1304252003_921 (522786), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Смотри (пар. 1.5 на стр. 34)Теорема 1 (Ньютона-Лейбница).f : Z → W,Γ ∈ Z,f ∈ DC(Z) ≡ O(Z),F (z) – первообразная f (z) на ZZzk zkТогдаf (z) dz = F (z)z0z0Доказательство.z0 = x0 + i y0zk = xk + i ykf (z) = U (x, y) + i V (x, y),(xZk , yk )ZzkU (x, y) dx − V (x, y) dy +f (z) dz =z0(xZk , yk )(x0 , y0 )V (x, y) dx + U (x, y) dy $(x0 , y0 )U (x, y) dx − V (x, y) dy = d U1 (x, y)т.к.V (x, y) dx + U (x, y) dy = d U2 (x, y)3536Глава 2. Основные свойства аналитических функций∂U ∂U∂V∂U∂(−V )∂V=;=−⇒=− условия полного дифференциала.∂y∂x ∂y∂x∂y∂x(xZk , yk )(xZk , yk )d U1 (x, y) + i$(x0 , y0 )(xk , yk ) zkd U2 (x, y) = U1 (x, y)+i U2 (x, y)= U(z)(x0 , y0 )z0(x0 , y0 )Докажем, что U (z) = U1 (x, y) + i U2 (x, y) – первообразная f (z).U0 (z) =2.2∂U1∂U1−i= U (x, y) − i (−V (x, y)) = U (x, y) + i V (x, y) = f (z) ⇒∂x∂y⇒ U(z) = F (z) − первообразнаяОсновная теорема КошиОпределение 1 (Простой и составной контур на комплекснойплоскости).

Γ – простой контур :⇔ Γ – связное множество, замкнутаякривая без самопересечений.γ(t) : [t1 , t2 ] 7→ Γ, γ(t1 ) = γ(t2 ), ∀t3 , t4 ∈ (t1 , t2 ), γ(t3 ) 6= γ(t4 )Γ – положительно ориентированный контур :⇔ при обходе областиZ по границе Γ , область остается слева (против часовой стрелки).Γ – составной контур :⇔ Γ = Γ1 ∪ Γ2 ∪· · · ∪ Γm – объединение простых контуровΓ1 , Γ2 , ..., Γm ; Γ – не является связныммножеством и ограничивает многосвязноемножество Z.Внешний контур ориентирован противчасовой стрелки. Внутренний контурориентирован по часовой стрелке.Теорема 1 (Основная теорема Коши для простого контура).f : Z → W, Γ − граница Z, простой контурIf (z) dz = 0f ∈ O(Z) ⇒Γ+Доказательство.

f (z) = U (x, y) + i V (x, y).2.3. Интегральная формула Коши37∂V∂U=−∂y∂x∂V∂UV (x, y) dx + U (x, y) dy = d U2 (x, y), т.к.=∂y∂xU (x, y) dx − V (x, y) dy = d U1 (x, y), т.к.U dx − V dy +if (z) dz =ΓIIIIΓΓΓd U1 +i d U2 = 0+i 0 = 0V dx + U dy =Теорема 2 (Основная теорема Коши для составного контура).Γ − составной положительно определенный контур.If ∈ O(Z) ⇒f (z) dz = 0Γ+Доказательство.

