1304252003_921 (522786), страница 5
Текст из файла (страница 5)
f ∈ DC UR (c) ⇒ f ∈ DC∞ UR (c)Следствие 2 (Интеграл типа Коши).In!f (ξ)nf (c) =dξ2πi (ξ − c)n+1Γ+Доказательство.f n (c)1an ==n!2πiIΓ+n!f (z)dz ⇒ f n (c) =n+1(z − c)2πiIΓ+f (z)dz(z − c)n+12.5. Разложение ФКП в ряды Тейлора и Лорана45Теорема 3 (Лорана). f ∈ O(K), K = {r < |z − c| < R} ⇒ ∀z ∈ K∞∞∞XXXa−nnnf (z) =an (z − c) =an (z − c) +(z − c)nn=−∞|n=0 {z} |n=1 {z}правильная частьряда Лоранаan =12πiIглавная частьряда Лоранаf (z)dz(z − c)n+1Γ+Доказательство.Γρ = Γρ1 + Γρ2 ,f ∈ O K ρ ⇒ ∀z ∈ Kρ ,1f (z) =2πiIf (ξ)dξ.ξ−zΓρ +K ρ = {r < ρ2 6 |z − c| 6 ρ1 < R}Для ξ ∈ Γρ1 ,Для ξ ∈ Γρ2 ,!n ∞∞X (z − c)n1z−c1 X==,n+1ξ − z ξ − c n=0 ξ − c(ξ−c)n=011−11==·=ξ−cξ − z (ξ − c) − (z − c) z − c 1 − z−cz − c = |q| < 1,ξ−cξ − c = |q| < 1,z−c∞−1 X=z − c n=0ξ−cz−c!n∞X(ξ − c)n=−(z − c)n+1n=0∞X(ξ − c)m−1=−m=n+1(z − c)mm=146Глава 2.
Основные свойства аналитических функций1 f (z) =2πiII+Γρ1 +1 =2πiΓρ2 −Γρ1 +I−f (ξ)Γρ2 −I∞X(z − c)nf (ξ)dξ −(ξ − c)n+1n=0∞∞X(ξ − c)m−1 X 1dξ=m(z − c)2πim=1n=0If (ξ)dξ (z − c)n +(ξ − c)n+1Γρ1 +I−1∞XXf (ξ) 1n+dξ (z − c) =an (z − c)n ,n+12πi(ξ−c)n=−∞n=−∞n=−mΓρ2 +1an =2πif (ξ)dξ(ξ − c)n+1IΓρ +2.6Нули и изолированные особые точкианалитических функцийОпределение 1 (Нуль ФКП).
f : Z → W,c ∈ Z,• c — нуль функции f (z) :⇔ f (c) = 0, f (z) 6≡ 0• c — изолированный нуль f (z) :⇔ f (c) = 0, ∃ U̇(c) : ∀z ∈ U̇(c) f (z) 6= 0• f ∈ O U (c) , c — нуль порядка k функции f (z) :⇔f (c) = f 0 (c) = · · · = f (k−1) (c) = 0, f (k) (c) 6= 0.Друими словами,порядок нуля – это порядок первой ненулевой производной в точке c.Теорема 1 (О строении аналитической функциив окрестности нуля).
Пустьf ∈ O U (c) , с – нуль порядка k f (z).Тогда ∃!ϕ(z) ∈ O U (c) , ϕ(c) 6= 0, ∀z ∈ U (c) f (z) = (z − c)k ϕ(z).Доказательство. f (z) = a0 + a1 (z − c) + a2 (z − c)2 + · · · + ak (z − c)k + · · · .Т.к. f (c) = f 0 (c) = · · · = f (k−1) (c) = 0, то a0 , a1 , . . . , ak−1 = 0Т.к. f (k) (c) 6= 0, то ak 6= 0 и f (z) = (z − c)k (ak + ak+1 (z − c) + · · ·){z}|ϕ(z)ϕ(z) = ak + ak+1 (z − c) + · · · — ряд Тейлора другой аналитическойфункции, и ϕ(c) = ak 6= 0 Т.е. f (z) = (z − c)k ϕ(z)2.6. Нули и изолированные особые точки аналитических функций47Пусть ∃k1 6= k, ϕ1 (z) = ϕ(z) и f (z) = (z−c)k1 ϕ1 (z), (z−c)k1 ϕ1 (z) == (z − c)k ϕ(z), ϕ(z) = (z − c)k1 −k ϕ1 (z), ϕ(c) 6= 0, но ϕ1 (c) 6= 0 ⇒⇒ k1 − k = 0 или k1 = k. Отсюда, ϕ(z) = ϕ1 (z)Замечание. Нули аналитических функций могут быть только изолированными, либо накапливаться на границе аналитичности.Определение 2 (Изолированная особая точка ФКП).Пусть ∃ f (z) : Z → W, f ∈ O U̇(c) ,особая точка f (z) :⇔ f 6∈ O(c)U (c) ∈ Z,c – изолированнаяКлассификация изолированных особых точек (ИОТ)lim f (z)∃, 6= ∞∃, = ∞@z→cТип ИОТc – устранимая ИОТc – ИОТ типаполюсc – СОТ (Сущ.Особая Точка )Теорема 2 (Необходимое и достаточное условие устранимой ИОТ).с – устранимая ИОТ f (z) ⇔ ряд Лорана f (z) в окрестности U (c) несодержит главной части.Доказательство.
