2.Методология (539516), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

, (2.17)

} (2.18)

Или

} (2.19)

Механическая вращательная подсистема в качестве фазовых переменных имеет моменты сил М и угловые скорости (аналоги токов и напряжений).

Уравнение вязкого трения вращения:

, (2.20)

где R_вр = 1/k –аналог электрического сопротивления; к – коэффициент трения вращения.

Уравнение динамики вращательного движения:

, (2.21)

где J- аналог электрической емкости (момент инерции элемента).

Уравнение кручения бруса с круглым поперечным сечением:

, (2.22)

где М- крутящий момент; G- модуль сдвига; - относительный

угол закручивания. Для конкретного элемента (бруса) . После дифференцирования имеем:

, (2.23)

Если учесть, что ; , то :

, (2.24)

где L_вр – вращательная гибкость (аналог электрической индуктивности).

Для спиральной пружины:

, (2.25)

где С – жесткость пружины. После дифференцирования имеем :

;

Продолжая аналогию механических и электрических подсистем, можно отметить соответствие первого закона Кирхгофа и принципа Деламбера для вращательных подсистем , второго закона Кирхгофа и принципа сожжения угловых скоростей вдоль оси вращения .

2.9.3.Математические модели на метауровне решают общие компоновочные структурные задачи. Рассматривается функциональное взаимодействие подсистем для обеспечения реализации ТЗ АС. Среди используемых моделей – ММ с целочисленным программированием. На пример для выбора конкретного набора РТК заданной производительностью, обеспечивающего максимальную суммарную производительность в пределах установленного денежного лимита. Выполняется решение методом ветвей и границ. Множество принимаемых решений разбивается на два подмножества, выбирается одно с максимальным значением оценки. Оно разбивается опять на два подмножства, из которых выбирается опять с лучшей оценкой и т.д. Поиск решения заканчивается если на некотором шаге получают допустимое техническим заданием значение целевой функции.

ММ с использованием систем массового обслуживания основаны на марковском случайном процессе, который оценивает будущее состояние системы в зависимости от прошлого через настоящее. Эта оценка выполняется на основе анализа графа состояний. Имеем систему, состоящую из двух узлов (рис.2.7):

S₀ – оба узла исправны; S₁ - первый узел ремонтируется, второй исправен; S₂ – второй узел ремонтируется, первый исправен; S₃ – оба узла ремонтируются. Из S₀ в S₁ система перейдет под воздействием потока отказов с интенсивностью . Из S₁ в S₀ система перейдет в результате ремонта с интенсивностью :

и (2.26)

где Т_б – среднее время безотказной работы; Т_р – среднее время ремонта.

Аналогично для других состояний системы. Для любого момента времени сумма всех вероятностей состояний :

(2.27)

Все вероятности состояний находятся при решении уравнений Колмогорова – дифференциальных уравнений , в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний. Для этого задают начальные условия состояния системы: р₀(0)=1; р₁(0)=р₂(0)=р₃(0)=0 ( в начальный момент оба узла исправны).

Дифференциальные уравнения решаются путем их приведения к алгебраическим. Для рис.2.6.имеем:

} (2.28)

Нормировочное условие:

(2.29)

Состояние системы меняется скачками в моменты появления каких-то событий (или прихода новой заявки или окончания обслуживания и т.д.). Элементами решения могут быть число каналов обслуживания, их производительность, режим работы и т.п.

Особенностью математических моделей с использованием сетей Петри является эффективность в отображении параллелизма, асинхронности и иерархичности функционирования станочных систем. Сети Петри – графовые отображения АС. Вершины графов маркируются особым способом. Дуги графов это функции позиций и переходов. Характеристика сети Петри – граф достижимости, с помощью которого описываются возможные варианты

функционирования сети.

2.9.4. Пример моделирования работы технологической АС с использованием СМО.

Моделирование АС проводится на проектной стадии для оценки различных вариантов их структуры, определения оптимальных компоновочных решений. При этом решаются задачи определения количества транспортных средств, приспособлений-спутников, накопителей, их вместимости, скорости перемещения и т.п.

На рис.2.8 показаны два варианта РТК. С1, …,С3 – станки; ПР- пром. робот; Н- центральный накопитель. Циклограммы работы показаны на рис.2.9.

Время цикла обработки детали :

, (2.30)

где - основное время; - время контроля; - время смены инструмента; - время позиционирования.

Время обслуживания станка промышленным роботом в варианте б) равно времени смены заготовки , а для варианта а) :

(2.31)

Рис.2.8. Компоновки РТК: а)с ПР одноруким; б) с ПР

двуруким.

Интенсивность поступления заказов на обслуживание :

, (2.32)

, (2.33)

для n деталей, обрабатываемых в станочной ГПС.

Приближенно:

(2.34)

где V_T - скорость транспортного устройства; S_T – средний путь транспортного устройства.

Рис.2.9.Циклограмма работы РТК

(Т_СЗ- время смены заготовки)

Интенсивность обслуживания:

(2.35)

В рассматриваемом примере имеем одноканальную СМО с очередью, на которую не наложено никаких ограничений (рис.2.10) ни по длине очереди, ни по времени ожидания.

Рис.2.10. Граф состояния ПР.

Для данной задачи необходимо найти вероятности состояния СМО, а также характеристики ее эффективности:

L_сист – среднее число заявок в системе;

W_сист - среднее время пребывания заявки в системе;

L_оч - среднее число заявок в очереди;

W_оч – среднее время пребывания заявки в очереди;

Р_зан - вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Абсолютная пропускная способность ( т.к. каждая заявка рано или поздно будет обслужена. Q=1 (относительная пропускная способность).

S₀ – канал свободен;

S₁ – канал занят (обслуживает заявку), очереди нет;

S₂ – канал занят, одна заявка в очереди;

. . .

S_k – канал занят, k- 1 заявок в очереди.

Вероятности P₁,P₂,…,P_k находятся: ; ; ;… ; , тогда:

, ,…, ,…

- приведенная интенсивность потока заявок.

(2.36)

(2.37)

(2.38)

(2.39)

Вероятность того, что канал занят, можно определить по формуле:

(2.40)

Станочная система по варианту б) отличается сокращением времени простоя станков за счет использования двузахватного робота, т.к. сокращается время на замену обработанной детали на заготовку. Общее количество заявок на обслуживание – m (число станков).

В каждый момент времени ПР находится в одном из m+1 состояний : S₀,S₁,…,S_m, где S₀ - состояние , когда все станки работают; S_m – все станки стоят. Интенсивность перехода из i – го состояния в состояние i+1 будет равно , где m-I – число станков, от которых может поступить заявка на обслуживание, если ПР находится в i-ом состоянии. Интенсивность перехода из i-го состояния в состояние i+1 равна , т.к. в каждый момент времени ПР обслуживает не более одного станка.

Вероятность перехода в состояние S_k будет:

, (2.41)

где .

Среднее использование ПР :

(2.42)

Среднее использование одного станка:

(2.43)

Коэффициент простоя при многостаночном обслуживании:

(2.44)

Характеристики

Список файлов лекций