1625914114-96fa42e16a4a561c6afd6a82566ba843 (532701), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 2X −− 3Y, если известно, что EX = 3, EY = 4, DX = 5, DY = 6.Найти математические ожидания и дисперсии числа стандартных деталей среди отобранных из задачи 59.Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин X и Y из задачи 65.Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей:а) распределение Бернулли;б) биномиальное распределение;в) распределение Пуассона;г) геометрическое распределение;д) равномерное распределение на отрезке [a, b];е) показательное распределение;ж) нормальное распределение с параметрами α, σ 2 ;79. Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин Y1 и Yn , введенных в задаче 70.80. Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин из задач 62, 63.5P∞P∞81. Доказать, что EX = k=1 P(X > k), если известно, что k=1 P(X = k) = 1.82.
Найти EX 2017 , если случайная величина X имеет стандартное нормальное распределение.83. Вычислить момент k-го порядка для случайной величины, имеющей:а) равномерное распределение на отрезке [a, b], б) показательное распределение с параметром α.84. Диаметр круга измерен приближенно. Считая, что его величина равномерно распределена на отрезке [a, b], найтиматематическое ожидание и дисперсию площади круга.85. Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание и дисперсию суммы числа очков, которые выпадутна всех гранях.86. Пусть независимые случайные величины X1 , X2 , . . .
имеют одну и ту же функцию распределения F (x). Пусть x —некоторое число такое, что 0 < F (x) < 1. Обозначим через ν(x) номер первой случайной величины, значение которой больше или равно x. Доказать, что Eν(x) = (1 − F (x))−1 .87. Доказать, что если случайные величины X1 , X2 , . . . , Xn независимы, положительны и одинаково распределены, топри k ≤ nX1 + . . . + XkkE= .X1 + .
. . + Xnn88. Вычислить коэффициент корреляции ρ(X, Y ) в условиях задачи задачи 65.89. Найти коэффициент корреляции ρ(X, X + Y ), где X и Y независимы и распределены по стандартному нормальномузакону.90. Найти коэффициент корреляции ρ(X, X 2 ), где X имеет:а) стандартное нормальное распределение; б) показательное распределение с параметром α.91. Пусть случайные величины X и Y независимы, причем P(X = 1) = P(X = −1) = 1/2, P(Y = 1) = P(Y = −1) == 1/4 и P(Y = 0) = 1/2.
Будут ли случайные величины XY и Y :а) независимыми;б) некоррелированными?92. Доказать, что Yn → b и Y1 → a по вероятности при n → ∞ для соответствующих последовательностей случайныхвеличин, введенных в задаче 70.¡¢93. К чему сходится по вероятности при n → ∞ последовательность Yn = cos X1 + · · · + Xn /n , если X1 , . . . , Xn —независимые случайные величины, распределенные равномерно на отрезке [0, π].94. Случайные величины X1 , . . . , Xn независимы и одинаково распределены, при этом EX1 = a, DX1 = σ 2 . К чемусходится по вероятности последовательностьa) Yn =X12 + · · · + Xn2−nµX1 + · · · + Xnn¶2;б) Yn =X1 + · · · + Xn?X12 + · · · + Xn295. Пусть случайная величина Yn имеета) распределение Пуассона с параметром n;б) биномиальное распределение с параметрами n и p;в) нормальное распределение с параметрами 0 и n.Выяснить, существует ли предел по вероятности отношения Yn /n при n → ∞.96.
Пусть X1 , X2 , ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечнойдисперсией. Доказать, что для любого b предел lim P(X1 + . . . + Xn < b) равен либо 0, либо 1, либо 1/2. Найтиn→∞условия, при которых имеет место каждый случай.97. Пусть X1 , X2 , . . . — независимые и одинаково распределенные случайные величины, EX1 = 0, DX1 < ∞. Известно,чтX1 + · · · + Xn1√P>1 →3nпри n → ∞.
Найти DX1 .98. Известно, что левши составляют в среднем 1%. Оценить вероятность того, что по меньшей мере четверо левшейокажется среди:а) 200 человек;б) 10000 человек.99. Среди семян пшеницы 0,6% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить:а) не менее 3 семян сорняков; б) не более 16 семян сорняков; в) ровно 6 семян сорняков.100. Известно, что дальтоники составляют в среднем 1%. Оценить вероятность того, что среди 100 человек:а) нет дальтоников;б) дальтоников не менее двух.101. Известно, что вероятность рождения мальчика приблизительно равна 0.515. Какова вероятность того, что среди 10тыс. новорожденных окажется мальчиков не больше, чем девочек?6102. Для лица, дожившего до двадцатилетнего возраста, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0.006.
