1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Пусть К1 и Кэ корневые подпространства, отвечающие собственным значениям Л1 ф Лэ. Доказать, что Кэ инвариантно относительно ~1 = 1р — Л11, и ограничение ф1 на Кэ невырождено. 24.121. Доказать, что размерность корневого подпространства равна кратности соответствующего собственного значения как корня характеристического многочлена. 24.122. Доказать линейную независимость векторов жордановой цепочки. 24.123. Доказать, что начальные векторы жордановых цепочек, составляющих базис корневого подпространства, образуют базис соответствующего собственного подпространства. 24.124. Пусть размерность собственного подпространства, соответствукнцего характеристическому числу Л, меньше кратности Л. Каждый ли собственный вектор имеет присоединенный вектор? 8 84.
Собстпвенпые векторы и собсгнвенные значения 235 24.125. Найти базисы корневых подпространств линейного преобразования, заданного матрицей А; Ц Азт, 2) Ам, 3) Аз, 4) Азг, 5) А1981 6) Аззз,' 7) Азоз: 8) Аззд 24.126. Проверить, что линейное преобразование, заданное матрипей А, нильпотентно и найти для него жорданов базис и жорданову форму матрицы: Ц Аз; 2) Азз — 2Е; 3) Азз — оЕ; 4) Аззо: 5) Аззз, 6) Аззз+ Е; 7) А488, 8) А487, '9) А488.
24.127. Привести к жордановой форме матрипу: Ц Азб 2) Азо, '3) А4д', 4) Ааб 5) А198', 6) Аздд,' 7) А247~ 8) А248) 9) А2841 16) А273~ 1Ц А738~ 12) (р) Агзз', 13) Аззд', 14) А484', 15) (р) А488', 16) А48о', 17) А489', 18) А487 24.128. Приводятся ли к жордановой форме следующие матрицы линейных преобразований вещественного пространства? Найти их жорданову форму как матриц линейных преобразований комплексного пространства: Ц А48, 2) Аоз, 3) А44, 4) Азоз, 5) Азоз, 6) А447~ 7) А474. 24.129.
Привести к жордановой форме матрицу линейного преобразования комплексного арифметического пространства: Ц Азз, 2) А78, '3) Азо, '4) А98. 24.130. Вычислить значение следующих многочленов от матрицы 7о(Л): Ц (1 — Л)'"; 2) с™; 3) произвольный многочлен 7'(1). 24.131. Найти жорданову форму матрицы: Ц .79(Л); 2) 1„(Л) (гп натуральное); 3) 1„7(Л) (ЛфО). 24.132. Что можно сказать о матр7ще А порядка по если ее минимальный многочлен удовлетворяет следующему условию: Ц имеет все корни кратности 1: 2) с точностью до знака совпадает с характеристическим многочленом. 24.133.
Пусть 97~ = с для некоторого натурального числа т. Доказать, что жорданова форма матрицы до диагональна. Какие числа стоят на диагонали этой матрицы? 24.134. Найти жорданову форму линейного преобразования комплексного арифметического пространства с матрицсй: Ц А894, '2) Аздд, 3) Аоод, 4) Аозз, 5) Аорб 236 Гя. 9. Линейные оп4ооражепия и преооразоеания 6) А696', 7) А689', 8) А685', 9) А646, '10) Аааь 24.135.
Не находя жордановых базисов, установить жордановы формы матриц, зная, что их характеристические многочлены равны (1 — 1): 1) .~458+ Е; 2) .4460, '3) А469. 24.136. Проверить, что матрицы А991 и — Автз имеют одинаковые характеристические многочлены. Найти их минимальныс многочлены и жордановы формьь 24.137. Определить жорданову форму матр|лцы А по заданному характеристическому многочлсну р(1) = — (1+ 1) (1— — 2)9, зная, что Вя(А — 2Е) = 3, а Ня(А+ Е) = 4.
24.138. Найти экспоненту матрицы: 1) 1„(0); 2) А5'; 3) ~ 0 ~, аЕН. 24.139. Пусть линейные преобразования ео, ф персстановочны. Доказать, что: 1) ядро и множество значений одного из них инвариантны относительно другого; 2) собственные подпространства преобразования у инвариантны относительно ~. 24.140. Пусть Ле — собственное значение линейного преобразования ~р. 1) Доказать, что подпространства Еь = Кег(9о — Лог)~ (к = = 1, 2,...) инвариантны относительно ~р. 2) Показать, что Еь с Сыр Может ли включение быть строгим? 24.141.
Доказать, что: 1) любые два перестановочных линейных преобразования комплексного пространства имеют общий собственный вектор; 2) то же утверждение верно для вещественного пространства, если все характеристические числа преобразований вещественны. 21.142. Пусть 99 вырожденное линейное преобразование конечномерного линейного пространства. Доказать, что существует такое ее ) О., что для всех (е! < 86, преобразование у+ ге невырождено. 24.143. Доказать, что для любых двух линейных преобразований ~р, ф одного и того же линейного пространства характеристические многочлены преобразований ~рф и фр совпадают. з ев. Собственные векторы и собственные значения 237 24.144.
