .РешениеОбщее решение данного уравнения:∞ a2µ 2   µ r U ( r , t ) = ∑ An exp  − 2 n t  J 0  n  ,n =1 R   R где An =R22R J21rU ( r ) J(µ ) ∫0n00 µn r  dr , Jν ( x ) – функция Бесселя первого рода порядка R ν , µ1 , µ 2 , ..., µ n , ... – положительные корни уравнения J 0 ( µ ) = 0 .В нашем случае a = 3, R = 8 .

Находим8r ( 64 − r ) J(µ ) ∫2An =28 J21Сделаем замену2n00 µn r  dr . 7 r= x ⇒ r = 8 x, dr = 8dx , тогда811128 3An = 2x1−xJµxdx=xJµxdx−xJµxdx()()()()0n0n∫0 0 n .J1 ( µ n ) ∫0J12 ( µ n )  ∫02 ⋅ 8212Вычислим отдельно интегралы1100S1 = ∫ xJ 0 ( µ n x ) dx и S2 = ∫ x3 J 0 ( µn x ) dx .С этой целью воспользуемся рекуррентными формуламиd νx Jν ( x ) ) = xν J v −1 ( x ) и xJν +1 = − xJν −1 ( x ) + 2ν Jν ( x ) .(dxИз первой из них при ν = 1 и ν = 2 соответственно получаем:xx∫ ξ J (ξ ) dξ = xJ ( x ) , ∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) .20012010Вычислим по частям интеграл:3x∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =30u = ξ 2,du = 2ξ d ξdv = ξ J 0 (ξ ) dξ , v = J (ξ ) d ξ=x= ξ J1 ( ξ ) − 2 ∫ ξ 2 J1 ( ξ ) d ξ = x 3 J 1 ( x ) − 2 x 2 J 2 ( x ) .x300Согласно второй из приведенных формул при ν = 1 справедливо равенствоxJ 2 ( x ) = − xJ 0 ( x ) + 2 J1 ( x ) .Тогдаx∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) − 2 x ( − xJ ( x ) + 2 J ( x ) ) = 2 x J ( x ) + x ( x332010102− 4 ) J1 ( x ) .0Вернемся к вычислению интегралов S1 и S2 .

Сделаем замену µn x = ξ , тогдаµnµµnµnξ dξ 1 n1S1 = ∫ J 0 (ξ )= 2 ∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =J (µ ) .µ n µ n µn 0µn 1 n0ξ 3 dξ 1S2 = ∫ J 0 (ξ ) 3=µn µ n µ n40=1µ n4∫ J (ξ ) ξ dξ =300( 2µ J ( µ ) + µ ( µ2n0nn2n)− 4 ) J1 ( µ n ) =J1 ( µ n )µn−4 J1 ( µ n )µn3.ПолучаемAn ==128J12 ( µ n )( S1 − S2 ) =512 4 J1 ( µ n )J21( µn )µ3n= J1 ( µ n ) 4 J1 ( µ n )  128  1J−−µ() =1nµn3  J12 ( µn )  µ n µn512.µ J ( µn )3n 1Общее решение исходного уравнения: 9 µn2  µn r U ( r , t ) = 512∑ 3J0 t. exp  −64 8 n =1 µ n J1 ( µ n )∞1412.10. Найтирешениепервойсмешаннойзадачитеплопроводности на отрезке.U t = 4U xx , 0 < x < 4, t > 0 x 2 2, 0 ≤ x ≤ 2,U ( x, 0 ) = 4 − x, 2 < x ≤ 4,U ( 0, t ) = U ( 4, t ) = 0РешениеОбщее решение данного уравнения имеет вид: π na − t l 2∞U ( x, t ) = ∑ An esinn =1π nxl,2π nxгде An = ∫ U ( x, 0 ) sindx, n = 1, 2, ...

.l 0llВ нашем случае a = 2, l = 4 .Находим:242 1 2π nxπ nx An =  ∫ x sindx + ∫ ( 4 − x ) sindx  .4 2 0442Вычислим отдельно:du = 2 xdx∫0 x sin 4 dx = dv = sin π nx dx, v = − 4 cos π nx =πn4422u = x2 ,π nx2π nxπ nx4 x28=−cos+x cosdx =∫πn4 0 πn 042u = x,du = dx=π nxπ nx =4dv = cosdx, v =sinπn442 4 x2π nx 32 xπ nx 128π nx = −cos+ 2 2 sin+ 3 3 cos =πππn4n4n40=−π n 64π n 128  π n 16cos+ 2 2 sin+− 1 . cosπn2 π n2 π 3n3 25дляуравненияdu = − dx∫2 ( 4 − x ) sin 4 dx = dv = sin π nx dx, v = − 4 cos π nx =πn444π nxu = 4 − x, 4(4 − x)π nx 16π nx = −− 2 2 sincos =ππn4n42π n 16πn8=cos+ 2 2 sin .πn2 π n24Тогда1  1  16π n 64π n 128  π n  An =   − cos+ 2 2 sin+− 1  + cos2 2 πn2 π n2 π 3n3 2π n 16π n  24π n 32  π n 8+ cos+ 2 2 sin+− 1 . = 2 2 sin cosπn2 π n2  π n2 π 3 n3 2Общее решение исходного уравнения:πn  t2  3πn4 π n   −U ( x, t ) = 2 ∑  2 sin+ 3  cos− 1  eπ n=1  n2 πn 28∞62sinπ nx4.13.10.

