1625913085-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (532416), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Доказать, что при любом о каждое подпространство, содержащее 1пг(~р+ си), инвариантно относительно ~р. Собензвенные венпоры и еобепавенные значения 229 24.85. Доказать утверждения: 1) Если линейное преобразование и-мерного линейного пространства имеет собственный вектор, то для него существует и (и — 1)-мерное инвариантное подпространство. 2) Пусть А " матрица линейного преобразования ез в некотором базисе е, Л .
собственное значение и строка а определена уравнением а(А — ЛЕ) = о. Тогда уравнение ас = 0 в базисе е определяет (п — 1)-мерное подпространство,инвариантное относительно преобразования у. Справедливо ли обратное утверждение? 3) Всякое и-мерное инвариантное подпространство линейного преобразования комплексного пространства содержит (Й вЂ” 1)-мерное инвариантное подпространство. 24.86. Линейное преобразование ~р арифметического пространства К„в стандартном базисе еп ..., е„задано матрицей А.
Найти подпространства, инвариантные относительно у, если; 1) А=Азв; 5) А = Аео4; 24.87. Найти (и — 1)-мерные подпространства в Е„, инвариантные относительно линейного преобразования, заданного своей матрицей А, если: 1) А=А24; 2) А=Аз в З) А=Авва; 4) А=А 5) А = А4вт; 6) А = А44т; 7) А = Аз4в', 8) А = Ав4о. 24.88.
1) Пусть Л = ее+ гЗ (р у'= 0) —. характеристическое число вещественной матрицы А порядка и, 1= х+1у -- собственный вектор линейного преобразования пространства С„с матрицей А (х, у вещественные векторы). Доказать, что х и у образуют базис двумерного инвариантного подпространства линейного преобразования пространства Я.„, заданного матрицей А. 2) Найти двумерные инвариантные подпространства ь" для линейного преобразования пространства Л.4, заданного в стандартном базисе матрицей А474. 24.89. Пусть д линейное преобразование вещественного линейного пространства, Л, Л вЂ” пара его комплексно сопряженных характеристических чисел, р= — (Л+Л) и д = ЛЛ.
Доказать, что квазисобственное подпространство Кег(~рв + рр+ де) ненулевое и инвариантно относительно ~р. 230 Гл. й. Линейные огаображеаия и преобразования 24.90. Найти квазисобственные подпространства преобра- зования у, заданного матрицей А 1 0 — 1 2 0 1 — 2 — 1 — 1 2 1 0 — 2 1 0 1 0 1 2 — 10 — 2; 2)А= — 2 2 0 1) А= 0 1 2 — 2 — 1 0 2 2 — 2 — 2 0 — 1 2 — 2 1 0 4) А42з; 5) А4ы. 3) А= 24.91. Доказать, что квазисобственное подпространство не содержит собственных векторов, и через каждый его вектор проходит двумерное инвариантное подпространство.
24.92. Доказать, что размерность квазисобственного подпространства четное число. 24.93. Доказать, что квазисобственное подпространство можно разложить в прямую сумму двумерных инвариантных подпространств. 24.94. Доказать,что размерность квазисобственного пространства не превосходит удвоенной кратности соответствующего характеристического числа. 24.95. Доказать, что в двумерном инвариантном подпространстве преобразования р, не содержащем собственных векторов, можно выбрать базис так, что матрица ограничения у будет иметь вид о 11 24.96.
Доказать, что любое двумерное инвариантное подпространство, не содержащее собственных векторов, лежит в некотором квазисобственном подпространстве. 24.97. Доказать, что любые два квазисобственные подпространства имеют нулевое пересечение. 24.98. Доказать, что собственные и квазисобственные подпространства линейного преобразования расположены так, что сумма их — прямая сумма. 24.99. Для каждого из преобразований задачи 24.90 найти матрипу перехода к такому базису, в котором его матрица клеточно диагональная, и найти матрицу преобразования в этом базисе.
1В каждом случае найти хотя бы одно решение.) 24.100. 1) Пусть линейное преобразование р и-мерного линейного пространства Е обладает цепочкой вложенных друг З е4. Собетпветстсые вентпоры и еобетпвентсые зтсвчетсия 231 в друга попарно различных инвариантных подпространств: Ет с Ез с...
с Еп = Е. Доказать, что в Е существует базис, в котором матрица преобразования тр верхняя треугольная. 2) Пусть в базисе ет, ..., е„матрица линейного преобразования со пространства Е верхняя треугольная. Доказать, что подпространства Еь = Е(ет, ...,еь'т (Й = 1, ..., и) инвариантны относительно тр и Еь С Еь4т (й = 1, ..., п — 1). 24.101. Линейное преобразование пространства тсз задано матрицей А в стандартном базисе. Привести матритту преобразования к треугольному виду, если; 1) А = Аз4с; 2) А = Аззз; 3) А = Аззз, '4) А = Азвз.
24.102. 1) Пусть Ет С Ез С ... С Е, = Е цепочка подпространств линейного пространства Е, инвариантных относительно линейного преобразования тр, т11шЕс = ~с (нт < нз < ... ... < п, = ~). Допустим, что базис еы ..., е„выбран так, что векторы ет, ..., етн принадлежат .Сс (с = 1, ..., г), Показать, что матрица А~ — верхняя блочно треугольная с диагональными блоками размеров йс х Ц, где Щ = и, — и, т (с = 2, ..., г), йс =нс. 2) Пусть в некотором базисе матрица линейного преобразования верхняя блочно треугольная.