Γ = Γ1 ∪ Γ2 , AB ∪ Γ1 ∪ BA ∪ Γ2 − простой контур.IZf (z) dz +f (z) dz = 0 ⇒AB∪ΓI 1 ∪BA∪Γ2+ABZIf (z) dz +f (z) dz +BAZ Γ1 +Zf (z) dz = − f (z) dz,ABI+2.3Γ2 −BAIIf (z) dz = 0 ⇒f (z) dz +f (z) dz = 0,−f (z) dz = 0Γ+Интегральная формула КошиПусть f : Z → W, Γ − граница Z, является простым или составнымположительно ориентированным контуром f ∈ O(Z) ⇒ c ∈ Z,1Тогда f (c) =2πiIΓ+f (z)dzz−c38Глава 2. Основные свойства аналитических функцийТеорема 1 (Интегральная формула Коши).f ∈ O(Z) ⇒ ∀c ∈ Z,I1f (z)f (c) =dz2πiz−cΓ+Доказательство.f (z)∈ O Z\Uρ (c) ⇒z−cIf (z)dz = 0 ⇒z−cΓ ∪γρ +If (z)dz+z−cIf (z)dz =z−cγρ +Γ+f (z) − f (c) + f (c)f (z) − f (c)dzdz =dz + f (c);z−cz−cz−cγρ +γρ +γρ +it2π2π z − c = ρe ZIZρ i ei tdzit= dz = ρ i e dt =dt = i dt = i · 2π = 2πi.z−cρ ei t t ∈ [0, 2π] 0γρ +0III=I f (z) − f (c) f (z) − f (c) dz 6 sup 2πρ 6 M · 2πρ → 0,z−cz−c z∈jpp f (z) − f (c) f (z) − f (c) 0 → f (c), ρ → 0 ( или z → c) ⇒ 6 H− z−c z−c If (z) 0 dz = 0+f (c)·2πi.ограничено, т.к.

имеет предел f (c) ⇒z−cΓ+2.4Комплексные функциональные рядыОпределение 1 (Комплексый функциональный ряд).f1 (z), f2 (z), . . . , fn (z), . . . , : z → C;f1 (z)+f2 (z)+· · ·+fn (z)+· · · =∞Xn=1fn (z)2.4. Комплексные функциональные ряды39конечная сумма первых nfn (z)−общий член ряда. Sn (z) =fk (z)− членов последовательности,k=1т.е. частичная сумма ряда.nXОпределение 2 (Поточечная равномерная сходимость∞Pфункционального ряда).fn (z) – сходится поточечно на Z : ⇔n=1∀z ∈ Z∃ lim Sn (z) = S(z), (или ∀z ∈ Zn→∞∃ lim Sn (z) − S(z) = 0),n→∞где S(z) – сумма (функционального) ряда.∞Pfn (z) – сходится равномерно на Z : ⇔ lim sup Sn (z) − S(z) = 0n→∞n=1Замечание.

Из равномерной сходимости следует поточечная, обратное –неверно.Теорема 1 (Признак равномерной∞Pfn (z),fn (z) : z → C,∀z ∈ Zn=1∞Pan – сходится ⇒n=1∞Pсходимости Вейерштрасса).fn (z) 6 anfn (z) – сходится равномерно на Z.Pan –n=1числовой ряд с неотрицательными членами, называется мажорирующимрядом).Определение 3 (Комплексный степенной ряд по целым степеням).

a − коэф. степенного рядаПусть an , c = const, an , c ∈ C nc − центр степенного ряда∞Pan (z − c)n — степенной ряд по неотрицательным степеням.n=0−1P∞Pamстепенной ряд по—mотрицательным степеням.n=−∞m=1 (z − c)∞∞−1anPPPстепенной ряд по—an (z − c)n =an (z − c)n +nцелым степеням.n=−∞n=0n=−∞ (z − c)an (z − c)n =Теорема 2 (Абеля).∞Pan (z−c)n — степенной ряд по неотрицательнымn=0степеням, сходящийся при z = z0 , следовательно:1.2.∞Pan (z − c)n — сходится абсолютно и поточечно при z − c < ρ,n=0где ρ = z0 − c∞Pn=0an (z − c)n — сходится равномерно при z − c 6 ρ1 < ρ40Глава 2.

