1217_3 (537870), страница 2
Текст из файла (страница 2)
2.2Из условия равновесия груза следует, чтоC ЭКВδ СТ = P cosα .Учитывая это соотношение, получим дифференциальное уравнение движениягруза&x& + k 2 x = 0 ,(2)гдеЧастота колебанийk2 =CЭКВ 250== 50 с-2 .m5k = 50 с-1 .Полученное уравнение (2) является линейным однородным дифференциальнымуравнением с постоянными коэффициентами, его решение ищем в видеx = C1 cos kt + C 2 sin kt ,(3)где C1 и C2 - постоянные интегрирования.Начальные условия t = 0 ,x& (0 ) = V0 = 0,8 м/с,x(0 ) = x0 = 0 .Для определения постоянных интегрирования C1 и C2 найдем x& из (3)x& = −C1k sin (kt ) + C 2 k cos(kt ) .Подставим начальные условия в (3) и (4), получим(4)14C1 = 0 ;C2 =x& 0,8== 0,1 .k50Соотношение (3) примет окончательный вид()x = 0,1sin 50 ⋅ t .Равенство (5) определяет закон движения груза, т.е.
закон колебаний.2π2π== 0,889 c .k50Период колебанийT=Амплитуда колебанийA = C12 + C 22 = 0,1 м .(5)15ЗАДАНИЕ Д-3На звено 1 механизма, угловая скорость которого равна ω10, с некоторогомомента времени (t=0) начинает действовать пара сил смоментом M(движущий момент) или движущая сила Р.Массы звеньев 1 и 2 механизма равны соответственно m1 и m2 , а массаподнимаемого груза 3 - m3. Момент сил сопротивления вращению ведомогозвена 2 равен МC. Радиусы больших и малых окружностей звеньев 1 и 2: R1, r1,R2, r2 .Схемы механизмов показаны на рис.
3.1-3.3, а необходимые длярешения данные приведены в табл. 3.1.Найти уравнение вращательного движения звена механизма, указанного впоследней графе табл. 3.1. Определить также натяжение нитей в заданныймомент времени, а в вариантах, где имеется соприкасание звеньев 1 и 2, найтиокружное усилие в точке их касания. Звенья 1 и 2, для которых радиусыинерции ρ1 и ρ2 в табл. 3.1 не заданы, считать сплошными однороднымидисками.Пример выполнения задания Д-3Дано: m1=100 кг; m2=150 кг; m3=400 кг; М=4200+200t Нм;MC=2000Нм=const; R1=60 см; R2= 40 см; r2= 20 см; ρ1= 20 2 см ; ρ2= 30 см; ω10=2сек-1.Найти уравнение ϕ2=f(t) вращательного движения звена 2 механизма, атакже окружное усилие S в точке касания звеньев 1 и 2 и натяжение нити Т вмомент времени t1= 1 сек (рис.
3.4.а)РешениеrК звену 1 механизма приложены (рис. 3.4.б) сила тяжести G1 , движущийr rrмомент М, составляющие реакции подшипника YA , Z A , окружное усилие S1 иrнормальная реакция N 1 звена 2.rК звену 2 механизма приложены сила тяжести G2 , момент силr rсопротивления МC, составляющие реакции подшипника YB , Z B , натяжениеrrнити T , к которой подвешен груз 3, окружное усилие S2 и нормальная реакцияrN 2 звена 1.rrК грузу 3 приложены сила тяжести G3 и натяжение нити T ' .rrrrrrОчевидно: S2 = − S1 , N 1 = − N 2 , T ' = − T .16Рис. 3.117Рис.
3.218Рис. 3.319№Варианта123456789101112131415m1,кгm2,кгm3,кгR1, r1, R2, r2,см см см см100300200100150400300300200250150100180150300300801002503002502002501001003002001008018050050040030060060040070050040070060030040050020706020307060508040403050402050403060203020402010602030505030304020306060303050402030202020203020-ρ1,смρ2,смM,НмP,НMC,Нмω10,c-1606070504050 2303020 230 23010 26020 2403020 22030406020502100+20t6100+20et1000+40t24800+10e2t5900+30t2500+50et1800+20t700+40t210200+100t25500+200t3000+100t29700+50t33900+50t 25700+50t2700+200t3-100060080014001500800500500600120010001500400700300210,51,5230120120,51,50Таблица Д-3t,Найcти20,52,52143231,52212,51,5ϕ1ϕ2ϕ1ϕ1ϕ2ϕ1ϕ2ϕ1ϕ2ϕ2ϕ1ϕ1ϕ2ϕ1ϕ120№Варианта161718192021222324252627282930m1,кгm2,кгm3,кгR1, r1, R2, r2,см см см см3002502002504002002502001001502502506050300250100100150100150100802008020015020020060400800600400800300800400500400500500900500600605020505050604030605050202050403030204020202030305020503030301030402040406040203020202030301030-ρ1,смρ2,смM,НмP,Н5040404030 25030604030 240405020 2203030305025 2-5400+50t21900+20e2t3700+50et2300+20t4900+40e3t900+10t 22100+20et-7300+100t14200+200t23800+100t9700+200t312600+100t23500+150t15200+100t37200+50tПродолжение таблицы Д-3t,НайMC, ω10,-1cтиНмc12009001500500120080070090050080060070015001000700120,50,52120,51,5021,5021,5221211,50,5111,52120,51ϕ1ϕ1ϕ2ϕ1ϕ2ϕ2ϕ1ϕ2ϕ1ϕ2ϕ1ϕ1ϕ2ϕ1ϕ221Рис.
