1005148_2 (540897)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

14.5. Решить смешанную задачу.U tt = 16U xx ; U ( 0, t ) = −4, U (1, t ) = −1;U ( x, 0 ) = 5sin 2π x − 4 + 3 x, U t ( x, 0 ) = 0.Сведем задачу к задаче с однородными граничными условиями для функцииV ( x; t ) = U ( x; t ) − W ( x; t ) ,гдеW ( x; t ) = −4 +−1 − ( −4 )1x = −4 + 3 x .Тогда получаем следующую смешанную задачу:Vtt = 16Vxx , V ( 0; t ) = V (1; t ) = 0, V ( x; 0 ) = 5sin 2π x, Vt ( x; 0 ) = 0 .Общее решение данного уравнения:∞V ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlи2π nx2π nxAn = ∫ V ( x; 0 ) sindx , Bn =Vx;0sindx()t∫π na 0l 0llllНаходим115, n = 2;2π nxAn = ∫ 5sin 2π x sindx = 10 ∫ sin 2π x sin π nxdx = 1010, n ≠ 2.0Bn = 0 .ПолучилиV ( x; t ) = 5cos8π t sin 2π x .Общее решение исходного уравнения:U ( x; t ) = V ( x; t ) + W ( x; t ) = 5cos8π t sin 2π x − 4 + 3 x .115.5. Решить смешанную задачу для данного неоднородного волновогоуравненияснулевыминачальнымииграничнымиусловиямиU ( x; 0 ) = U t ( x; 0 ) = 0 , U ( 0; t ) = U (π ; t ) = 0U tt =1U xx + 50e−7 t sin 4 x .16Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑U n ( t ) X n ( x ) ,n =1где X n ( x ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; U n ( t ) – решения задачКоши U n′′ + a2λn2U n = f n ( t ) , U n ( 0 ) = U n′ ( 0 ) = 0 ; λn – собственные числа задачиШтурма-Лиувилля и f n ( t ) – коэффициенты разложения f ( x;∞t ) = ∑ fn (t ) X n ( x ) .n =1Т.к. в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примутвид X ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlВ нашем случае для данного уравнения X n ( x ) = sin nx ,λn = n .Задачи Коши: U n′′ + a n U n = f n ( t ) , где f n ( t ) находим из соотношения222π nxf n ( t ) = ∫ f ( x; t ) sindx .l 0llfn (t ) =2ππ∫ 50e−7 tsin 4 x sin nxdx =0100π50e −7 t , n = 4;=n ≠ 4.0,Получаем, чтоU 4′′ + U 4 = 50e −7 t , U 4 ( 0 ) = U 4′ ( 0 ) = 0 /k 2 + 1 = 0 ⇒ k = ±i .U 4( общ.

од н.) = C1 cos t + C2 sin t .2e−7 tπ∫ sin 4 x sin nxdx =0U 4( част. неод н.) = A e−7 t .U 4′( част . неод н.) = −7 A e −7 t , U 4′′( част . неод н.) = 49 A e−7 t .49 A e −7 t + A e −7 t = 50e −7 t ⇒ A = 1.U 4 ( t ) = C1 cos t + C2 sin t + e −7 t .U ′ ( t ) = −C1 sin t + C2 cos t − 7e −7 t .C + 1 = 0,C = −1,U 4 ( 0 ) = 0,⇒  1⇒  1C2 − 7 = 0.C2 = 7.U 4′ ( 0 ) = 0.U 7 ( t ) = − sin t + 7cos t + e−7 t .Общее решение исходного уравненияU ( x; t ) = ( − sin t + 7 cos t + e−7 t ) sin 4 x .314.10.