Найтирешениепервойсмешаннойзадачидляуравнениятеплопроводности в круге.U t = ∆U , 0 ≤ r < 5, t > 0, U ( r , 0 ) = 25 − r 2 , U ( 5, t ) = 0 .РешениеОбщее решение данного уравнения:∞ a2µ 2   µ r U ( r , t ) = ∑ An exp  − 2 n t  J 0  n  ,n =1 R   R где An =R22R J21rU ( r ) J(µ ) ∫0n00 µn r  dr , Jν ( x ) – функция Бесселя первого рода порядка R ν , µ1 , µ 2 , ..., µ n , ... – положительные корни уравнения J 0 ( µ ) = 0 .В нашем случае a = 1, R = 5 .

Находим5r ( 25 − r ) J(µ ) ∫2An =25 J21Сделаем замену2n00 µn r  dr . 5 r= x ⇒ r = 5 x, dr = 5dx , тогда5113An = 2x1−xJµxdx=xJµxdx−xJµxdx()()()()0n0n∫0 0 n .J1 ( µ n ) ∫0J12 ( µ n )  ∫02 ⋅ 521502Вычислим отдельно интегралы1100S1 = ∫ xJ 0 ( µ n x ) dx и S2 = ∫ x3 J 0 ( µn x ) dx .С этой целью воспользуемся рекуррентными формуламиd νx Jν ( x ) ) = xν J v −1 ( x ) и xJν +1 = − xJν −1 ( x ) + 2ν Jν ( x ) .(dxИз первой из них при ν = 1 и ν = 2 соответственно получаем:xx∫ ξ J (ξ ) dξ = xJ ( x ) , ∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) .20012010Вычислим по частям интеграл:7x∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =30u = ξ 2,du = 2ξ d ξdv = ξ J 0 (ξ ) dξ , v = J (ξ ) d ξ=x= ξ J1 ( ξ ) − 2 ∫ ξ 2 J1 ( ξ ) d ξ = x 3 J 1 ( x ) − 2 x 2 J 2 ( x ) .x300Согласно второй из приведенных формул при ν = 1 справедливо равенствоxJ 2 ( x ) = − xJ 0 ( x ) + 2 J1 ( x ) .Тогдаx∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) − 2 x ( − xJ ( x ) + 2 J ( x ) ) = 2 x J ( x ) + x ( x332010102− 4 ) J1 ( x ) .0Вернемся к вычислению интегралов S1 и S2 .

Сделаем замену µn x = ξ , тогдаµnµµnµnξ dξ 1 n1S1 = ∫ J 0 (ξ )= 2 ∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =J (µ ) .µ n µ n µn 0µn 1 n0ξ 3 dξ 1S2 = ∫ J 0 (ξ ) 3=µn µ n µ n40=1µ n4∫ J (ξ ) ξ dξ =300( 2µ J ( µ ) + µ ( µ2n0nn2n)− 4 ) J1 ( µ n ) =J1 ( µ n )µn−4 J1 ( µ n )µn3.ПолучаемAn ==50( S1 − S2 ) =504 J1 ( µ n )J12 ( µ n )J21( µn )µ3n= 1 J1 ( µ n ) 4 J1 ( µ n )  J−−µ() =1nµn3  J12 ( µn )  µ n µn50200.µ J ( µn )3n 1Общее решение исходного уравнения: µ n2  µn r U ( r , t ) = 200∑ 3J0  exp  − t  . 5 n =1 µ n J1 ( µ n ) 25 ∞1812.4. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводностина отрезке.U t = 16U xx , 0 < x < 4, t > 0 x 2 2, 0 ≤ x ≤ 2,U ( x, 0 ) = 4 − x, 2 < x ≤ 4,U ( 0, t ) = U ( 4, t ) = 0РешениеОбщее решение данного уравнения имеет вид:∞ π na − t l 2U ( x, t ) = ∑ An esinn =1π nxl,2π nxгде An = ∫ U ( x, 0 ) sindx, n = 1, 2, ...