Основные свойства аналитических функцийЗамечание. Степенной ряд равномерно сходится внутри круга поточечнойсходимости.∞Pan (z0 −c)n — сходится. Тогда lim an (z0 −c)n = 0,n→∞nследовательно последовательностьan(z0 − c) — ограничена,т.е. ∃M > 0 т.ч. an (z0 − c)n = an ρn 6 M , где ρ = |z0 − c| (z − c)nОбщий член степенного ряда an (z − c)n = an ,ρnρ1|z − c|6 q < 1, q =Т.к. |z − c| 6 ρ1 < ρ, тоρρ an (z0 − c)n 6 an q n ρn 6 M q n — быстро убывающая геом. прогрессия.∞PM q n — сходящийся мажорирующий ряд. =⇒ по признаку Вейерштрасса:n=0Pan (z − c)n — равномерно сходящийся ряд, при |z − c| 6 ρ1 < ρДоказательство. 2)n=0PP1)an (z − c)n — равномерно сходящийся, ∀ρ1 → ρ ⇒ an (z − c)n —сходится поточечно, при |z − c| < ρ и абсолютно.∞PТеорема 3 (Коши-Адамара).an (z − c)n — степенной ряд сn=0неотрицательными степенями.

Следовательно, ∃R ∈ R+ :1. |z − c| < R — ряд сходится поточечно и абсолютно.2. |z − c| > R — ряд расходится.3. |z − c| 6 ρ1 < R — ряд сходится равномерно.Доказательство. 1) Применим признак Кошиqpq = lim n an (z − c)n = |z − c| lim n |an | < 1 ⇒n→∞n→∞⇒ |z − c| <limn→∞1pn|an |= R.1Отсюда R = lim pn→∞ n |a |n3) По теореме Абеля равномерная сходимость при |z − c| 6 ρ1 < RЗамечание.|an |n→∞ an+11. R = lim2. При |z−c| = R ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.2.4.

Комплексные функциональные ряды41Замечание. Теорема 2 и Теорема 3 могут быть сформулированы и∞a−nPдоказаны для степенных рядов по отрицательным степеням.nn=1 (z − c)pa−(n+1)∃ r = lim n |a−n | = lim, рядn→∞n→∞ a−nсходится абсолютно поточечно при |z−c| >r и равномерно, при |z − c| > ρ2 > r∞PЕслиan (z − c)n – по целым степенямn=−∞n, и r < R, т.е. абсолютно поточечносходится, то r < |z − c| < R – кольцосходимости, а равномерная сходимость –при r < ρ2 6 |z − c| 6 ρ1 < R внутрикольца сходимости.Теорема 4 (О пределе суммы функционального ряда).∞Xfn (z) – равномерно сходится на Z.

Тогда ∀z ∈ Z :Пусть∞∞∞XXXn=1limfn (z) =lim fn (z), lim S(z) =lim fn (z)z→cn=1n=1z→cz→cn=1z→cТеорема 5 (О непрерывности суммы функционального ряда).∞PПустьfn (z) – равномерно сходится на Z, ∀n fn (z) ∈ C(z). Тогда:n=1S(z) =∞Xfn (z) ∈ C(z)n=1Теорема 6 (О почленном интегрировании функционального ряда).∞PПустьfn (z) – равномерно сходится на Z, Γ ⊂ Z, fn (z) ∈ C(Γ ). Тогда:n=1Z X∞Γfn (z) dz =n=1∞ ZXZfn (z) dz,S(z) dz =n=1 Γ∞ ZXfn (z) dzn=1 ΓΓТеорема 7 (О почленном дифференцировании степенного ряда).∞PПусть дан рядan (z − c)n , Радиус сходимости R.