3.4Составим дифференциальное уравнение вращения звена 1 вокругнеподвижной оси x1:I 1ϕ&&1 = M 1e .eГлавный момент M1 внешних сил, приложенных к звену 1 (рис. 3.4,б),относительно оси x1eM1 = M − S1R1 .Момент М задает направление ω1, приводит в движение системуr и поэтомупринят положительным, а момент, создаваемый усилием S1 , направленпротивоположно ω1, препятствует вращению звена 1 и, следовательно,отрицателен.Дифференциальное уравнение вращательного движения звена 1 приметвидI1ϕ&&1 = M − S1 R1 .Выразим угловое ускорение ϕ&&1 звена 1 через угловое ускорение ϕ&&2 звена 2.Так какϕ&&1 R2=,ϕ&&2 R1то(1)22R2.R1Тогда уравнение (1) принимает следующий вид:ϕ&&1 = ϕ&&2I1ϕ&&2R2= M − S1 R1 .R1(2)Для составления дифференциального уравнения вращения вокруг оси x2звена 2, к которому подвешен груз 3, применим теорему об изменениикинетического момента:dK2e= M2 .(3)dtКинетический момент системы 2-3 относительно оси x2K2 = I 2ω 2 + m3Vr2 ,где I 2ω 2 - кинетический момент звена 2, вращающегося с угловойскоростью ω2 вокруг неподвижной оси x2;m3Vr2 - момент количества движения груза 3, движущегося поступательносо скоростью V.Так как V = ω 2r2 , то()2K2 = I 2 + m3r2 ω 2 = I np2 ϕ& 2 ,где: I np2 = I 2 + m3r2 - приведенный к оси x2 момент инерции системы 2-3.2eГлавный момент M 2 внешних сил, приложенных к системе 2-3 (рис.3.4),относительно оси x2eM 2 = S2 R2 − G3 R2 − M C .rМомент, создаваемый усилием S2 , задает направление ω2, приводит в движениесистему2-3 и поэтому принят положительным,а момент силы тяжести грузаrrG3 и момент сил сопротивления M C направлены противоположно ω2,препятствуют движению системы и, следовательно, отрицательны.Таким образом, из уравнения (3)()dI ϕ& = S2 R2 − G3r2 − M C .dt np2 2и получаем следующее дифференциальное уравнение вращения звена 2:23(4)I np2 ϕ&&2 = S2 R2 − G3r2 − M C .В полученной системе уравнений (2) и (4) неизвестны усилия S1=S2=S иугловое ускорение ϕ&&2 .
Для исключения S первое из уравнений этой системыдомножим на R2 , второе на R1 и сложим их. Тогда получим R22+ I np2 R1 ϕ&&2 = MR2 − (G3r2 + M C ) R1 , I1 R1илиϕ&&2 =MR1 R2 − (G3r2 + M C ) R12I1 R22 + I np2 R12.(5)Выражение (5) определяет в общем виде угловое ускорение звена 2 механизма.Учитывая исходные данные, найдем:(I1 = m1 ρ12 = 100 0,2 2)2= 8 кг⋅м2 ,I np2 = I 2 + m3r22 = m2ρ22 + m3r22 = 150 ⋅ 0, 32 + 400 ⋅ 0, 2 2 = 29, 5 кг⋅м2 .Подставляем числовые данные в (5)ϕ&&24200 + 200t )0,6 ⋅ 0,4 − (400 ⋅ 9,81 ⋅ 0,2 + 2000) ⋅ 0,62(=8 ⋅ 0,4 2 + 29,5 ⋅ 0,62== 4, 034t + 0, 4597 (сек-2).Интегрируем это уравнение дважды:ϕ& 2 = 2,017t 2 + 0,4597t + C1 ;ϕ 2 = 0, 672t 3 + 0, 230t 2 + C1t + C2 .Для определения постоянных интегрирования используем начальные условиязадачи:R60при t=0ϕ2=0 ,ϕ&2 (0) = ω2 (0) = ω1 (0) ⋅ 1 = 2 ⋅ = 3 сек-1.R240Следовательно,ϕ&2 (0) = C1,ϕ 2 (0 ) = C 2 ,т.