.l 0llВ нашем случае a = 4, l = 4 .Находим:242 1 2π nxπ nx An =  ∫ x sindx + ∫ ( 4 − x ) sindx  .4 2 0442Вычислим отдельно:du = 2 xdx∫0 x sin 4 dx = dv = sin π nx dx, v = − 4 cos π nx =πn442u = x,du = dx2π nxπ nx4 x28cosx cosdx ==−+4π nxπ nx =4 0 π n ∫04πndv = cosdx, v =sin44πn22u = x2 ,π nx2 4 x2π nx 32 xπ nx 128π nx = −cos+ 2 2 sin+ 3 3 cos =πππn4n4n40=−4π n 64π n 128  π n 16cos+ 2 2 sin+− 1 . cosπn2 π n2 π 3n3 2∫ ( 4 − x ) sin2π nx4u = 4 − x,dx =dv = sindu = −dxπ nx4dx, v = −4π nx =cos4πn 4(4 − x)π nx 16π nx π n 16πn8coscos= −− 2 2 sin+ 2 2 sin . =πn4π n4  2 πn2 π n249Тогда1  1  16π n 64π n 128  π n  An =   − cos+ 2 2 sin+− 1  + cos2 2 πn2 π n2 π 3n3 2π n 16π n  24π n 32  π n 8+cos+ 2 2 sin+− 1 . = 2 2 sin cosπn2 π n2  π n2 π 3 n3 2Общее решение исходного уравнения:U ( x, t ) = 3πn4 π n   −(π n )2 t π nxsin+cos− 1  esin.∑π 2 n=1  n 22 π n3 248∞1013.4.

Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводностив круге.U t = 10∆U , 0 ≤ r < 1, t > 0, U ( r , 0 ) = 1 − r 2 , U (1, t ) = 0 .РешениеОбщее решение данного уравнения:∞ a2µ 2   µ r U ( r , t ) = ∑ An exp  − 2 n t  J 0  n  ,n =1 R   R где An =R22R J21rU ( r ) J(µ ) ∫0n00 µn r  dr , Jν ( x ) – функция Бесселя первого рода порядка R ν , µ1 , µ 2 , ..., µ n , ...

– положительные корни уравнения J 0 ( µ ) = 0 .В нашем случае a = 10, R = 1 . Находим1r (1 − r ) J(µ ) ∫2An =21J212n00 µn r  dr . 1 Сделаем замену r = x ⇒ r = x, dr = dx , тогда113An = 2x1−xJµxdx=xJµxdx−xJµxdx()()()().0n0n0n∫0J1 ( µ n ) ∫0J12 ( µ n )  ∫02122Вычислим отдельно интегралы1100S1 = ∫ xJ 0 ( µ n x ) dx и S2 = ∫ x3 J 0 ( µn x ) dx .С этой целью воспользуемся рекуррентными формуламиd νx Jν ( x ) ) = xν J v −1 ( x ) и xJν +1 = − xJν −1 ( x ) + 2ν Jν ( x ) .(dxИз первой из них при ν = 1 и ν = 2 соответственно получаем:xx∫ ξ J (ξ ) dξ = xJ ( x ) , ∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) .20120010Вычислим по частям интеграл:x∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =30u = ξ 2,du = 2ξ d ξdv = ξ J 0 (ξ ) dξ , v = J (ξ ) d ξx== ξ J1 ( ξ ) − 2 ∫ ξ 2 J1 ( ξ ) d ξ = x 3 J 1 ( x ) − 2 x 2 J 2 ( x ) .3x0011Согласно второй из приведенных формул при ν = 1 справедливо равенствоxJ 2 ( x ) = − xJ 0 ( x ) + 2 J1 ( x ) .Тогдаx∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) − 2 x ( − xJ ( x ) + 2 J ( x ) ) =3300101= 2 x 2 J 0 ( x ) + x ( x 2 − 4 ) J1 ( x ) .Вернемся к вычислению интегралов S1 и S2 .

Сделаем замену µn x = ξ , тогдаµnµµnµnξ dξ 1 n1= 2 ∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =S1 = ∫ J 0 (ξ )J1 ( µ n ) .µµµµnnn 0n0ξ 3 dξ 1S2 = ∫ J 0 (ξ ) 3= 4µµµnnn0=1µ n4∫ J (ξ ) ξ dξ =300( 2µ J ( µ ) + µ ( µ2n0nn2n)− 4 ) J1 ( µ n ) =J1 ( µ n )µn−4 J1 ( µ n )µn3.ПолучаемAn ==2( S1 − S2 ) =24 J1 ( µ n )J12 ( µ n )J21( µn )µ3n= 1 J1 ( µ n ) 4 J1 ( µ n )  µJ−−()  =1n3J12 ( µn )  µ nµµnn28µ J ( µn )3n 1.Общее решение исходного уравнения:∞U ( r , t ) = 8∑n =11µ J ( µn )3n 1J 0 ( µn r ) exp ( −10 µn2t ) .12.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания