Простешие Движения Твердого Тела -Метода (537039)
Текст из файла
Московский государственныйтехнический университетимени Н.Э. БауманаМЕТОДИЧЕСКИЕУКАЗАНИЯКинематика точкии простейшие движениитвердого телаИздательство М ГТУим. Н.Э. БауманаМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаКИНЕМАТИКА ТОЧКИИ ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯТВЕРДОГО ТЕЛАМетодические указанияк выполнению курсового заданияМоскваИздательство МГТУ им.
Н.Э. Баумана2012УДК 531.1ББК 22.21К41Рецензент Г.А. ТимофеевК41Кинематика точки и простейшие движения твердоготела: метод, указания к выполнению курсового задания /О.П. Феоктистова, Е.Б. Гартиг, А.А. Пожалостин, А.А. Панкратов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. - 37, [3] с . :ил.Представлен комплекс курсовых заданий по теоретической механике. Приведены примеры выполнения курсового задания.Для студентов первого курса машиностроительных и приборныхспециальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана.Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУ К ФН МГТУим. Н.Э.
Баумана.УДК 531.1ББК 22.21© МГГУ им. Н.Э. Баумана, 2012ВВЕДЕНИЕКурсовое задание по разделу теоретической механики «Кинематика точки и простейшие движения твердого тела» является первым при изучении курса «Теоретическая механика». Оно позволяетстуденту усвоить основные понятия кинематики точки и простейших движений твердого тела. Курсовое задание содержит 30 вариантов задач (разд.
4). Каждому варианту задания соответствуетодна схема механизма (на схемах — 1—5 — звенья механизма).Указанная на схемах механизма точка М может принадлежатьзвену или совершать движение относительно него. Начало и положительное направление отсчета координат s(t), х(£), г/(£), г(£), ср(£)и \|/(£) также указаны на схемах.Кроме того, на схемах механизмов приведены исходные данные для всех вариантов задания и единицы измерения исходныхвеличин: длина —в метрах, время —в секундах, угол —в радианах.В точках соприкосновения звеньев механизма проскальзывание отсутствует, нити и ремни считаются нерастяжимыми и относительно шкивов не скользят.Курсовое задание состоит из двух частей: 1) кинематика точки;2) простейшие движения твердого тела.2.
КИНЕМАТИКА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙТВЕРДОГО ТЕЛА1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИВ первой части курсового задания нужно исследовать движение точки М и определить основные характеристики этого движения.Требуется:1) по заданному движению механизма (см. варианты заданий)получить уравнения движения точки М координатным способом(в декартовой или полярной системе координат, указанной на схемеварианта);2 ) определить траекторию движения точки М для момента времени t — t\;3) найти скорость v и ускорение а точки М;4) определить проекции скорости v и ускорения а точки М наоси декартовой системы координат;5) найти касательную ах и нормальную ап составляющие ускорения, радиус кривизны р траектории в данном положении точки М:6) найти радиальную vr и трансверсальную Vp составляющиескорости.
Начало полярной системы координат нужно поместитьв начало декартовой, направив полярную ось по оси Ох;7) в выбранном масштабе выполнить чертеж с изображениемтраектории движения точки М. На чертеже указать все составляющие скорости и ускорения точки М в момент времени t = ti.4Во второй части курсового задания требуется определить:1) вид движения звеньев механизма для момента времениt = tь2 ) угловые скорости со и угловые ускорения 8 звеньев механизма, совершающих вращательное движение, указать на чертежекруговыми стрелками их направления, характер движения тел (замедленный или ускоренный);3) скорости v и ускорения а тел при поступательном движении;4) для точек контакта тел А{ {г — номер звена) скорости, ускорения и изобразить их на схеме механизма в соответствующеммасштабе (см.
разд. 4).Примечания. 1. Радиусы ступеней г-го зубчатого колеса обозначены Ri и гi.2. Законы движения звеньев в ряде механизмов справедливы для ограниченного промежутка времени, включающего моментt = t\.3. Для тела при вращении его вокруг оси Oz\ф — угол поворота тела. Положительное направление отсчета угла ф принято против хода часовой стрелки, если смотреть сположительного направления оси O z ;сЪ — угловая скорость тела — скользящий вектор на оси враще^ния, со = со^/со, где ко — единичный орт оси Oz;—— = ф —проекция вектора со на ось Oz;£ — угловое ускорение тела — скользящий вектор на оси вращения O z , ё = вДо, где £z — проекция вектора 8 на ось Oz:d? фd(dz3.
ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОГО ЗАДАНИЯПример 1. Исследовать кинематику движения точки и кинематику движений твердого тела (рис. 1). Определить:5траекторию движения точки М и для момента времени t = 1с:1) скорость v и ускорение а;2) радиальные и трансверсальные составляющие скорости иускорения;3) касательную ати нормальную ап составляющие ускоренияточки М.Выполнить чертеж с изображением движения траектории точкиМ. Указать ее положение для момента времени t = 1 с, найденныескорости и ускорения, а также их составляющие.Найти угловые скорости ш и ускорения £ звеньев 7 — 3 механизма (см.
рис. 1), скорости и ускорения точеки для моментавремени t — 1 с указать их на чертеже.Дано: r(t) = behtм; <p(t) = ht 2 —1, рад; b — 1 м, h — 1 рад/с2;i?i = 0,4 м; i ?2 = 0,2 м; г 2 = 0,1 м.Исследуем кинематику движения точки М . Движение точки Мзадано координатным способом (в полярной системе координат).Полярную ось считаем совмещенной с осью Ох; О М = r (t) —полярный радиус ф(£) — полярный угол.Найдем траекторию точки М.
Исключив время £, получимуравнение траектории движения точки М в полярной системе координат:г = е ф.Это логарифмическая спираль. Так как t ^ 0, траекторией движения точки М будет часть логарифмической спирали:г = е ф( —1 ^ ф < оо; г ^ е ” 1).Координаты точки М при t — 0 с:ф = —1 рад = —57,3°; г = 0,368 м.Координаты точки М при t — 1с:ф = 0 рад = 0°; г = 1 м.Определим скорость точки М:У3V =У гГ О + У рР О ,где fo — единичный вектор, направленный от полюса О к точке М;ро — единичный вектор, направленный по трансверсали (поворотfo на 90° по направлению круговой стрелки ф).Проекция вектора скорости v на радиальную ось:vr = г = 2 te t2~ 1 .Проекция вектора скорости v на трансверсальную ось:^ /2~1vp — ri^ — 2 teДля момента времени t = 1 сvr = vp — 2 м/с; v = y j v ^ + v * = 2 \[ 2 — 2,828 м/с.Определим ускорение точки М :а = arfo + appo.Проекция ускорения а на радиальную осьРис.
16ат— г —гф 2 = 2et2~ 1 + 4t 2et2~l —4t 2ei2~l = 2 е^ -1 .7Проекция ускорения а на трансверсальную осьар — 2гф + г ф ~ 812ег2~г + 2е^~ 1 = 2е^ -1 (4t 2 + 1 ).Зададим движение точки М естественным способом.Траекторией движения точки М является часть логарифмической спирали:Для момента времени t — 1 саг = 2 м/с2; ар = 10 м/с2; а = у а2г +а% = 10,2 м/с2.Радиальную и трансверсальную составляющие скорости иускорения строим на чертеже с изображением траектории движения точки М (рис. 2).г — е ф,где —1 ^ ф < оо; г ^ е~г.Начало отсчета дуговой координаты s (натурального параметра) выберем в положении точки М при t — 0 с ф0 = —1 рад == —57,3°; г = 0,368 м.
Положительное направление отсчета координаты s выберем в сторону движения точки М от точки M q.Определим зависимость s — s(t), положив v x — v из соотношенияtгits ■ J vxdt = j yjv$+v% dt,о0которое удобно преобразовать к видуФs = I \ K ^ 2+r2diр’Фоdrгде г — еф; — = е ф; s = J V 2е2Фdip — л/2 J еф^ф — л/2 (еф —ФоФо_ еФо) — л/2 (еф —е-1 ), т. е. s(t) = у/2 (еь2 —1)/е.Скорость точки Мv — г>хт,где |х| = 1 ; т — единичный вектор, направленный в сторону положительных значений s по касательной к траектории движенияточки М;Vx = s — \/ 2 е фф = \/2е*2_121 = 2 \/ 2 te t2~1— проекция скорости на касательную к траектории движения точки М.Рис. 28Ускорение точки МЗададим движение точки М в декартовой системе координат:а=x — r cos ф;+ ап П)где \п\ — 1 ; п — единичный вектор, направленный по главной нормали к траектории движения точки М.Проекция ускорения на ось, касательную к траектории движения точки М\у — г sin ф.При t — 1 с;г — 1 • cos 0 = 1 м; у — 1 • sin 0 = 0 м.Скорость точки Мax — s — 2y/2et2~l + 4\/2 t2e*2_1.v = vxi + vyj ,Для момента времени t — 1 сгде г, j — орты координатных осей О х , Оу.Проекции скорости точки М на оси О х , Оу:а т = 6\/2 = 8,485 м/с2.Проекция ускорения на нормаль к траектории движения точки М:vx ~ х — г cos ф —г ф sin ф = vr cos ф —Vp sin ф;vy — у — тsin ф + г ф cos ф = vr sin ф + vp cos ф.y j а 2 - а% = >/104 - 72 = V32 = 4у/2 = 5,675 м/с2;vx = vr — 2 м/с; vy — vp — 2 м/с.^2апПри / — 1 сРОтсюдаvx = 2 м/с; vy — 2 м/с; г; = y j v 2 + v 2 — 2 у/ 2 ^ 2,82 м/с.v28гр = — - — -= = у/2 « 1,41 м,ап4у2где р — радиус кривизны траектории движения точки М приt — 1 с.Для проверки полученного значения найдем av — проекциюускорения на ось, совпадающую со скоростью v точки М:dvdГ ~2“a v = d t ^ d t V Vr+Vp^vrar + VpCLpV'Для момента времени t = 1 с2-2 + 2- 1 0— 6\/2 рз 8,46 м/с2.2V 2Вектор а т = av направлен по касательной к траектории движения точки М.10При t — 1 сУскорение точки М&—~t~dyj •Проекции ускорения точки М на оси Ох, Оу:ах = r cos ф —г ф э т ф —г ф в т ф —rip sin ф —rip2 cos ф =— ^ _ г ф2) cos ф _ (2гф + r ip) sin ф;ах = ar cos ф —ар sin ф;....•.••••2 •ау — г sin ф + гфсоэ ф + гфсоэ ф + гфсов ф —гф sm ф =— (j: _ г ф ) sin ф + (2гф + гф) cos ф;ау — ar sin ф + ар cos ф.При t — 1 с&х = &г — 2 м /с2 ; ау = ар = 10 м /с2 ; а = y ja 2 + a l = 10,2 м /с2.11Исследуем кинематику простейших движений твердого тела.Звенья 7, 2 совершают вращательное движение, звено 3 — поступательное движение.Для звена /C0i г = ф = 0,5* + 1,75.При /; — 1 с(Oiz = 2,25 рад/с; сох = |ш и|;£iz — ф —0,5 рад/с2 = const;£i = \£\z \.При t — 1 с coi2 > 0 H £ i 2 > 0 направления круговых стрелок угловой скорости и углового ускорения соответствуют положительномунаправлению отсчета угла ср.Звено / вращается равноускоренно.
Так как проскальзываниемежду телами 7 и 2 отсутствует, у точек контакта звеньев 7 и2 одинаковые скорости и касательные составляющие ускорения.ТогдаCOii?i = СО2Г2.ОтсюдаЮ1Д 12,25-0,4со2 = ------- = — —— = 9 рад/с.г20,1Направления круговых стрелок угловых скоростей согласованыс направлениями скоростей точек контакта тел.Модуль угловой скорости тела 2СО2 = 8 рад/с.Из равенства касательных составляющих ускорений точек контакта тел 7 и 2 следуетEijRi = £2^2,отсюда£!Й 12- 0, 42£2 = -----= 8 Рад/с •Г2 = “7ГТ“0,1Направления круговых стрелок угловых ускорений согласованы с направлениями касательных составляющих ускорений точекконтакта тел.Звено 2 вращается равноускоренно (рис.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
