1625913495-e5e7675565e286172d8ad611005c37e6 (536928)
Текст из файла
Экзамен по курсу «Квантовая механика 1»С. Г. Сальников31 декабря 2020 г.Список вопросов «на двойку»11. Размерностный анализ, доведение до числа.2. Определение и коммутационные соотношения основных операторов квантовой механики: r, p, l.3. Соотношения неопределённостей для импульса и координаты, энергии и времени.4. Стационарное и нестационарное уравнения Шредингера, гамильтониан частицы в потенциальном поле.5. Зависимость волновых функций стационарных состояний от времени.6. Волновая функция и энергия связанного состояния в «мелкой» потенциальной яме.7.
Спектр энергии одномерного гармонического осциллятора.8. Спектр энергии атома водорода.9. Волновая функция основного состояния атома водорода...................................................................................................10. Решить задачи из задания (не сдавшие задания не могут претендовать на положительнуюоценку на экзамене).1Знание ответов на эти вопросы не гарантирует получение положительной оценки. Незнание — гарантирует получение двойки. Приветствуются быстрые ответы без долгих размышлений.1Экзаменационные вопросы и задачиВопросы1. Уравнение Шредингера. Вероятностная интерпретация волновой функции.
Оператор Гамильтона.2. Расплывание волнового пакета. Фазовая и групповая скорости.3. Координатное и импульсное представления. Соотношение неопределённостей.4. Операторы физических величин. Операторы координаты и импульса. Среднее значение физической величины.5. Эрмитовы операторы. Вещественность собственных значений, ортогональность и полнота системы собственных функций.6. Коммутаторы операторов. Одновременная измеримость физических величин.7. Вывод соотношения неопределённостей. Соотношение неопределённостей для координаты иимпульса.8.
Нестационарное уравнение Шредингера. Стационарные решения, задача с начальными условиями.9. Оператор эволюции. Гейзенберговское представление операторов и волновых функций, уравнения движения для операторов в гейзенберговском представлении. Теорема Эренфеста.10. Теорема о вириале. Соотношение между средними кинетической и потенциальной энергией вслучае потенциала, являющегося однородной функцией.11. Свойства решений одномерного уравнения Шредингера. Непрерывный и дискретный спектр.Невырожденность уровней энергии.
Чётные и нечётные решения. Осцилляционная теорема.12. Одномерная прямоугольная потенциальная яма, условия сшивки, получение уравнения на уровни энергии. Мелкая яма. δ-яма.13. Плотность тока вероятности, уравнение непрерывности, сохранение полной вероятности.14. Одномерное рассеяние, коэффициенты отражения и прохождения. Рассеяние на ступеньке.Подбарьерное прохождение и надбарьерное отражение.15. Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора, уровни энергии и волновыефункции.16. Операторы рождения и уничтожения. Определение уровней энергии и волновых функций гармонического осциллятора в операторном формализме.17.
Движение в периодическом потенциале. Оператор Pсдвига, квазиимпульс. Зонная структураспектра энергии на примере потенциала U (x) = −G ∞n=−∞ δ(x − na).18. Оператор орбитального момента, свойства операторов ˆli , коммутаторы. Собственные значенияи собственные функции, чётность волновых функций с определённым моментом l. Операторповорота.219. Повышающие и понижающие операторы орбитального момента. Построение общих собственных функций операторов l̂2 и ˆlz с помощью операторов ˆl+ и ˆl− .20. Задача двух тел в квантовой механике.21. Разделение переменных в центрально-симметричном поле. Радиальная волновая функция, граничные условия в нуле.22. Решение уравнения Шредингера для атома водорода, уровни энергии и волновые функции.23.
Спектр энергии атома водорода, кратность вырождения уровней En , волновые функции основного и первого возбуждённого уровней.24. Вывод уравнения Шредингера из вариационного принципа. Прямой вариационный метод.25. Стационарная теория возмущений, невырожденный случай. Поправки первого и второго порядка.26. Поляризуемость атома водорода в основном состоянии, общая формула и оценка.27.
Стационарная теория возмущений при наличии вырождения, правильные волновые функциинулевого приближения, секулярное уравнение.28. Эффект Штарка в атоме водорода для состояний с n = 2.29. Силы Ван-дер-Ваальса, зависимость от расстояния между атомами.30. Квазиклассическое приближение, критерий применимости, вид волновых функций, правиласшивки.
Правило квантования Бора-Зоммерфельда.31. Квазистационарные состояния, ширина, энергетическое распределение.32. Квазиклассическое выражение для коэффициента прохождения через потенциальный барьер.Оценка времени жизни квазистационарного состояния, пример α-распада.3Задачи1. Частица движется в поле U (x) = αx4 .