Решить смешанную задачу.U tt = 25U xx ; U ( 0, t ) = 3, U ( 2, t ) = −5;U ( x, 0 ) = 3 − 4 x, U t ( x, 0 ) = 20π sin 4π x.Сведем задачу к задаче с однородными граничными условиями для функцииV ( x; t ) = U ( x; t ) − W ( x; t ) ,гдеW ( x; t ) = 3 +−5 − 3x = 3 − 4x .2Тогда получаем следующую смешанную задачу:Vtt = 25Vxx , V ( 0; t ) = V ( 2; t ) = 0, V ( x; 0 ) = 0, Vt ( x; 0 ) = 20π sin 4π x .Общее решение данного уравнения:∞V ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlи2π nx2π nxAn = ∫ V ( x; 0 ) sindx , Bn =Vx;0sindx()l 0llπ na ∫0 tllНаходимAn = 0 .21, n = 8;8π nxBn =20sin4xsindx=sin4xsindx=πππ5π n ∫02n ∫020, n ≠ 8.22π nxПолучилиV ( x; t ) = sin 20π t sin 4π x .Общее решение исходного уравнения:U ( x; t ) = V ( x; t ) + W ( x; t ) = sin 20π t sin 4π x + 3 − 4 x .415.10. Решить смешанную задачу для данного неоднородного волновогоуравненияснулевыминачальнымииграничнымиусловиямиU ( x; 0 ) = U t ( x; 0 ) = 0 , U ( 0; t ) = U (π ; t ) = 0 .U tt =1U xx + 15sin 4t sin 8 x .64Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑U n ( t ) X n ( x ) ,n =1где X n ( x ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; U n ( t ) – решения задачКоши U n′′ + a2λn2U n = f n ( t ) , U n ( 0 ) = U n′ ( 0 ) = 0 ; λn – собственные числа задачиШтурма-Лиувилля и f n ( t ) – коэффициенты разложения f ( x;∞t ) = ∑ fn (t ) X n ( x ) .n =1Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примутвид X ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlВ нашем случае для данного уравнения X n ( x ) = sin nx ,λn = n .Задачи Коши: U n′′ + a n U n = f n ( t ) , где f n ( t ) находим из соотношения222π nxf n ( t ) = ∫ f ( x; t ) sindx .l 0llfn (t ) =2ππ30∫15sin 4t sin 8 x sin nxdx = π015sin 4t , n = 8;=n ≠ 8.0,Получаем, чтоU 8′′ + U 8 = 15sin 4t , U 8 ( 0 ) = U 8′ ( 0 ) = 0 .k 2 + 1 = 0 ⇒ k = ±i .U 8( общ .

од н.) = C1 cos t + C2 sin t .5πsin 4t ∫ sin 8 x sin nxdx =0U 8( част . неод н.) = A cos 4t + B sin 4t .U 8′( част . неод н.) = −4 A sin 4t + 4 B cos 4t , U 8′′( част . неод н.) = −16 A cos 4t − 16 B sin 4t .−16 A cos 4t − 16 B sin 4t + A cos 4t + B sin 4t = 15sin 4t .A = 0, B = −1 .U 8 ( t ) = C1 cos t + C2 sin t − sin 4t .U 8′ ( t ) = −C1 sin t + C2 cos t − 4cos 4t .C1 = 0,U 8 ( 0 ) = 0,⇒C2 = 4.U 8′ ( 0 ) = 0.U 8 ( t ) = 4sin t − sin 4t .Общее решение исходного уравненияU ( x; t ) = ( 4sin t − sin 4t ) sin8 x .614.4.

Решить смешанную задачу.U tt = 9U xx ; U ( 0, t ) = 5t , U ( 2, t ) = −3t;U ( x, 0 ) = 0, U t ( x, 0 ) = 12π sin 4π x + 5 − 4 x.Сведем задачу к задаче с однородными граничными условиями для функцииV ( x; t ) = U ( x; t ) − W ( x; t ) ,гдеW ( x; t ) = 5t +−3t − 5tx = 5t − 4tx .2Тогда получаем следующую смешанную задачу:Vtt = 9Vxx , V ( 0; t ) = V ( 2; t ) = 0, V ( x; 0 ) = 0, Vt ( x; 0 ) = 12π sin 4π x .Общее решение данного уравнения:∞V ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlи2π nx2π nxAn = ∫ V ( x; 0 ) sindx , Bn =Vx;0sindx()l 0llπ na ∫0 tllНаходимAn = 0 .21, n = 8;8πnπππBn =12sin4xsindx=sin4xsinxdx=3π n ∫02n ∫020, n ≠ 8.22π nxПолучилиV ( x; t ) = sin12π t sin 4π x .Общее решение исходного уравнения:U ( x; t ) = V ( x, t ) + W ( x, t ) = sin12π t sin 4π x + 5t − 4tx .715.4. Решить смешанную задачу для данного неоднородного волновогоуравненияснулевыминачальнымииграничнымиусловиямиU ( x; 0 ) = U t ( x; 0 ) = 0 , U ( 0; t ) = U (π ; t ) = 0 .1U tt = U xx + 8sin 3t sin 3 x .9Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑U n ( t ) X n ( x ) ,n =1где X n ( x ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; U n ( t ) – решения задачКоши U n′′ + a2λn2U n = f n ( t ) , U n ( 0 ) = U n′ ( 0 ) = 0 ; λn – собственные числа задачиШтурма-Лиувилля и f n ( t ) – коэффициенты разложения f ( x;∞t ) = ∑ fn (t ) X n ( x ) .n =1Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примутвид X ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlВ нашем случае для данного уравнения X n ( x ) = sin nx ,λn = n .Задачи Коши: U n′′ + a n U n = f n ( t ) , где f n ( t ) находим из соотношения222π nxf n ( t ) = ∫ f ( x; t ) sindx .l 0llfn (t ) =2ππ16π∫ 8sin 3t sin 3x sin nxdx = π sin 3t ∫ sin 3x sin nxdx =008sin 3t , n = 3;=n ≠ 3.0,Получаем, чтоU 3′′ + U 3 = 8sin 3t , U 3 ( 0 ) = U 3′ ( 0 ) = 0 .k 2 + 1 = 0 ⇒ k = ±i .U 3( общ . од н.) = C1 cos t + C2 sin t .8U 3( част . неод н.) = A cos3t + B sin 3t .U 3′( част .