е.C1 = 3 сек-1 ;C2 = 0 .Уравнение угловой скорости звена 2 имеет вид24ϕ& 2 = 2,017t 2 + 0,4597t + 3(сек-1).Искомое уравнение вращательного движения звена 2 имеет вид:ϕ 2 = 0, 672t 3 + 0, 230t 2 + 3t(рад).Окружное усилие S можно определить из уравнения (4):S = S2 =Приt1=1 секS=I np2 ϕ&&2 + G3r2 + M CR2.29,5(4,034 ⋅ 1 + 0,4597 ) + 400 ⋅ 9,81 ⋅ 0,2 + 2000= 7295 Н.0,4Рис. 3.5Для определения натяжения нити T составим дифференциальноеуравнение вращения звена 2 (рис.
3.5) в следующем виде:I 2ϕ&&2 = S 2 R2 − Tr2 − M C ,из которогоT=При t1=1 секT=S2 R2 − M C − I 2ϕ&&2r2.7295 ⋅ 0,4 − 2000 − 13,5(4,0334 ⋅ 1 + 0,4597 )= 42850,2Н.25ЗАДАНИЕ Д-4Плоскопараллельное движение твердого телаБарабан радиуса R весом P имеет проточку (как у катушки) радиусаr=0,5R (рис.4.1, табл.r Д-4).r К концам намотанных на барабан нитей приложеныпостоянные силы F1 и F2 , направления которых определяются углом β. Кромесил на барабане действует пара с моментом M. При движении, начинающимсяиз состояния покоя, барабан катится без скольжения по шероховатойнаклонной плоскости с углом наклона α так, как показано на рисунках.Пренебрегая сопротивлением качению, определить закон движенияцентра масс барабана, т.е. xC=f(t) , и наименьшее значение коэффициентатрения fmin о плоскость, при котором возможно качение без скольжения.Барабан рассматривать как сплошной однородный цилиндр радиуса R.Указания.
При решении задачи Д-4 следует использоватьдифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела.При составлении уравнений следует, во избежании ошибок в знаках, направитькоординатную ось x в ту сторону, куда предполагается направление движенияцентра масс барабана (точка С), и считать положительными моменты,направленные в сторону вращения барабана. Если фактически направлениедвижения центра С является другим, то в результате получится aC<0 инайденная величина будет верной.
Силу трения, когда не ясно, куда онанаправлена, можно направлять в любую сторону.Определяя наименьшее значение коэффициента трения, при которомвозможно качение без скольжения, следует учесть, что сила трения не можетFбыть больше предельной, т.е. что FTP ≤ fN , откуда f ≥ TP . СледовательноNFf min = TP . Очень существенно, что во все эти выражения входят модули силN(мы не пишем N , так как в данной задаче не может быть N<0).
Если прирасчетах получится FTP<0, то это означает лишь, что фактически сила FTPнаправлена в другую сторону.Пример выполнения задания Д-4Барабан (сплошной однородный цилиндр) радиусом R и весом Pначинает катиться без скольжения из состояния покоя по наклонной плоскостис углом α. На барабан действует сила и пара сил с моментом M (рис.4.2).Дано: P , F = 0,8 P , M = 1,1 PR , α = 30° , β = 30° .Определить: 1) xC=f(t) - закон движения центра масс барабана; 2) fmin наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение безскольжения.2621MMCβ βCβ βF2αF1F1α3F24F1F2β βCMF2MCβ βF1αα56MMβ βCF1F2F2Cβ βαF1α78MF2F1β βCβ βCF1MαF2α109MF1F2β βCF1Cβ βF2ααРис.
4.1M27№варианта123456789101112131415161718192021222324252627282930№рисунка123456789101234567891012345678910α, °β, °F1F2Таблица Д-4M3030030300300303030030030030300303003030300303003060303090600609060603030603090603090606030906030609060309000,2P000,1P0,3P00,2P00,1P0,4P00,2P0,1P00,1P0,2P00,4P00,1P00,1P00,2P0,1P0,3P00,2P00,4P00,2P000,1P0,3P00,2P000,2P0,3P00,2P000,1P00,3P0,2P0,3P00,4P00,2P00,1P00,4P000,1PR0,4PR0,2PR00,2PR0,3PR0,4PR0,3PR00,3PR00,1PR0,4PR0,3PR0,4PR0,3PR0,1PR0,4PR00,5PR0,2PR0,1PR0,2PR00,1PR0,4PR0,1PR0,2PRРешение.r r Барабанrr совершает плоскопараллельное движение под действиемr сил:P , F , N и FTP и момента М. Так как направление силы трения FTP намзаранее неизвестно, выбираем его произвольно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