∃ lim f (z) 6= ∞ ⇔ ∃ Uρ (c) : |f (z)| 6 M,z→c|an | 6M,ρnПри n < 0 |an | 6 M · ρ|n| ,При n > 0 |an | =6 0,ρ → 0 ⇒ an = 0∞Pf (z) =an (z − c)n , 0 < |z − c| < ρn=0Теорема 3 (Необходимое и достаточное условие полюса).1c – ИОТ типа полюс f (z) ⇔ c – устранимая ИОТ; g(z) =, lim g(z)= 0f (z) z→c1=0z→c f (z)Доказательство.
∃ lim f (z) = ∞ ⇔ ∃ limz→cОпределение 3 (Порядок полюса). c – ИОТ типа( полюс функции1/f (z), при z 6= cf (z) порядка k :⇔ c – нуль порядка k функции g(z) =0,при z = cТ.о. доопределяем функцию в нуле.Теорема 4 (Необходимое и достаточное условие полюса порядка k).c – полюс порядка k f (z) ⇔ ряд Лорана функции f (z) в окрестностиU (c) имеет главную часть с членами до (−k)-го порядка включительно.48Глава 2. Основные свойства аналитических функций(1/f (z), z 6= cДоказательство. (⇒) c – нуль порядка k ф-ии g(z) =0,z=c2kg(z) ∈ O U (c) , g(z) = b0 +b1 (z−c)+b2 (z−c) +· · ·+bk (z−c) +· · · .b0 = b1 = · · · = bk−1 = 0, bk 6= 0g(z) = (z − c)k ϕ(z), ϕ(c) 6= 0, ϕ(z) = bk + bk+1 (z − c) + · · · .∞X111=ak+n (z − c)n =f (z) =·kk(z − c)ϕ(z) (z − c) n=0=a−ka−k+1+ · · · + a0 + · · · .+(z − c)k (z − c)k−1{z}|главная частьa−ka−k+1++ · · · + a0 + a1 (z − c) + · · · =(z − c)k (z − c)k−1∞X11= (z − c)k ϕ(z),=a−k+n (z − c)k ,k(z − c) n=0f (z)11ϕ(z) = P6= 0, a−k 6= 0., ϕ(c) =∞a−kna−k+n (z − c)(⇐) f (z) =n=0c – нуль порядка k функции g(z), следовательно c – полюс порядка kфункции f (z).Теорема 5 (Необходимое и достаточное условие существенноИОТ ).
c – существенно ИОТ ⇔ ряд Лорана f (z) в U̇(c) содержитбесконечное число членов в главной части.Доказательство. Доказывается в обе стороны от противного, используятеоремы 3, 4.2.7Вычеты ФКПОпределение 1 (Вычет функции). f : Z → W,I1f (z) ∈ f ∈ O U̇(c) , Res f (z) :=f (z) dz,z=c2πic ∈ Z – ИОТ,Γ+где Γ – любой контур, охватывающий точку c,Γ ⊂ U̇(c)Замечание.1. Определение 1 не имеет смысла, если c не явл. ИОТ, Res f (z) = 02.7.
Вычеты ФКП2.HΓ+=RR−ADB49,2πi =AEBHΓ+dzz−cВычет – нормированная разностьинтегралов по кривым, обходящим особую точку с разных сторон.I1f (z)3. an =dz – коэффициент ряда Лорана в U̇(c).2πi(z − c)n+1Γ+n = −1,a−1 =1 H f (z)dz ⇒ Res f (z) = a−1z=c2πi Γ + 1Теорема 1 (Вычисление вычитов). c – ИОТ функции f (z)1. c – устранимая ИОТ f (z) ⇒ Res f (z) = 0.z=c2. c – простой полюс f (z) (k = 1) ⇒ Res f (z) = lim f (z)(z − c) .z=cz→cϕ(z), где ϕ(c) 6= 0, ψ(c) = 0 ⇒ψ(z)ϕ(z)ϕ(z)⇒ Res f (z) = Res= 0.z=cz=c ψ(z)ψ (z)3. c – простой полюс f (z) =4. c – полюс порядка k f (z) ⇒idk−1 h1klimf (z)(z − c) .⇒ Res f (z) =z=c(k − 1)! z→c dz k−15.
