metoda_ter_mex1298_2 (521489)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ»Кафедра "Теоретическая механика"Одобрено методической комиссиейпо общенаучным дисциплинамРАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫПО КИНЕМАТИКЕМетодические указания по курсу ''Теоретическая механика"для студентов всех специальностейПод редакциейд.ф.-м.н., проф. Бондаря В.С.МОСКВА 20032Авторский коллектив: Л.В.Божкова, А.И.Блохина, Г.И.Норицына,В.К.Петров, В.А.Ерошин, Ю.М.Темис, А.И.Зубков.
Под редакцией д.ф.-м.н.,проф. Бондаря В.С..Расчетно-графические работы по кинематике. Методические указания покурсу "Теоретическая механика" для студентов всех специальностей. Третьеиздание.В настоящий сборник включены пять заданий по разделу "кинематика".Каждое задание содержит 30 вариантов. Приведены примеры выполнениявсех заданий с пояснениями.Московский государственный технический университет «МАМИ», 2003.3ЗАДАНИЕ К-1Точка движется в координатной плоскости xy.
Закон движения точкизадан уравнениями x = x(t), y = y(t) ( х, у - в сантиметрах, t - в секундах).Определить траекторию точки и для момента времени t = t1 , сек. найти:- положение точки на траектории;- скорость и ускорение точки;- касательную и нормальную составляющие ускорения;- радиус кривизны в соответствующей точке траектории.Необходимые данные для расчета приведены в таблице 1.Вариант123456789101112131415x = x(t), смx = 2t + 3 πt x = 4 cos + 23 πt x = − cos + 33x = 4t + 42 πt x = 2 sin 32x = 3t + 2x = 3t2- t + 1 πt x = 7 sin + 36−3x=(t + 2)πtx = −4 cos32x = -4t + 1 πt x = 5 sin 6 πt x = 5 cos 3x = -2t – 2 πt x = 4 cos 3y = y(t),смy = -5t πt y = 4 sin 3 πt y = sin − 134y=t +1 πt y = −3 cos + 43y = 4t5ty = 5t 2 − − 23 πt y = 2 − 7 cos 6y = 3t + 6 πt y = −2 sin − 33y = -3t πt y = −5 cos − 36 πt y = −5 sin 32y=−t +1 πt y = −3 sin 3Таблица I.t1 ,сек0.51.01.02.01.00.51.01.02.01.00.51.01.02.01.04Вариант161718192021222324252627282930x = x(t),x = 3t πt x = 7 sin − 56 πt x = 1 + 3 cos 32x = -5t - 4x = 2 – 3t – 6t2 πt x = 6 sin − 262x = 7t - 3x = 3 – 3t2+ t πt x = −4 cos − 13x = -6t πt x = 8 cos + 26 πt x = −3 − 9 sin 62x = -4t + 15tx = 5t 2 + − 33 πt x = 2 cos − 23смy = y(t),см2y = 4t + 1 πt y = −7 cos 6 πt y = 3 sin + 33y = 3t3ty = 3 − − 3t 22 πt y = 6 cos + 36y = 5t5ty = 4 − 5t 2 +3 πt y = −4 sin 32y = -2t - 4 πt y = −8 sin − 76 πt y = −9 cos + 56y = -3ty = 3t2+ t + 3 πt y = −2 sin + 33секt1 ,0.51.01.01.00.01.00.251.01.01.01.01.01.01.01.0Пример выполнения задания К-1Заданы уравнения движения точкиx = 4t 2 + 1(1)y = 2t (х, у - в сантиметрах, t - в секундах).Определить траекторию точки и для момента времени t1 = 1 сек.найти:- положение точки на траектории;- скорость и ускорение точки;- касательную и нормальную составляющие ускорения;- радиус кривизны в соответствующей точке траектории.5Решение:1.
