1625914689-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (532400), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.1.2. Решение статических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.1.3. Решение динамических уравнений методом разложения решения поформам собственных колебаний . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.1.4. Прямое пошаговое интегрирование уравнений движения . . . . . . . . . . . . . 1226.1.4.1. Пошаговое интегрирование уравнений движения по явнойконечно-разностной схеме . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.1.4.2. Пошаговое интегрирование уравнений движения по неявнойсхеме Ньюмарка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.2. Применение метода конечных элементов к решению задач теории пластичности . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.2.1. Пространственная дискретизация уравнений квазистатического/динамического движения упругопластических тел .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.2.2. Решение задач квазистатического деформирования упругопластических тел пошаговым интегрированием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.2.3. Решение задач динамического деформирования упругопластическихтел пошаговым интегрированием .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.2.4. Определение напряжений в процессе пошагового интегрирования уравнений движения упругопластических тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.3. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137Заключение138Литература139Предметный указатель140ВведениеВсякое тело, будучи подвергнуто воздействию внешних сил, изменяет свою формуи, будучи освобождено от действия этих сил, восстанавливает ее полностью или частично. Если после освобождения от действия внешних сил первоначальная форма полностьювосстанавливается, материал тела называем упругим. В противном случае материал теланазываем неупругим. В классе неупругих материалов выделим материалы, механическиесвойства которых не зависят от естественного времени (для этих материалов исключается явление вязкости и ползучести).
Такие материалы называем пластическими. Если принеупругом деформировании тела в общей деформации учитывается упругая составляющая, то такие материалы тела называются упругопластическими; если упругая составляющая в общей деформации не учитывается, то такие материалы называются жесткопластическими. Главным предметом теории пластичности первой половины XX в. являлисьпостановка и развитие методов решения задач деформирования жесткопластических тел.Однако, начиная со второй половины XX в. вплоть до настоящего времени, интересы теории пластичности перместились в сторону изучения особенностей деформирования тел изупругопластических материалов.
Главным предметом настоящего пособия является изложение основ деформирования тел из пластических материалов, однако для полнотыизложения материала мы добавили и необходимые сведения из курса линейной теорииупругости.Рассмотрим простейший случай нагружения твердого тела – стержень постоянногосечения, один конец которого закреплен, а ко второму приложена сила, действующаявдоль оси стержня (рис. 1).Пусть F – площадь поперечного сечения стержня, l0 – начальная длина, P – приложенная сила, l – длина, которую стержень приобрел под действием этой силы. Относительное удлинение (или относительную деформацию) ε стержня и напряжение σ,являющееся удельной мерой приложенной нагрузки, определим следующим образом:ε=sslimspsyl − l0,l0σ=P.Fгвбll0аPeРис. 1. Условная диаграмма растяжения: а) упругое деформирование, б ) площадка текучести,в) упрочнение, г) разупрочнение (образование шейки)78ВведениеНапряжение σ, вычисляемое по начальному значению площади F , называют условным напряжением, а график зависимости, связывающей напряжение и относительнуюдеформацию, – условной диаграммой растяжения.
Для металлов она в самом общем случае имеет вид, представленный на рис. 1. Здесь участок а соответствует упругому деформированию материала, для которого зависимость между напряжением и деформациейвыражается линейной зависимостью, выражаемой законом Гука:σ = Eε.Величину E называют модулем Юнга, или модулем упругости материала. Следующийза участком упругого деформирования пик, отсутствующий у многих материалов, называется зубом текучести. Его появление вызвано некоторым скачкообразным изменением протекающих при деформировании внутренних процессов, после которого становитсявозможным пластическое, т. е.
