tfkp (527930), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Й, то сушествуют обшие точки, в которых сх днтся и правильная часть, и гневная часть ряда Ло ана. Это н будет кольпо сходимостн ряд Л рана Ък )а "1Ц < Пример: определить область сходнмости данного ряда Лорана Ы", ~ (~-а+я" „.,,и"-11' ~й-2»1.)" 1) Исследуем на сходнмость правильную част, ряда Лорана Ь-2+ь)" . Для етого составим ряд нз модулей и приме ве й ним радикальный признак Коши При ~ Ь-2 +Ц кЪ ряд сходится.
Областью сходимости правигц ной части рида Лорана является круг с пентром в точка а-~ н радиусом 2. 2) Исследуем на сходимость главную часть ряда Лорана Я ~)в , Для ~того составим ряд из модулей и при „,„2" пз(й-2+0 мейим признак Даламбера ~в.1,З, 1~ о,,,1 2 (» амтв-2*я"' П7-ь»»» При М-2+ Ц т 05 ряд у сходится. Главная часть ряда Лорана сходится вне круга радиуса 0,5 с пентрсм в точхе к-». 3) Возьмем пересечение ,Х областей сходнмостн правильной и главной частей ряда Лорана> получим хольпо 35» ~Ь-2 Ц с2, в тором сходится данный ряд Лорана (рис 421. Кон ольн ание М 13 Определить область сходнмости слепуюшнх рядов Лорана; ' „., Мй-1-ь) ...
3" дГ * ° '+1 Зщ1щщй ца йщй Нсследовать на сходимййть числовые ряды е, ~в Определить области сходимости даяных рядов и нсслвдоввтв их поведение в тсчкех ~- ~а+~'~в~й ~, и вэе 1й ЗТ. „° Ь, 1. Ь е~-З' ° а Ц-ЗЬ. +Ьь „., (у7-Зь)" Н, ЗЗ. T „~; Ь„ЯО; Х,л1+3Ь; Ьй з — ~~.3~ '~; 4" м й) Ойоеделить облет. сходимости рядов Н йй. ) ~+-Щ" + Ц~ " )" ., $.) „,,6 х ~ Ъ Ь» ° е, в .-- — '' ).„„~~,;~ ЗАНЯТИЕ 6. Разложение функлий в ряды Тейлоре и Лорана 1. Теорема. Функпия Щ анелатичнея в области Р длн шобой точки Ю из онлести в круге 1л-0.~ СЧ., леликом лежашем в облас'ги Э, представляется в виде суммы сходишегося степенного ряда ® Я с„ф-а)", ,вае коэффиниенты которого вычисляются по формуле с„.
~'"~Ю ~,~~ЙЙ л 111,2й'~ ~ Р 0)л~» > гъ где 11 - 0,1,2,... Ряд квзывается рядом Тейлора. 2. Теореме. Функпня ®, внапктнчная в кольни (.с ~Ь-асс К ляется в етом колене рядом Лорана (рис. 43) ~(3)=~; С" +ЯЕ„(~- )" ем ае 1 .(. ИМь Сч.' С,=~3: ~3,-а!- (.') ъаъ~а'. Р .43 3, Основные елементарнме функпии комплексного переменного представлятотся след кнпими радамер 33 3„а при 04М 4О (27) еаФ при Оа )Е(< сс (23) 046 С (3) пр 04!й14 ' (30) ри 0 ~ф ( (31) 3.— ~Ь ао р 341И 4 1 (34) Это бесконечная геометрическая прогрессия с комплекснымн членаь ~. 4.
Определения: Фе ( а ЭН4 2. 8ЫЬв~ гйт( . а „~» яа 3, СО3% и ~„ (Д(ч), в. ейск* ~,'+~т ,. ~.~.Е,~ ~ г л-1 7. Ь~~(еЬ) = Я О () при () В(д(4 1 (33) а ~ 1) Т к И, для фущащи»а»э ЗФ) называатся Особой точ- кой, если э этой точке нарущаэтск аяалитичность фупхпни. 2) Особая точка йэ длв функпни Ч4эф~) пазывавтся кео- аароеапной оообой точкой, ас»щ сущеотиует лекотсрап окрест- ность атой точки, э которой фупкккя аяелктячиа всюду, кроме точки %э» 6. Правило плк .ъазлсжевкэ фупкцви ~(х) в ряд по степе- ням ("ь-й). 1) Найдем все кзолироваянью особью точки дли данной функиии. Это тсчзи, в которых лабо фупкнкк вэ существует, либо не сущэствуют эе прокзводнвн, 2) На чартаиэ отметим псаучэнвые оссбыв точки (Нап)щ ьюр У,», $ь ! н точку Вэй . Так как рази»ькещ»а в ркд берет (йВ),, „а б р ру 3) Выдь щм облав»я.ащаитачности данной фупквии.
Дли этцго щаюадем окружности с вептром в ".очке 11 черве все найденные особыв точки, Если таких точ»щ пвз х» к аь» причем ~й» 01 Ц ~$ -(),'1 «К» к )(»4(»ч ° то вспучим три сбл»к»ти ака»п»тично- сти папкой фунюш )а-Щ ~ 11» круг1 П а»С ~М-МСйг щ Кк< ~Ь-44о»ь - колено, спкь окружиосчв которо»о иье- ев бес»ю»ю ю бо»какой радиуо Если точка Ъэ(1 аэляетси точпой авалвтичвос»и данной фуикпик, то в области 1 функэиа раскладывается э рвд Тейлора, а во П к щ р ряды Лорана., Еслк точка Ь(1 - оссбав точка дли данной фукккви, то эо всех трах областях фуккпия раскдады- эаэтса в ряды Лорана. 4) Найдем раз»яэкенвк в ркд данной функник в квжд»ьй из областей, Пркыарьп 1. Фуккяюо $ф)к -й-~ раеасжвтэ в ряд по с»епеняы Ф-1).