Оценить энергию основного состояния.2. Показать, что среднее значение производной по времени физической величины, не зависящейот времени явно, в стационарном состоянии дискретного спектра равно нулю, в частности, чтоhn |p̂| ni.3. Используя импульсное представление для операторов, докажите, что eiap̂/~ x̂e−iap̂/~ = x̂ + a.4. Доказать, что hˆlx2 i · hˆly2 i > hˆlz i2 /4, где средние значения операторов взяты по состояниям сопределённым орбитальным моментом l и его проекцией m на ось z. Для каких m выполняетсяравенство?5.
Найти произведение неопределённостей ∆x · ∆p для связанного стационарного состояния частицы, движущейся в потенциале U (x) = −G δ(x)?6. Для частицы в однородном поле U (x) = −F0 x найти гейзенберговские операторы координатыи импульса.7. Частица движется в потенциале U (x) = −G δ(x + a) − G δ(x − a) с условием mGa/~2 = κ0 a 1.Найти распределение вероятности W (x, t), если в начальный момент времени частица была в√состоянии с волновой функцией ψ(x, 0) = κ0 e−κ0 |x+a| .8.
Частица находится в связанном состоянии в потенциале U (x) = −G δ(x). Найти вероятностьтого, что эта частица окажется в состоянии непрерывного спектра после мгновенного измененияпотенциала на U (x) = −αG δ(x).9. Оператор поворота на угол ϕ вокруг оси n можно записать через оператор орбитального момента в виде R = eil̂·ϕ , где вектор ϕ = ϕn. Используя это выражение, покажите, что коммутатор[ˆli , V̂j ] = iεijk V̂k для любого векторного оператора V̂ (т.е. оператора, преобразующегося прималых поворотах по закону V̂ → V̂ + [δϕ × V̂ ]).10. Найти число связанных состояний в прямоугольной потенциальной яме U (x) = −U0 при |x| < a,U (x) = 0 при |x| > a.11.
Частица движется в поле U (x) = −G δ(x + a) − G δ(x − a). Считая mGa/~2 1, найти приближённые значения энергий связанных стационарных состояний и нарисовать качественносоответствующие волновые функции.12. Найти коэффициенты отражения и прохождения при рассеянии частицы в одномерном потенциале U (x) = −G δ(x).13. Для n-го состояния гармонического осциллятора вычислить, используя операторный метод,среднее значение hn |xp̂| ni.14. Используя явный вид операторов рождения и уничтожения, как дифференциальных операторов, найти волновые функции ψ0 (x) и ψ1 (x), соответствующие основному и первому возбуждённому состояниям одномерного гармонического осциллятора.15. Чему равны средние значения координаты и импульса частицы, находящейся в основном состоянии в поле U (x) = ∞ при х < 0, U (x) = mω 2 x2 /2 при х > 0.16.
Найти уровни энергии двумерного гармонического осциллятора с гамильтонианом Ĥ =mω 2 (x2 +y 2 )+ αxy, считая что |α| < mω 2 .2p̂2x +p̂2y2m+17. Частица находится в поле U (x) = mω 2 x2 /2 в состоянии в волновой функцией ψ(x) = x2C+a2 .Найти вероятности того, что при измерении энергии частицы будут получены значения 12 ~ω иp3~ω.Считать,чтоa~/mω.2418. Используя гейзеберговкое представление для операторов рождения и уничтожения, найти зависимость от времени среднего значения координаты hα |x̂(t)| αi, где |αi — собственное состояниеоператора уничтожения: â |αi = A eiϕ |αi (такие состояния гармонического осциллятора называются когерентными).22~ ∂19. Плоский ротатор (система с гамильтонианом Ĥ = − 2I) в момент времени t = 0 находится∂ϕ2iϕ2в состоянии с волновой функцией ψ(ϕ, t = 0) = A e cos ϕ. Найти среднее значение моментаротатора ˆlz , среднее значение его энергии, а также ψ(ϕ, t > 0).20.
Найти Ye1m (θ, ϕ) — собственные функции оператора ˆlx через функции Y1m (θ, ϕ) собственные дляоператора ˆlz .21. Указать, при каких m и m0 могут быть отличны от нуля матричные элементы каждой издекартовых компонент оператора дипольного момента hm0 |er| mi.22. Найти кратность вырождения уровней энергии трёхмерного изотропного (ωx = ωy = ωz = ω)осциллятора.23. Какие значения проекции момента ˆlz и квадрата момента l̂2 реализуются в состоянии трёхмерного изотропного осциллятора ψnx ny nz (r) = ψ100 (x, y, z) (т.е.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