Застрахована группа 10000 лиц 20-летнего возраста, причем каждый застрахованный внес 120 рублей страховых взносов загод. В случае смерти застрахованного родственникам выплачивается 10000 рублей. Какова вероятность того, что:a) к концу года страховое учреждение окажется в убытке;б) его доход превысит 600000 рублей?103.104.105.106.107.108.Какой минимальный страховой взнос следует учредить, чтобы в тех же условиях с вероятностью 0.95 доход был неменее 400000 рублей?Известно, что вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0.02. Сверла укладываются в коробки по 100 шт. Чему равна вероятность того, что в коробке не окажется бракованных сверл? Какое наименьшееколичество сверл нужно класть в коробку для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.9, в ней было не менее 100исправных?Вероятность выхода из строя за время T одного конденсатора равна 0.2.
Определить вероятность того, что за времяT из 100 конденсаторов выйдут из строяа) не менее 20 конденсаторов; б) менее 28 конденсаторов.Некоторая машина состоит из 10 тыс. деталей. Каждая деталь независимо от других деталей может оказаться неисправной с вероятностью pi , i = 1, 2, 3, причем для n1 = 1000 деталей p1 = 0.0003, для n2 = 2000 деталей p2 = 0.0002,и для n3 = 7000 деталей p3 = 0.0001.
Машина не работает, если в ней неисправны хотя бы две детали. Найти вероятность того, что машина не будет работать.1000 раз бросается игральная кость. Найти пределы, в которых с вероятностью, большей 0.95, будет лежать суммавыпавших очков.Студент получает на экзамене 5 с вероятностью 0.2, 4 с вероятностью 0.4, 3 с вероятностью 0.3 и 2 с вероятностью0.1. За время обучения он сдает 100 экзаменов. Найти пределы, в которых с вероятностью 0.95 лежит средний балл.Урожайность куста картофеля задается следующим распределением:Урожай в кгВероятность00.110.21.50.220.32.50.2На участке высажено 900 кустов.
В каких пределах с вероятностью 0.95 будет находиться урожай? Какое наименьшее число кустов нужно посадить, чтобы с вероятностью не менее 0.975 урожай был не менее тонны?109. Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока общая сумма очков не превысит 700. Оценить вероятность того,что для этого потребуется более 210 бросаний.Задачи по математической статистике~ построить эмпирическую функцию распределения, если1. По наблюдавшимся значениям выборки X~ = (2, 4, 0, 1, 2, 3, 0, 0); б) X~ = (0, 3, 4, 1, 0, 2, 0, 2); в) X~ = (2, 4, 2, 0, 1, 0, 4, 3, 0, 1, 0, 2, 3, 0, 2, 0).а) X2. Можно ли по эмпирической функции распределения восстановить выборку и вариационный ряд, еслиа) объем выборки известен; б) объем выборки неизвестен.3.
В терминах общей функции распределения элементов выборки найти функцию распределенияа) максисального члена вариационного ряда X(n) ;б) минимального члена вариационного ряда X(1) ;в) k-ой порядковой статистики X(k) .4. По выборке объема n из распределения Бернулли с параметром p построить график эмпирической функции распределения.5. Построить оценки неизвестных параметров по методу моментов для следующих распределений: а) Bp , 0 < p < 1;б) Bm,p , 0 < p < 1, m — известно; в) Πλ , λ > 0; г) Gp , 0 < p < 1; д) U [0, θ], θ > 0;е) U [θ − 1, θ + 1], −∞ < θ < ∞; ж) U [−θ, θ], θ > 0; з) Eα , α > 0; и) Nα,1 , −∞ < α < ∞; к) N0,σ2 , σ 2 > 0;л) Nα,σ2 , −∞ < α < ∞, σ 2 > 0; м) U [a, b], −∞ < a < b < ∞.Исследовать полученные оценки на несмещенность (если возможно) и состоятельность.6.
Построить оценки максимального правдоподобия неизвестных параметров для следующих распределений: а) Bp ,0 < p < 1; б) Πλ , λ > 0; в) Bm,p , 0 < p < 1; г) U [0, θ], θ > 0; д) U [−θ, θ], θ > 0; е) U [−θ, 0], θ > 0; ж) U [θ, θ + 1],−∞ < θ < ∞; з) Eα , α > 0; и) Nα,1 , −∞ < α < ∞; к) N0,σ2 , σ 2 > 0.Исследовать полученные оценки на несмещенность и состоятельность.7. Построить оценку метода моментов и оценку максимального правдоподобия параметра θ, если распределение выборки имеет плотность fθ (y) = 2y/θ2 при y ∈ [0, θ], θ > 0.8.
Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из смещённого показательного распределения с плотностью½ β−yeпри y > β,fβ (y) =0при y < β.Для параметра β ∈ R построить а) оценку по методу моментов; б) оценку максимального правдоподобия. Исследовать полученные оценки на несмещенность и состоятельность.729. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из некоторого распределения с конечной дисперсией. Доказать, что оценка S =Xn−1222= n(Xi − X) является состоятельной для параметра σ = DX1 . Является ли S несмещённой оценкойi=1дисперсии σ 2 ? Построить оценку, являющуюся одновременно состоятельной и несмещённой оценкой параметра σ 2 .10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