Пусть ~р, ф -- перестановочные линейные преобразования и-мерного пространства, причем р имеет п различных собственных значений. Доказать, что все собственные векторы преобразования со являются собственными и для ~, так что матрицы со и ф диагональны в общем для них базисе. 24.145. Пусть линейное преобразование со диагонализируемо и каждое его собственное подпространство инвариантно относительно линейного преобразования у1. Доказать, что рФ=Фр. 24.146.
Пусть Е = СЯ~Ео, где С', е".о ненулевые линейные полпространства в Е. 1) Пусть р проектирование пространства Е на Е' параллельно Ео, а й — некоторос линейное преобразование в С. Доказать, что ~рф = унр тогда и только тогда, когда подпространства Е' и Ео инвариантны относительно ф. 2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для отражения пространства Е в Е' параллельно Ео. 24.147.
Пустыр, ф — линейные преобразования и;мерного линейного пространства. Дано, что ~р" = О, с1ппКег~р = 1 и ~ф, р) = унр — уф = у. Доказать, что 1б имеет н собственных значений вида Л, Л вЂ” 1, ..., Л вЂ” (и — 1), где Л некоторое число. 24.148 (р). Пусть у и ф -- линейные преобразования пространства Е, причем ~р взаимно однозначно. Найдите такое е ) О, что для любого б Е ( — е, е) линейное преобразование ~р+ б7р взаимно однозначно. Глава 10 ЕВКЛИДОВЫ И згНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА В этой главе используются следующие основные понятия: склярное умножение, евклидова пространство, унитарное (зрмитово) пространство, длина (норма) вектора, угол между векторами, матрица Грома, ортогональная и ортопормарованпая системы векторов, ортопормироваппьгй базис, базис, биортогопальпый данл базису, ортогон льпое дополнение надпространства, ортогональн я проекция и ортогональная составляюьцая вектора., процесс оргпогопализации, сей-разложение матрииы, обеем к-мерного паралле: лепипеда, .угол между вектором и подпрострапством, угол между двумя подпростаранствами.
Операция евклидова скалярного умножения в вещественном линейном пространстве б ставит в соответствие каждой паре векторов х и у из б вещественное число, обозначаемое (х, у) таким образом, что для любых векторов х, у и г и чисел о и д выполнены следующие условия: 1) (х, у) = (у., х); 2) (ох+)1у, г) = о(х, г) + д(у, г); 3) (х, х) ) 0 для любых х ~ о. Операция унитарного скалярного умножения в комгпгексном линейном пространстве ь ставит в соответствие каждой паре векторов х и у из ь" комплексное число, обозначаемое (х, у) таким образом, что для любых векторов х, у и - и чисел о и д выполнены следующие условия: 1) (х, у) = (у, х); 2) (ох+ ру, г) = о(х, г) +)1(у, г); 3) (х, х) ) 0 для любых х ~ о. Вещественное (или комплексное) линейное пространство с введенной в нем операцией скалярного умножения называется евклидовым (или, соответственно, унитарным).
Мы обозначаем евклидовы пространства буквой б, а унитарные — И. Число (х, у) называется ск ярным произведением (при необходимости, с уто гнением: евклидовым или унитарным). В задачах этой главы часто используются следующие важные примеры евклидовых и унитарных пространств. Множество всех векторов пространства, изучаемого в элементарной геометрии.
Его мы будем называть геомепгрическим пространством. В и-мерном вещественном арифметическом пространстве Гоп стандартным скалярным произведением векторов х и у называется Гл. 10. Евклидовы и унитарные пространства 239 число (х, у) = х у = х1у1 +... + х,уп. т В п-мерном комплексном арифметическом пространстве С„ стандартным ск ллрним произведением векторов х и у называется число (х, у) = хту = х1у1 +...
+ х„у„. В линейном пространстве Е,вх„вещественных матриц размеров т х и с обычными операпиями сложения и умножения на вещественное число стандартпов евклидова скаллрпае произведение матриц Х = ~~хуь ~ и У = ~~У ь ~( опРеделЯетсЯ фоРмУлой Ш П (Х, У)=~;з х ауь. з=1ь=1 Это же число может быть записано и как ГгХтУ (см. задачу 25.4). Аналогично в пространстве комплексных матриц Сых„стандартное унитарное скаллркое про введение определяется формулой (Х, У) = ~~ ~~ х ау по з=~ ь.=~ или, что то же, (Х, У) =1гХтУ.
В пространстве вещественных многочленов от переменной 1, имеющих степень не вьппе фиксированного числа и, стандартное скалярное произведение определяется формулой (см, задачу 25.8, 1)): 1 (р Ч) = / р (1) й (1) д1' — 1 В евклидовом пространстве скалярное произведение выражается через координаты векторов в выбранном базисе еы ..., е„формулой т (х, У) = ~~ Умб,г1з = Е Гп, Ь1=1 где à — матрица из элементов д; = (е,, е ), называемая матрицей Грома базиса ем ..., е„. Для унитарного пространства соответствующая формула имеет аналогичный вид (х, у) = а Гз1.
Еищ Я вЂ” матрица перехода от базиса е к базису е', то матрицы Грама этих базисов связаны формулой Г' = ЯтГЯ для евклидова пространства, и Г' = Я~ГЯ вЂ” для унитарного. Как в евклидовом, так и в унитарном пространстве длиной вектора, а также евклидовой (упитарной) нарлгой называется число ~х = х/(х, х). Вектор длины 1 называется нормированным вектором.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