Уравнения движения точки (1) можно рассматривать как уравненияее траектории в параметрической форме. При этом параметром являетсявремя t. Чтобы найти уравнение траектории точки в координатной форме,необходимо исключить из уравнений (1) параметр t. В результате получимx = y2+ 1 .(2)Уравнение (2) есть уравнение параболы, осью симметрии которойявляется ось Ox (рис.1.1).y4V1YM12Sa1=a1X1OV1τa13V1Xna112345xРис.
1.1Из уравнений (1) следует, что координаты x и y все времяположительны, так как время t ≥ 0 . Таким образом, траекторией точкиявляется верхняя ветвь параболы, показанная на рис.1.1 сплошной линией.2. Подставляя значение времени t1 = 1 сек. в уравнения (1), найдемкоординаты точки в указанный момент времени:х1 = 5 см,у1 = 2 см .(3)На основании (3) покажем положение точки на траектории (рис.1.1).3. Для определения скорости точки найдем проекции вектора скоростина оси координат по формуламV X = x& = 8t (4)VY = y& = 2 По найденным проекциям вектора скорости на оси координат нетруднонайти модуль скорости (V) и ее направлениеV = V X2 + VY2 = 64t 2 + 4В момент времени t1 = 1 сек.V1x = 8 см/с,V1y = 2 см/с,V1 = 8,124 см/с.(5)(6)6rНа основании (6) вектор скорости V1 строим в точке M1 траекторииrrrrrкак геометрическую сумму составляющих V1x и V1 y ( V1 = V1x + V1 y , гдеrrr rrr rV1x = V1x i , V1 y = V1 y j ; i , j - орты осей x и y ).
При этом вектор V1 долженбыть направлен по касательной к траектории точки (рис. 1.1).4. Аналогично найдем ускорение точки по его проекциям накоординатные оси:a x = &x& = 8 (7)a y = &y& = 0a = a 2X + aY2 = 8 см/с2 .(8)Как следует из (7) и (8), в данном случае проекции вектора ускоренияна оси координат, а также его модуль не зависят от времени t, то естьявляются постоянными величинами. Таким образом, в момент времени t1 = 1сек, учитывая (7) и (8),a1x = 8 см/с2 ,a1y = 0 см/с2 ,(9)2a1 = 8 см/с .(10)rНа основании (9) вектор ускорения a1 , строим в точке M1, как геоrrrrrметрическую сумму составляющих a1x и a1 y( a1 = a1x + a1 y , гдеr rrr rra1x = a1x i , a1 y = a1 y j ; i , j - орты осей x и y ).
В рассматриваемом случаеa1 = a1x (рис.1.1).5. Определим касательную и нормальную составляющие ускоренияточки. Касательная составляющая ускорения характеризует изменениевектора скорости по модулю, а нормальная составляющая характеризуетизменение вектора скорости по направлению.rМодуль касательного ускорения точки ( aτ ) можно найти на основанииформулыdVraτ =.(11)dtПринимая во внимание соотношение (5), производную dV/dt можнопредставить в видеdV d64 ⋅ 2 ⋅ t=.(12)64t 2 + 4 =2dt dt2 64t + 4Для момента времени t1= 1 сек. на основании (12) с учетом (6) и (9)получимdV64 ⋅ 2 ⋅ t== 7,76см/с2 .(13)2dt 2 64t + 4Таким образом, модуль касательного ускорения точки в моментвремени t1= 1 сек.raτ = 7,76 см/с2 .(14)Знак "+" при dV/dt показывает, что модуль скорости возрастает, то()7есть движениеточки является ускоренным и, следовательно, направленияrrвекторов V1 и a1τ совпадают (рис.1.1).