Тогда:n=0S(z) ∈ DC |z − c| 6 ρ < R ,0S (z) =∞Xn an (z − c)n−1 ,n=0т.е.∞Xn=0!0an (z − c)n=∞ Xn=0an (z − c)n042Глава 2. Основные свойства аналитических функцийДоказательство.∞Xan (z − c)n – равномерно сходится на |z − c| 6 ρ < R,n=01R = lim p,n→∞ n |a |n|z + ∆z − c| 6 ρ < R∞Pan (z + ∆z − c)n −∆SS 0 (z) = lim= lim n=0∆z→0 ∆z∆z→0∆z∞nnX(z + ∆z − c) − (z − c)an= lim=∆z→0∆zn=0∞Pan (z − c)nn=0=∞0(z + ∆z − c)n − (z − c)n Xn=an (z − c)==an lim∆z→0∆zn=0n=0∞X=∞Xan n (z − c)n−1 m=n−1=n=0∞Xam+1 (m + 1)(z − c)m ,m=01= lim p= R.n(m + 1)|am+1 | m→∞ |an |R̃ = lim pmm→∞2.51Разложение ФКП в ряды Тейлора и ЛоранаТеорема 1 (Тейлора).f ∈ O UR (c) ⇒ ∀z ∈ UR (c),∞Pf (z) =an (z − c)n ,n=0I1f (z)an =dz2πi (z − c)n+1Γ+2.5. Разложение ФКП в ряды Тейлора и Лорана43Доказательство.Γρ = {|z − c| = ρ < R},f (z) ∈ O Uρ (c) .I1f (ξ)По интегральной формуле Коши ∀z ∈ Uρ (c) f (z) =dξ ⇒2πiξ−zΓρ + z − c1111===· = |q| < 1, ξ − cξ − z (ξ − c) − (z − c) ξ − c 1 − z−cξ−c!n∞∞nX (z − c)1 X z−c=—n+1ξ − c n=0 ξ − c(ξ−c)n=0ряд по отрицательным степеням (ξ−c) по теоремеКоши-Адамараравномерноppnn|a−n | = lim|z − c|n =сходится, при |z−c| > r1 > r = |z−c|, r = limn→∞n→∞= |z − c| и, следовательно, может быть почленно проинтегрирован.Замечание.

Теоремы, аналогичные 4, 5, 6, 7 верны для рядов по отрицательнымстепеням.II∞Xf (ξ)(z − c)n11dξ =f (ξ)dξ =⇒ f (z) =2πiξ−z2πi(ξ − c)n+1n=0Γρ +Γρ +I∞∞XXf (ξ) 1n=(z−c)=an (z − c)ndξn+12πi(ξ−c)n=0n=0Γρ +|{zan}Следствие 1 (Неравенство Коши).Mf ∈ O UR (c) , ∀z ∈ Γρ |f (z)| 6 M ⇒ |an | 6 nρДоказательство. 1 I f (z) f (z)1|an | = dz 6sup 2πρ =n+1n+1 2πi 2πi z∈Γρ (z − c) (z − c) Γρ +=1MM· n+1 · 2πρ = n2π ρρ44Глава 2. Основные свойства аналитических функцийСледствие 2 (Теорема Лиувилля).f ∈ O(C). Если f (z) 6 M, то f (z) = const.Доказательство. ∀ρ → ∞ |an | 6⇒ f (z) =∞PM⇒ ∀n > 0, |an | = 0, an = 0 ⇒ρnan (z − c)n = a0 = const.n=0Теорема 2 (Теорема единственности разложения в ряд Тейлора).∞Xf ∈ O UR (c) ⇒ ∃!f (z) =an (z − c)nn=0Доказательство. Степенной ряд почленно дифференцируем внутри кругаравномерной сходимости |z − c| 6 ρ < R,f (z)f 0 (z)f 00 (z)===∞Pn=0∞Pn=0∞Pan (z − c)n ,f (c)= ann an (z − c)n−1 ,f 0 (c)= 1 · a1 ,n(n − 1)an (z − c)n−2 ,f 00 (c) = 2 · 1 · a2 ,n=0······f (k) (z) =∞Pn(n − 1) · · · (n − k + 1)(z − c)n−k an ,n=0f (k) (c) = k(k − 1) · · · 2 · 1 · ak .⇓f n (c)∃! an =n!Следствие 1.

Характеристики

Список файлов лекций