1625914114-96fa42e16a4a561c6afd6a82566ba843 (532701), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Доказать справедливость следующих равенств:а) P(A|B) = P(A);б) P(A|B) = P(A);в) P(A|B) = P(A).Пусть событие A состоит в том, что в семьеа) с двумя детьми;б) с тремя детьмине более одной девочки, а событие B состоит в том, в семье есть дети обоих полов. Считая вероятность рождениямальчика равной 1/2, проверить, являются ли события A и B независимыми.Пусть событие A не зависит от самого себя. Доказать, что тогда P(A) равно 0 или 1.Пусть e1 и e2 равны соответственно первым двум цифрам после запятой в задаче 22. Доказать, что события {e1 = 3}и {e2 = 5} независимы.Рассмотрим семью с двумя детьми. Пусть событие A состоит в том, что оба ребенка — мальчики, событие B состоитв том, что старший ребенок — мальчик, а событие C — по крайней мере один из детей является мальчиком. Найтиусловные вероятности P(A|B) и P(A|C).Из колоды карт (36 листов) последовательно вынуты две карты.
Найти:а) безусловную вероятность того, что вторая карта окажется тузом (неизвестно, какая карта была вынута первой);б) условную вероятность того, что вторая карта — туз, если первая карта оказалась тузом.Письмо находится в письменном столе с вероятностью p, причем с равной вероятностью оно может быть в любом извосьми ящиков стола. Мы просмотрели 7 ящиков и письма не нашли. Какова при этом вероятность, что письмо:а) находится в восьмом ящике; б) отсутствует в столе?Стрелок A поражает мишень с вероятностью 0.6, стрелок B — с вероятностью 0.5, стрелок C — с вероятностью 0.4.Стрелки дали залп по мишени.
Какова вероятность, что ровно две пули попали в цель?События A1 , . . . , An независимы, известны вероятности pi = P(Ai ), i = 1, . . . , n. Найти вероятность того, что:a) произойдет ровно одно из Ai ; б) не произойдет ни одно из Ai ; в) произойдет хотя бы одно из Ai .Электрическая цепь состоит из элементов Ak , соединенных по следующей схеме:A1а)-A4A235.36.37.38.39.A1-б)A3-A3A4-A2Вероятность выхода из строя элемента Ak равна pk . Предполагается, что элементы выходят из строя независимодруг от друга. Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток.Двое играют в игру, поочередно бросая монету.
Выигравшим считается тот, кто первым откроет герб. Найти вероятность того, что игра закончится на k-м бросании и вероятность выигрыша для игрока, начинающего игру, еслиа) монета симметричная; б) монета несимметричная.Семь раз бросается игральная кость. Какова вероятность того, чтоа) 4 раза выпадет число очков, кратное трем; б) не менее четырех раз выпадет число очков, кратное трем?Считая вероятность рождения мальчика равной 1/2, найти вероятность того, что в семье с десятью детьмиа) равное число мальчиков и девочек; б) число мальчиков не меньше 4 и не больше 7.Что вероятнее: выиграть у равносильного противникаа) 3 партии из 4 или 5 партий из 8; б) не менее 3 партий из 4 или не менее 5 партий из 8?Десять любителей подледного лова рыбы независимо друг от друга произвольным образом размещаются на льдуозера, имеющего форму круга радиуса 1 км.
Какова вероятность того, что не менее 5 рыбаков расположатся нарасстоянии более 200 м от берега?340. В шар радиуса R наудачу бросаются n точек. Найти вероятность того, что расстояние от центра шара до ближайшейточки будет не меньше a, где 0 < a < R.41.
Найти вероятность того, что k-й по порядку успех в серии последовательных испытаний Бернулли произойдет на l-миспытании.42. Найти вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p появятся m+l успехов, причемl успехов появятся в последних l испытаниях.43. При раздаче колоды в 52 карты четырем игрокам один из них три раза подряд не получал тузов.
Есть ли у негооснования жаловаться на «невезение»?44. Пусть в условиях задачи 32 известно, что две пули из трех попали в цель. Какова вероятность, что промахнулся C?45. Из n экзаменационных билетов m «счастливых». Студенты подходят за билетами один за другим. У кого большевероятность взять «счастливый» билет: у того, кто подошел первым, или у того, кто подошел вторым? Или у того,кто подошел k-ым (k ≤ n)?46.
Пусть имеется n одинаковых урн. Известно, что урна с номером i содержит Ni шаров, среди которых mi — белых.Наугад выбирается урна, а из нее вынимается шар. Какова вероятность, что вынут белый шар?47. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложены 2 вытянутых наудачу шара в урну, содержащую 4 белыхи 4 черных шара. Найти вероятность вынуть из второй урны белый шар.48. По каналу связи может быть передана одна из трех последовательностей букв: AAAA, BBBB, CCCC, причем делается это с вероятностями 0.3, 0.4 и 0.3 соответственно.
Известно, что действие шумов на приемное устройствоуменьшает вероятность правильного приема каждой из переданных букв до 0.6, а вероятность приема каждой переданной буквы за две другие равны 0.2 и 0.2. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найтивероятность того, что была передана последовательность AAAA, если на приемном устройстве получено ABCA.49. В ящике находится a новых и b игранных мячей.