% +3%+2 1) йлк кажи»денни особых точек разложим знаменатель на »япюйвыа мжлкителк, э»»* — Л вЂ” . Ъ»+ Ь%+Й 5+4%+25 Особымк точкамк будут й»э-1, Цьэ-й, так вак в этих точ- ках нз сук»ествуе» фуккпия. 2) Построим ва комплэкской плоскости точки Ь» "- - 1 и Ь.„-2 в у %эаэ(, 3) Прсвэяем пэе окружности с нантром в точке к~» к че- рез особые точки й4а-1 н йкэ-Л а =1(-Н)~-й; Я,=1(-(-Х)!аЗ.
Получим три облаотя (рнс. 44): ! й-(1кг; П й л ( й-() с$~ Ш ЗС)~-Цсо . 4) Для раеиоженгж данной Ф~нклнн в ряд прадогавнм данну~о функлню в вада суммы простыл дробей Рнс 44' (й+1 9+й) й+4 р,а ' ~агклуго проба Раэгкякнм г Ряд, яснолвзуя раэггоженн» (34) слв дующим образом„' гва ааа Полученный ряд скопятся в облавна ~ ~<,( (й-([с.Д т.а, в области 1. ' Получим раэгяиканне атой дроби в лруънх обпастяк, дгщ а к в знаменателе вынесем эа скобку выраженве й - ( Полученный дйд скддятйк в облаоти ~- к 4~ 41 нля )Е-г( ~Л > т.а, в обввстяк П н Ш. Аналсгнчнс 'Разлапы в Ркд атЧФФ> дробя ряд схоггнтггн й Фгнкжи1--аа'-~4( нкн М 443 * ™ в — 1 з Ипн г— .г Л г ' Гг-гКг Ъ) г ~ Ы г-г ) й а аг~ Ряд скоддтс.ю в облаотн ~- — Ь,( Ялн гй «!УЗ г ™ в в обпастя Ш. 1 й-4( $Ю" Й ~~а то найдем раэ«ости полученных радов в соответствуюп~их областях. Получим в областя 1 )в=К'9Ф--)."")Ф-"=).И~->"(ф —,') «« Ваф «е э области П ~ ~-6" 2" ~ ~ч~~ ле (~" эээ в областк щ «е В области 1 жэем ряд Тейлора, в областях П и Ш- рады лорана, 2.
Разложить в ряд по степенны Й Функлню ~(в) = -~— (рассматряваетсн та ветвь многозначной функпии которан вэ вещественной оси на плоскости И принвмает вепественнсе зна- чение). 1) Особымн точкамн функпии являются И~лО, так как ь этой точка не супюствуэт функпин Ьь -с«, ~з (+ Сй йлэ (- Ь43, ТОЧКИ КЬ ~З Ьц ' Найдеим НЗ урааиэиня с=+8э0 . В этих точках ие супыствует проиаводнаи. 2) По троим окружность с пентром в точка й«О (тэк как разложение находнтсн по степеням Е ) и радиусом 2 (так как ~0-(.2)~ ээ' ). На этой охружности бупут лежать о1:обые тсч ки Ек, Ьь, Ь|, так как мслуж у всех этих точек одинакав и равен 2.
3) Эта окружность делит всю комплексную плоскость на двэ области". область 1, Ос')к) 'Й - круг с выколотым нентром (хо~иле, у которого внутреннян окружносль имеет радиус равный нулю, а внешняи - 2); область П Дул - кольна, у которого радиус внешней окружности бесконечен. И полученных кольпах данная функиня аналитична и, следовательно, раскладывается в ряд Лорана (рис.
46). 4) найдем этн разложения, используя фо«рмулу (32). так как ета формула дает раэлс«кение функпин (~тЦ, то заданную фу киню нужно тождественно преобразовать с учетом того, чтобы в записи ее поавиласп* единипа. Йля этого вынесем из пай 3) Разложим з ряд у(3), используя разложеюю (27).
Выделим 3+2 в зыражении функляи. Получим ~юв Пбдученков разложение - единственное. К з 1. Разложить фуяклию ® з —— а+( ням Е (. яям 3+ у нм 2 Разложить функпкю ~ф)- Рб~.~)))ю з ряд по степан рнд по степв- 3ацд336дй.дай Ж42. Разложить фукклию ~И з $7 Й~Ъ з ряд а %43. Разчожнть фунюлпо ф9~ %'ЙФ з ряд )и 44. Разложить функлкю „'Йа)з фс)1 Ф " рлд 4 %46. Раз.злить функлию®а ЙЧЙ~ 3 и рнд з области ( С )з 3) '~(). 1Й46. Разложить функюпо тф)~.р~~ в ряд з окрестности точки Е,(. ло степеням %-2 ло степеням Ж' 3АНЯТИВ 7.
Особыв точки, класси)икании. Вычеты, вычисление интегралов Изолврозенные особыв точки могут быть трех типов: 1) устранкмью особые точки) 2) лолюсьц 3) сулюстяеино особые точки. Их тяп мажет быть олределвк. исходя нз поведения леннон функлни з найденной особ.й точке, а также из вида ряда Лорана~ полученного для данной фуикили з окрестности найденной собой точил (см.табл.1), те Классн31нп3аы3п нзолнрованнь3ь особых точен Раз3П3женпа в рнд в охрестностп данной особой й.а Ь ф=с,рм 1ь)=Š—, Раз3нхкенпе в рпп уф) 1, йча устра3п3 мал Особап тОчпа Ьп ф й,йа ПО3ЛОС ~9)= Я Св (й-О)" ~®ЬЯС.И" з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