необратимое деформирование материала. Напряжение σp ,соответствующее окончанию этого участка, называют пределом пропорциональности, илипределом текучести материала.Участок б, на котором поведение твердого тела сходно с поведением жидкости (ненужен прирост действующей силы для продолжения деформирования), называют площадкой текучести. По мере деформирования в таком режиме в материале накапливаются некоторые изменения, которые, достигнув определенной величины, обуславливаютпереход материала в следующее состояние. Соответствующее этому участку напряжениеσy называют нижним (или физическим) пределом текучести. Если ни зуба текучести,ни выраженной площадки текучести не наблюдается, для отделения участка упругого деформирования от участка пластического деформирования используют технический предел текучести σy = σ0,2 , где σ0,2 – напряжение, соответствующее 0,2 % пластическойдеформации.Участок в соответствует пластическому деформированию с упрочнением материала,при котором деформирование необратимо, однако для его продолжения необходимо постоянное увеличение приложенной силы.
Окончание этого участка соответствует максимальному напряжению, которое может выдержать материал, – временному пределу прочностиσlim .Участок г, иногда называемый участком разупрочнения материала, возникает в результате локализации пластической деформации в некоторой области стержня, сопровождающейся образованием шейки, т. е. местным уменьшением поперечного сечения стержня.В области локализации деформации в итоге происходит разрушение.В зависимости от используемого материала и условий нагружения (скорости растяжения или прироста силы, температуры, окружающей среды) эта диаграмма можетизменяться.
Она может быть линейной, если материал хрупкий; может не иметь зуба,площадки текучести или ярко выраженной линейно-упругой части, а в некоторых случаях после завершения процесса упругого деформирования может сразу наступить стадияразупрочнения, вызванная не образованием шейки, а другими особенностями распространения пластического деформирования.Причиной всего этого являются процессы, происходящие в материале на различныхмасштабных уровнях: от микроструктуры до межатомного взаимодействия.Глава 1Физические основы пластическогодеформирования твердого тела1.1.1.1.1.КристаллыПарные взаимодействия атомовВсякое тело состоит из атомов, и в качестве самого простого тела можно рассмотретьдвухатомную молекулу – пару атомов, взаимодействие между которыми имеет электростатическую природу и определяется потенциальной энергией атомной связи U (r), зависящей от расстояния r между атомами.
Зависимость U (r) (рис. 1.1, а) характеризуетсяположением равновесия r0 и глубиной потенциальной ямы U0 и может быть описана потенциалом Морзе:[]2U (r) = U0 1 − e−a(r−r0 ) ,(1.1)или Леннарда – Джонса:][( )σ 12 ( σ )6−U (r) = 4U0,rr(1.2)где a – заданный параметр, σ – расстояние между атомами, такое, что U (σ) = 0.
В отсутствие внешних сил расстояние между атомами равно r0 (для потенциала Морзе этотпараметрзадается, а для потенциала Леннарда – Джонса вычисляется из выражения√6r0 = σ 2). При сжатии атомной пары возникают короткодействующие межатомныесилы отталкивания, при растяжении – дальнодействующие межатомные силы притяжения, возвращающие пару в прежнее состояние после исчезновения внешних сил.абF(r)U(r)s0U0 0r0r000rrРис. 1.1.
Типичная зависимость потенциальной энергии и силы ковалентного взаимодействияатомов некоторой атомной пары: а) потенциальная энергия U межатомной связи; б ) сила Fмежатомного взаимодействия910Глава 1. Физические основы пластического деформирования твердого телаабвгРис. 1.2. Основные типы ячейки металлической кристаллической решетки: а) простая кубическая, б ) кубическая объемно-центрированная, в) кубическая гранецентрированная, г) гексагональная плотноупакованнаяавбРис.
1.3. Идеальный кристалл (а) и его разрушение в результате растяжения (б ) и сдвига (в)1.1.2.Кристаллические решеткиПри большом количестве атомов из них образуются упорядоченные периодическиепространственные структуры – кристаллы, строение которых зависит от особенностейпарного взаимодействия составляющих их атомов. Геометрические структуры, используемые для описания кристаллов, называют кристаллическими решетками, ячейки которыхможно разделить на основные типы, из которых для металлов наиболее характерны четыре типа решеток (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