Доказать, что преобразование обладает цепочкой инвариантных подпространств. Выразить их размерности через порядки диагональных блоков. 24.103. Пусть Š— линейное пространство бесконечно дифференцируемых функций 1 (т) (е Е К), п целое неотрицательное число, Л -- фиксированное действительное число. Доказать, что данное множество функций образует подпространство в Е, инвариантное относительно дифференцироваетия Р: 1) множество всех многочленов; 2) множество всех многочленов степени не вылив и; 3) множество всех тригонометрических многочленов порядка не выше и; 4) множество всех линейных комбинаций функций ел", ...
л„с. 5) множество всех функций Г" (1) = елср(1), где р(1) произвольный многочлен; 6) множество всех функций 1 (1) = е 'Т(с), где Т(с) произвольный тригонометрический многочлен; 232 Гли У. Линейные огпобрахсепия и преобразования 7) множество всех функций р(г) сов~, р(г) яппи, где р(г) произвольный многочлсн. 24.104. Пусть Е линейное пространство функций задачи 24.103, ~р =.0~. Доказать, что данное множсство функций является подпространством в Е, инвариантным относительно преобразования у. Найти собственныс значения и собственные векторы ограничения преобразования на этом подпространстве: 1) множество всех четных многочленов степени не выше 2п; 2) множество всех нечетных многочлснов степени не выше 2п+1; 3) множество всех четных тригонометрических многочленов ао+ а~ сов1+...
+ а„совп$:, 4) множество всех нечетных тригонометрических много- членов Ь~ япЬ+... + Ьпяппй. 24.105. Найти все подпространства линейного пространства всех многочленов, инвариантные относительно дифференцирования. 24.106. Показать, что линейное преобразование пространства всех многочленов, состоящее в умножении многочленов на 1, не имеет ни собственных векторов, ни инвариантных подпространств (кроме нулевого подпространства и всего пространства) . 24.107.
Найти подпространства, инвариантные относительно операции взятия остатка (см. задачу 24.31) в пространстве всех многочленов. 24.108. Пусть ~о .- линейное преобразование пространства многочлснов р(х, у), определенное в задаче 24.61. Доказать, что подпространства однородных многочленов степени и, (и = = О, 1, ...) инвариантны относительно преобразования ~р. 24.109. Найти надпространства линейного пространства матриц порядка п, инвариантные относительно транспонирования. 24.110.
В пространстве Л.„х„ рассматривается преобразование у (Х) = АХ, где А — фиксированная матрица. Доказать, что Е„х„является прямой суммой и подпространств, инвариантных относительно ~р. 24.111. В пространстве Е„х„рассматривается преобразование ~р(Х) = АХ вЂ” ХА, где А .— фиксированная матрица. До- ~ е4. Собетпветтттые вентпоры и еобсптвенттые зттачеттия 233 казать, что данное множество образует инвариантное относительно р подпространство: Ц множество всех матриц с нулевым следом; 2) множество всех верхних треугольных матриц (если матрица А верхняя треугольная); 3) множество всех кососимметрических матриц (если матрица А кососимметрическая); 4) множество всех диагональных матриц (если матрица А диагональная) . 24.112.
Линейное преобразование тр пространства Я.„,„ вещественных матриц порядка п определено формулой д (Х) = = АгХ+ХА, где А фиксированная матрица. 1) Доказать, что кососимметрические матрицы образуют подпространство в Я.„н„, инвариантное относительно преобразования у; 2) выразить характеристические числа ограничения тр на атом подпространстве через характеристические числа матрицы А. 24.113. Линейное преобразование пространства матриц порядка н определено формулой ~р(Х) = А ~ХА, где А невырожденная матрица. Доказать, что данное множество матриц является подпространством, инвариантным относительно преобразования д: 1) множество всех матриц с нулевым следом: 2) множество всех скалярных матриц; 3) множество всех верхних треугольных матриц (если матрица А верхняя треугольная); 4) а) множество всех сиътметрических матриц: б) множество всех кососимметрических матриц (если матрица А ортогональная); 5) а) множет:тво всех зрмитовых матриц; б) множество всех косоэрмитовых матриц (если А унитарная матрица н если зти множества подпространства 2п~-мерного вещественного пространства комплексных матриц порядка и).
24.114. Линейное преобразование тр комплексного пространства матриц второго порядка задано формулой ~р(Х) = = А 'ХА, где А = Атт, ет вещественное число. Найти собственные значения и собственные векторы ограничения преобразования тр на подпространстве; 1) симметрических матриц; 2) матриц с нулевым следом. 234 Гл. й. Линейные ви1вбражеыил и преобразования .еКорданова форма матрицы (24.115 — 24.138) 24.115. Привести пример матрицы порядка п > 1, имеющей характеристическое число Л кратности й, 1 ( й < п, и собственное подпространство размерности т.
Сколько жордановых клеток отвечает этому Л, и чему равна сумма порядков этих клеток? 24.116. Проверить прямым вычислением терему Гамильтона Кэли для данной матрицы и определить ее минимальный МНОГО 1ЛЕН: 1) Азт, .2) Аза, .3) Аээ,. 4) Ааэ,. 5) Ава; 6) Аэээ; 7) Аэээ; 8) Аээв. 24.117. Может ли минимальный многочлен матрицы порядка п 1) быть многочленом первой степени; 2) иметь вид (1 — Л)". Привести примеры. 24.118. 1) Показать, что собственный вектор является корневым. Чему равна высота собственного вектора? 2) Доказать, что матрица, линейного преобразования тогда и только тогда диагонализуема, когда высота каждого корневого вектора равна 1. 24.119. Доказать, что корневые векторы, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы. 24.120.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