c – существенная ИОТ f (z) ⇒ Res f (z) = a−1 .z=cДоказательство.5. очевидно (смотри замечание к 1)1. c – УОТ f (z) ⇒ ряд Лорана не содержит главной части ⇒⇒ a−1 = 0 ⇒ Res f (z) = 0z=c4.,2. c – полюс порядка k ⇒ ряд Лорана содержит в главной частичлены до (−k) включительно.a−ka−k+1a−1f (z) =++ ··· ++ a0 + a1 (z − c) + · · · .kk−1(z − c)(z − c)(z − c)f (z)(z − c)k = a−k + a−k+1 (z − c) + · · · + a1 (z − c)k−1 + a0 (z − c)k + · · · .dk−1 k!(k + 1)!kf(z)(z−c)= a−1 (k − 1)! + a0 (z − c) + a1 (z − c)2k−1dz1!1! · 2!dk−1 limf (z)(z − c)k = a−1 (k − 1)! ⇒z→c dz k−11dk−1 ⇒ a−1 =lim k−1 f (z)(z − c)k(k − 1)! z→c dz50Глава 2. Основные свойства аналитических функцийϕ(z), ψ(c) = 0, ϕ(c) 6= 0ψ(z)!ϕ(z)ϕ(z)2 ⇒ Res= lim(z − c) = limz=c ψ(z)z→cz→cψ(z)3. f (z) =ϕ(z)ϕ(z)! = 0ψ (c)ψ(z) − ψ(c)(z − c)Теорема 2 (Основная теорема о вычитах).f ∈ O Z̄ \ {c1 , c2 , .
. . , cm } .Т.е. c1 , c2 , . . . , cm – ИОТ f (z) .Γ – граница Z̄ положительноориентированная. Следовательно,ImXf (z) dz = 2πiRes f (z)j=1Γ+mSz=cjU (cj ) ,Γ ∪Γ1 ∪Γ2 ∪· · ·∪Γm – положительноIориентированный составной контур. Следовательно,f (z) dz = 0 ⇒Доказательство. f ∈ O Z̄\j=1Γ ∪Γ1 ∪···∪ΓmI⇒If (z) dz +Γ+If (z) dz +Γ1−IIf (z) dz + · · · +Γ2 −f (z) dz = 0Γm −III111f (z) dz +f (z) dz + · · · +f (z) dz ⇒2πi2πi2πiΓ+Γ2 + Γ1 + Γm +I⇒f (z) dz = 2πi Res f (z) + Res f (z) + · · · + Res f (z)f (z) dz = 2πi z=c1z=c2z=cmΓ+Замечание.
f (z) может иметь ещё особые точки 6⊂ Z̄. Их вычеты невходят в сумму правой части формулы.2.8Вычеты в бесконечно удалённых особыхточкахОпределение 1 (Изолированная бесконечно удалённая точка).f: C → Cc = ∞ – изолированная бесконечно удалённая точка :⇔f (z) ∈ O U̇(∞) т.е. ∃ M > 0 : ∀z M < |z| < ∞, f ∈ O(z) .2.8. Вычеты в б.у. особых точках51Замечание.
Очевидно,что c = ∞ – ИОТ функции f (z) ⇔ c = 0 – ИОТфункции f z1lim f (z)z→cКлассификация бесконечно ИОТ∃, 6= ∞∃, = ∞Тип ИОТc = ∞ – УОТ@c = ∞ – полюс c = ∞ – СОТc = ∞ – полюс порядка k функции f (z) ⇔ c = 0 – полюс порядка k f1z.Теорема 1 (Необходимое и достаточное условие бесконечнойУОТ, полюса порядка k, и бесконечной СОТ).1. c = ∞ – УОТ функции f (z) ⇔ ряд Лорана f (z) по степеням z несодержит положительных степеней.2. c = ∞ – полюс порядка k функции f (z) ⇔ ряд Лорана f (z) постепеням z содержит положительные степени (до k-ой включительно).3. c = ∞ – СОТ функции f (z) ⇔ ряд Лорана f (z) по степеням zсодержит бесконечное число членов с положительными степенями.Доказательство.1. c = 0 – УОТ функции f z1 ⇔ f z1 = b0 + b1 z + b2 z 2 + · · · ⇔1a−1 a−21+ 2 + ···.⇔ f (z) = b0 + b1 + b2 2 + · · · = a0 +zzzz2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