Из ящика наугад выбирают два мяча и ими играют. После этого мячивозвращают в ящик. Затем из ящика снова берут наугад два мяча. Найти вероятность того, что они будут новыми.50. Из урны, в которой было m ≥ 3 белых шаров и n черных, потеряли один шар неизвестного цвета. Для того чтобыопределить состав шаров в урне, из нее наудачу были вынуты два шара. Найти вероятность того, что был потерянбелый шар, если известно, что вынутые шары оказались белыми.51.
Допустим, что вероятность попадания в цель при одном выстреле равна p, а вероятность поражения цели при kпопаданиях равна 1 − q k . Какова вероятность того, что цель поражена, если было произведено n выстрелов?52. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытымдефектом, второго — 10% и третьего — 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазинпоступило 30% телевизоров с первого завода, 20% — со второго и 50% — с третьего?k53. Некоторое насекомое с вероятностью λk! e−λ откладывает k яиц, где k = 0, 1, 2, . .
. , а число λ положительно. Вероятность развития потомка из яйца равна p. Какова вероятность того, что у насекомого будет ровно m потомков?54. В условиях задачи 53 у насекомого развилось 10 потомков. Какова вероятность, что при этом было отложено 20яиц?55. Известно, что 34% людей имеют первую группу крови, 37% — вторую, 21% — третью и 8% — четвертую. Больному с первой группой можно переливать только кровь первой группы, со второй — кровь первой и второй групп, стретьей — кровь первой и третьей групп, и человеку с четвертой группой можно переливать кровь любой группы.Какова вероятность, что произвольно взятому больному можно перелить кровь произвольно выбранного донора?56. Предположим, что 5% всех мужчин и 0.25% всех женщин — дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом.
Какова вероятность, что это мужчина? Считать, что мужчин и женщин одинаковое число.57. Игрок выигрывает очко, если при подбрасывании монеты выпадает герб, и проигрывает очко в противном случае.Построить график функции распределения суммарного выигрыша игрока после двух бросаний монеты.58. Построить график функции распределения числа испытаний Бернулли, производимых до появления первого успехавключительно.59. В партии из n деталей имеется k стандартных, k ≤ n. Наудачу отобраны m деталей. Найти таблицу распределениячисла стандартных деталей среди отобранных, еслиа) n = 10, k = 8, m = 2;б) n = 6, k = 4, m = 3.60. Вероятность того, что стрелок промахнется при одном выстреле, равна 0, 2. Стрелку выдают патроны до тех пор,пока он не промахнется. Найти таблицу распределения числа патронов, выданных стрелку.61.
После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы.Преподаватель прекращает задавать дополнительные вопросы, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос, равна 0, 9. Найти таблицу распределения числа вопросов, которые преподаватель задаст студенту.462. Плотность распределения случайной величины X задается формулой(Cy 2 , y ∈ [0, 1],fX (y) =0,y∈/ [0, 1].Найти постоянную C, функцию распределения случайной величины X и следующие вероятности: P(X < 1/2),P(X > 1/3), P(X ∈ [0, 1]), P(X ∈ [1/3, 1/2]), P(X ∈ [−2, 2]).63.
Случайная величина X задана функцией распределенияy ≤ 0,0, y ≤ 0,0,2a) FX (y) = y , 0 < y ≤ 1,б) FX (y) = sin y, 0 < y ≤ π/2,1, y > 1;1,y > π/2;Найти плотность распределения fX (y) случайной величины X.64. Какова вероятность того, что случайная величина принимает целочисленное значение, если известно, что она имеетнормальное распределение?65. Дискретное совместное распределение случайного вектора (X, Y ) задается таблицей:X\Y-1166.67.68.69.70.71.72.73.74.75.76.77.78.-17/241/801/121/611/85/24Найти а) одномерные законы распределения X и Y ; б) закон распределения X + Y ; в) закон распределения Y 2 .Случайная величина X имеет стандартное нормальное распределение. Найти функциираспределения и плотности случайных величин Y1 = |X|, Y2 = X 2 .Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [0,1]. Найти функции распределения и плотности случайных величин Y1 = − ln X, Y2 = 2X + 1.Случайная величина X имеет показательное распределение с параметром α.
Найти распределения случайных величин Y1 = [X] (целая часть X), Y2 = X − [X], Y3 = X 2 , Y4 = α−1 ln X.Точка бросается в треугольник с вершинами в точках (0, 0), (0, 1), (2, 0). Найти функции распределения и плотностидекартовых координат точки.n точек X1 , X2 , . . . , Xn независимо друг от друга бросаются на отрезок [a, b]. Найти функции распределения и плотности распределения случайных величин Y1 = mink≤n Xk (крайняя слева точка), Yn = maxk≤n Xk (крайняя справаточка), Yk (k-я по счету слева точка, k = 1, . . .
, n).Случайные величины X и Y независимы и имеют одно и то же дискретное распределение P(X = yk ) = P(Y = yk ) = pk ,k = 1, 2, . . .. Найти P(X = Y ).X и Y независимы, причем P(X = 0) = P(X = 1) = 1/2, а Y имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1].Найти функции распределения случайных величин X + Y и XY .Используя формулу свертки, найти плотность распределения суммы двух независимых случайных величин, имеющиха) нормальное распределение с параметрами α, σ 2 ; б) равномерное на отрезке [0,1] распределение.Доказать, что сумма независимых случайных величин, имеющих распределение Пуассона, вновь распределена позакону Пуассона.Случайные величины X и Y независимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