Модуль нормального ускорения точкиопределим по формулеra n = a 2 − aτ2.(15)Для момента времени t1= 1 сек, учитывая (8) и (14), на основании (15)получимra1n = 82 − 7,76 2 = 1,94 см/с2 .(16)Нормальное ускорение точки направлено перпендикулярно касательrному ускорению в сторону вогнутости кривой (рис.1.1). Ускорение arrrrнайдено как по составляющим a1x и a1 y , так и по составляющим a1n и a1τчем проверяется правильность проведенных вычислений.6. Радиус кривизны траектории (ρ) в данной точке можно определитьна основании формулы для нормального ускоренияV2ran =.(17)ρТаким образом, в точке M1 траектории (где находится точка при t1= 1сек.), учитывая (6), (16) и (17), получимV12ρ1 = r = 35 см .(18)a1nПримечание. В случаях, если траекторией точки является либонекоторая прямая, либо окружность определенного радиуса, радиускривизны такой траектории в каждой точке известен заранее.
При этомформулы, приведенные в пункте 6, могут служить основанием для проверкирезультатов, получаемых в пунктах 3-5.8ЗАДАНИЕ К-2Тело D (рис.2.1-2.6) вращается вокруг неподвижной оси по законуϕ = ϕ(t)(ϕ измеряется в радианах,t - в секундах; положительноенаправление отсчета угла ϕ показано на рисунках дуговой стрелкой). По телувдоль прямой AB (рис.2.1, 2.5, 2.6), или по окружности радиуса R (рис.2.22.4) движется точка М по закону S=OM=f(t) см (положительное иотрицательное направления отсчета координаты S от точки O указанысоответственно знаками плюс (+) и минус (-)).
Определить абсолютнуюскорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t=t1 сек.Необходимые данные приведены в таблице 2.Таблица 2№ № Уравнение вращательногоУравнениеRat1вар. рис.движениядвижения точки М (сек) (см) (см)OM = S = f (t) (см)ϕ = ϕ (t) (рад)21 2.12162πt16 cos(πt /4)22 2.20.5 102πt10πt3 2.30542πt5πt24 2.40,5 20πt20π sin(πt/3)25 2.55 - 2t15sin(πt/6)326 2.6t7 - 4t1727 2.12t5 – 5t1538 2.2120πt20πt22180609 2.33πt20πt1510 2.4πt35πt 2211 2.53t – t13cos(πt/3)212 2.6t244 sin(πt/4)213 2.116πt6 sin(πt/6)214 2.21102πt10πt3215 2.3112πtπ(2 – t )16 2.42102πt10π cos(πt/6)217 2.5t12cos(πt/2)18 2.62t288 sin(πt/2)2219 2.13t - 8t18π (t + 3t)220 2.21,58πt8πt2221 2.3212104πt2π (t + t )2322 2.4124 + 2πt3π (2 – t )223 2.52 – 4t14cos(πt/6)2224 2.63t – t2t - 416225 2.1148πt + πt4 cos(πt/2)2226 2.20,5 203πt40πt327 2.31862πt20πt9№ № Уравнение вращательноговар.
рис.движенияϕ = ϕ (t) (рад)28 2.40,6 πt229 2.5sin(πt/3)30 2.62tУравнениедвижения точки МOM = S = f (t) (см)π(10t – 2t2)1 – 2t24 cos(πt/3)Rat1(сек) (см) (см)11116-24Пример выполнения задания К-2Диск радиуса R = 0,5 м вращается вокруг своего вертикальногодиаметра OB (рис.2.7) по закону ϕ = t3- 2t2 (ϕ измеряется в радианах, t - всекундах; положительное направление отсчета угла ϕ показано на рисункедуговой стрелкой). По ободу диска движется точка M по закону( πRS = OM =7t − 2t 2 м. (положительное и отрицательное направления6отсчета дуговых координат S от точки O указаны соответственно знакамиплюс (+) и минус (-)).
Определить абсолютную скорость и абсолютноеускорение точки M в момент времени t1=1 секунда.()Решение. Для определенности свяжем жестко с диском системукоординат O1xyz (координатная плоскость O1yz совмещена с плоскостьюдиска). Движение точки М рассматриваем как сложное. Вращение диска(подвижной системы координат O1xyz ) вокруг вертикальной неподвижнойоси O3z1 считаем переносным. При этом движение точки М по ободу дискабудет относительным. Рассмотрим более полно эти движения.1.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