неод н.) = −3 A sin 3t + 3B cos3t , U 3′′( част . неод н.) = −9 A cos3t − 9 B sin 3t .−9 A cos3t − 3B sin 3t + A cos3t + B sin 3t = 8sin 3t .A = 0, B = −1 .U 3 ( t ) = C1 cos t + C2 sin t − sin 3t .U 3′ ( t ) = −C1 sin t + C2 cos t − 3cos3t .C1 = 0,U 3 ( 0 ) = 0,⇒C2 = 3.U 3′ ( 0 ) = 0.U 8 ( t ) = 3sin t − sin 3t .Общее решение исходного уравненияU ( x; t ) = ( 3sin t − sin 3t ) sin 3 x .915.23. Решить смешанную задачу для данного неоднородного волновогоуравненияснулевыминачальнымииграничнымиусловиямиU ( x; 0 ) = U t ( x; 0 ) = 0 , U ( 0; t ) = U (π ; t ) = 0U tt = 36U xx + 36cos18t sin 3 x .Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑U n ( t ) X n ( x ) ,n =1где X n ( x ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; U n ( t ) – решения задачКоши U n′′ + a2λn2U n = f n ( t ) , U n ( 0 ) = U n′ ( 0 ) = 0 ; λn – собственные числа задачиШтурма-Лиувилля и f n ( t ) – коэффициенты разложения f ( x;∞t ) = ∑ fn (t ) X n ( x ) .n =1Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примутвид X ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlВ нашем случае для данного уравнения X n ( x ) = sin nx ,λn = n .Задачи Коши: U n′′ + a n U n = f n ( t ) , где f n ( t ) находим из соотношения222π nxf n ( t ) = ∫ f ( x; t ) sindx .l 0llfn (t ) =2ππ72∫ 36cos18t sin 3x sin nxdx = πcos18t ∫ sin 3 x sin nxdx =036cos18t , n = 3;=n ≠ 3.0,Получаем, чтоU 3′′ + 324U 3 = 36cos18t , U 3 ( 0 ) = U 3′ ( 0 ) = 0 .k 2 + 324 = 0 ⇒ k = ±18i .U 3( общ . од н.) = C1 cos18t + C2 sin18t .10π0U 3( част . неод н.) = At cos18t + Bt sin18t .U 3′( част.

неод н.) = ( A + 18 Bt ) cos18t + ( B − 18 At ) sin18t .U 3′′( част. неод н.) = ( 36 B − 324 At ) cos18t + ( −36 A − 324 Bt ) sin18t .( 36 B − 324 At ) cos18t + ( −36 A − 324 Bt ) sin18t ++ 324 At cos18t + 324 Bt sin18t = 36cos18t.A = 0, B = 1.U 3 ( t ) = C1 cos18t + C2 sin18t + t sin18t .U 3′ ( t ) = −18C1 sin18t + 18C2 cos18t + sin18t + 18t cos18tC1 = 0,U 3 ( 0 ) = 0,⇒′U0=0.()C2 = 0. 3U 3 ( t ) = t sin18t .Общее решение исходного уравненияU ( x; t ) = t sin18t sin 3 x .11.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания