24 (509770)
Текст из файла
Зада а 1 Найти сумму ряда 54 У',—;- — -- —— п -'и— Произведем зквивалентпыс преобразования ряда: '(ак как и'-и-2 = (п-'2)(п-! !, то получаем„что исходный ряд ряд мы можем переписать в следукпдем виде: 1=3 2 + 2 ю-3( 1)( +2) ( 1 + 1 1 1 ! -: 1 1 1 = — ( — — =)~ =,),54 — (- — — — -) = 3 и — 1 и+2~ "' 3 п — 1 и+2 1 1 -. 1 ..
1 =- 18,')" (- — — — ) =(й(,'> ',- — —,">,— -) " ' и — ! п+2 ' "'п — 1 мопз2 1 Рас~мо~рнм ряд "зп — 1 Произведем замену (и-1 = Ц, тогда суммирование будет 1 1 производиться от !. = и-1 = (и- 3) —" 3 — 1 =-2. а -- — = — .
и — 1 !с с: 1 '1 1одставим полученные значения и ряд 7 "'-' и — 1 1 -': 1 ""и-1 11роизвсдем пнаяояиниые преобразования и с рядом Х,, 1 — 1ояда дяя несо замена ~~и+2=1с~: "-'и-:2 иачаляиое 1: и '-2 =- ', и =3 1 = 3 ' 2=5, а п-,2 и с 1 Подставим данные в ~ ""и+2 1 - 1 Итак, мы иолу ~иди, нто исходный ряд равен разности двух рядов: — Ъ" 54 ~ 1 ~. 1 — =18~Ъ,--~" -3= "=' и' — и — 2 ~' -" )с ~'=' 1с 1 1 1 Ъ' 1 ~- 1 13 39 .=ЫК вЂ” +-. — -:У"' — )-~" --) =18 — =— й:.~ 1, .~ гв-.5 1„ 54 39 Ответ: ~~~ ; """и'+и — 2 2 Зад]ача " Исследовги ь ряд па сходимосггс 2- сояп (1зз — )' " 2 — соя п Обозначим п„=- — —, (и — п)' ' Д.гя всех и верно следукзшес утвержсдени: 1 1 1 а]]>, — - >.— г- =- -., так как2 — сояп ~!для Всех п.
(п -п)' (п ) '' п 1 Ряд у — является расходящимся !]=]!1 по признаку ! сравнения: (говорящему, что ряд вида ~ — -сходится " 'п" только при условии, что а строго больше 1] г.е. а>1 и 1 расходится в противном случае, при а<1) ряд~ "]п расходится, так как нарушается условие сходимости. 11оэтоы> и исходный 2 — соя п " Ответ: ряд 2 '' — —.. расходится. "-'(и -и) расходи"гся, так как его 1 ряда '"~. и — 2 — сони ряд ~ ' — — ' — — также "='(и — и) сумма заведомо больше суммы 1а,эа !!! ) Иссле н!вать ряд на сходимост1с 2п +! и !и+1)' 2п~-! Обозначим а„-. ьш п-'(и+1) 2и+ 1 2п+1 Прн и-+ аз з!п1 —,—,) = и'!и+1)' и1!п+1) Отек!да получаем, что сходимость исходного ряда эквивалентна сходимости следующего ряда: 2п+ 1: 4п, 4 ;).;:,—:== Х;;.—.=Х,—; "=' п (и+1) " ' и ' ' и' 1 Докажем сходимость ряда 4 7 —, .
Тогда из его сходимостн будет следовать сходимость исходного ряда, так как тогда он будет ограничен сходящимся рядом сверху н нулем снизу (все члены ряда неотрицательны). 1 Обозначим Ь„-.= — „-. По признаку сравнения!говорящему, и 1 что ряд вида э — сходится только нри условии.
что а "-' 1' строго 'больше 1, т.с. а>1 н расходится в противном случае, 1 арн' а<1), ряд Э вЂ” —, сходится, так как выполняется г=! условие сходимос!н: 3- 1. 2п+1 Поэтому н исходный ряд ~ з!п- —, — — —, тоже сходи !ся. п2(п+1)' 2п'-1 Отвст: рял ~ БИ1 — —, — - — — „сходится. п'(и 11) Задача 4 1!сс седовата ряд на сходпмосзь: ~-1 3 5 .(2п +1) ~.,;2 5.8 .(Зп — 1) Ооо и !ачим а, 1 3 5."(2п-+1) 2 5 8 "(Зп-1) Используем признак Даламбера: ~1 3-5" (2ц+3) ~ ( а„, ~~, ~ 2 5 8. (Зй+2) ! . !~2п+3) 2 а ) в.» 1 3 5 .
(2п+1) ! - '(Зп+2,~ 3 2 5 8" (Зп-1) ) Так как по признаку Даламбера ряд сходится, если для всех достаточно больших и выполнено неравенство '"' < с1 <1 а„ а„, и расходится, когда — "' > 1, то исходный ряд сходится. ~ .:1 3 5.- (2п-:1) Ответ: Ъ " -- — — ' сходится. ;,,'2 5 8" (Зп — 1) 5 '1а апьа 5 Исследовать ряд иа сходимостьс Воспользуемся признаком Коши: Если !ипата„<1. то ряд Если !пифа„>1, то ряд М ~Ю вЂ” ! Зп — 1~~ 9 11пт~'а„= 1пп~ -" ~ ~—— — < 1 "*' " " 1,4п + 2~ !6 Таким образом, по признаку Коши исходный ряд является сходящимся.
ь - ~Зп=11 ' Ответ: ~ ~ ) сходится. , 1,4п+ 2) ' 'Зп — 1~ „,, ~4п+2~ У~ --- — ! а„- сходится. Х -" в-~ ~> а„- расходится. л") изда'!а б Исследовать ряд па сходнмость: Воснользусмся !!редслы!ым признаком сходимости. Если два ряда З а,, и ~» 1!„удовлстворян>т условикх М' ! а ! 1ии —" =А, !де 7.
конечное число, ие равное О, !о ряды Ь„ ~! а„и ,'! !!„Сходятся или расходятся одновременно. --! Ю-! Рассмотрим следуз!иший ряд: 11лз-" =1 — этг! конечное число, не равное О о -~. П Значит,;ряды ~~~ а„и ~> Ь„сходятся или расходятся одпОвреМФНКО. Дл!я исследования сходимости второго ряда воспольз1смся ии'!Вгральныы !Вризнаком сходимости рл !ОВ.
1',ели пако горля функиия ! (х) удоилетиорясз услолпю ((л)=-Ь„, то если ~((х)Йх сходится, то и ряд ~~Ь„ сходится, а если )Г(х)дх расходится. то и ряд ~ Ь,. расходится. Рассмотрим следующую функцикх 1 ((х) = —,— х1п х Если ~Г(х)дх сходится, то и ряд '1Ь„сходится, если а=Э интеграл расходится, то и ряд ~ Ь„расходится. Йх "рг!1пх 1 ~ 1 , х!п" х, 1п'х 1пх~Ь 1пЗ Интеграл расходится, значит и ряд ) 1з,. расходится. Из ~ -3 '' зтого следует. что исходный ряд тоже расходится.
п Отвсг: ~ —,— — — -- сходится. „; (и" — 3) 1п и Задача 7 Исследовать »зяд на сходимость: ( — 1)" и+ соя —,- ъ''и ~-4 Воспользуемся признаком Лейбница: если ряд ~" 1 — 1)" а„удовлетворяет условиям: в-1 1» а„- монотонно убывающая, начиная с некотороьо п = )х' 2) !пиа„= О, то ряд ,'» ( — 1)'а„сходится. й — ~О Н -"! Рассмотрим а,, = и соя(2/~)п+ 4) 2 х 0< — - —.с — ~сов(2/~'и+4) возрастает. значит, х»и+4 2 последоватсльность и + сов(2 ' ~»и + 4) тоже возрастает, 1 2 и+ сов ~и -ь4 следовательно, последовательность а убывает.
Тогда: ! 1пп — '-,— —.—. = 0 " '. и,+сох(2,'х'и+4) (-1)" Ответ; ряд,' --- --=-"-- сходитсьх и - сох! 2;»и - 4) ( — В' Значит ряд ~~ †-"- "--- сходится по признаку „.1 и+сох(2~'ъ»п-~4) :Лспбнииа. Задача 8 Вычислить сумму ряда с точносгью сс — — =-0.0! Х вЂ”:-- 1-1)' П' Обозначим и-ный член ряда, как а„: Чтобы вычислить сумму ряда с заданной точностью, следует принять во внимание то. что члены ряда с ростом п монотонно убывают. !'огда нам требуется найти сумму ряда до Х-го члена, где Х таково, что для любых и>!! выполняется неравенство ~а„!.~.11айдем !Ч: 1а,;~=1>а ~!а, ! = О,! 25 > а ~а,,!=0037 >и !а,/=00!4>а ',а 5! = 0,008 > сс =Ф Х = 5 Найдем сумму ряда до 5-го членсп „.,'~~а,, = — 0,90 О в ' т ~~ - —,' - = — 0,90 + О,О ! ' 1 -1?" и 10 Найти область сходимосгн ряда: П (1- — )' с'" и "> — *~, б Обозначим а,-,=(!+ -)" с"' П сходимости ряда — Х. 2 При и — >;.с: (1 + — )" '-' = !); = — ) = и 2 а иском)го ооласть 1 (1+ — )' — > с Устремим степень е к нуэпо: О ! — — ~-х-~ а > нх > ее =е ->0=~( +хл п+2) — > — сс х +1 1 Персобозиачим )и = у =: — ( —; — -)у' ч ху > 2 = 0 — это х +1 у~>авнсние параболы с отрицательным коэффициентом при у .
Следовательно, ветви параболы направлены вниз и при г к — > ео — ''(, )у + ху+ 2 -> ж х' +! Истхбдя и з этого, найдем ооласть сходи>1ости: 1 ;. — ( - ., ) лс 0 с:> (х н К) ч1 Ответ; область сходимостн Х = (х н К';, Необходимым условием сходнмостн ряда является стремление к нулк> а„при стремлении и к бесконечности: а,, =(1+ — )" е'" =((1+--)"' ) с — >с е п и Зада ш 1О 11айги подав гь схолимости ряда: --г1х — 1) " "=' !Зп э!)' 11ривслсм этот ряд к степенному, з.е. к виду: У а,.х', с аь-а где а, не зависит от х и является постоянной величиной. 2к Положим а,, = —" --- —,, а с и = а,, „= О тогда исходный 1Зй.1)з' "" рял можно переписать в виде: , (х — 1)" =~) а,1х — 1)" " '1Зп+1)' Используем формулу для нахождения радиуса сходимости, основанную на применении признака Коши: ,)~з~ О'! 1'аким образом.
интервал сходимости ряда будет выглядеть сйедукипим образом: . -.-'Р< х — 1 <! -~ х н 1О;2) Ответ: область сходимости Х =- !х =: (О;2)) Задача 11 1Ьйти область сходимости ряда: п15' ")" Приведем этот ряд к степенному, г.с. к виду: ~, и,.х', ~лс а, ие зависит от х и является пос гоянной величиной. Положим а„= и, тогда исходный ряд можно переписазь в Виде: 'Геперь нам требуется найти 1пп Ц а „~ = 1.: ь-> 11пз "~~ а„1 = аппп'оп я-~"э . Воспользуемся'следующим равенством: 1иии ~ а1с:+,. Ь"= 1, где а и Ь постояно ыс числа, а>0.
Таким ооразом. по теореме Коши-Адамара, оодасть — 1 сходимости Х = (," 5-' ' ~<- =Ц, 1. Решим неравенство, чтобы в явном виде записать обласзь сходи мое ги: =:3 — х<О=эх>3 Таким образом, Х = (З,ао) Ответ: область сходимости Х = (3,0з) . Задана 1~ Найти сумму ряда: - — — !созх)" ""и+1 Произведем замену переменной: у = сов х А!у) = ~,. — — у = — ~~', — -у ' = —,à — у" .-ой+1- т ь. 1~+1.
ю 1 Иайдем сумму ряда ~~ — у К=! ! Рассмотрим производную р — у й-~1,- !Сумма убывающей геометрической прогрессии) Произведем обратпые преобразования для нахозкдсиня 1 суммы ряда ~ — у', то есть возьмем интеграл: к=.! !. Ч1ооы найти конссаиту С. найлеьч чначсиие ряда в некоторой фиксированной точке у, вовьмсм у - О,топча: „~ — О" = 0 =. — 1п(1 — О) + Π—. (; = О '|, = ! 1. с 1 рахим оорачом, сумма ряда 1 — (сов х) есть " 'и+1 1 — ( — — )1п('1 — (совх)) при совх ~1 с:~ х ~ лп,п и Х и ие сов х существует при всех остальных х.
Ответ: 1 1 „— (" — )1п(1 — соах)+1,х Ф лп,п е ~ ,"1 — (совх)" = совх п-.О + 1 -Л,х = ип,п я ~1 Задана 15 Найти сумму ряда: (и+2)х" ' 1 азлогяим "этОт ряд па сумму двух полее 11ростых !зядов; ~',(и+2)х"" =~~) (и ь5)х" =~~~,пх" +5~~> ' х' Найдем А(х) = ~ пх" . Заметим, что А(х) есть производная от функции В(х) = У х ', умноженная на х: нм В'( )=~, А(х) =-х В'(х) Сумма ряда В(х) есть сумма убывающей геометрической про1 россии и поэтому равна В(х) = —, при условии, что 1 — х (х!<1,'1'огда производная от В(х) есть х'(1 —. х) — х(1 — х)' 1 — х + х 1 В'(х)— (! — Х)-' (1 — х) 2 (1 — х)-' ' 1 х '! огда А(х) = х --В'(х) = х —, = — —,при !х!<! н пе (1 — х) (1 — х) существует при ! х !>1: Х„, =Х.;, ..':,в-з х,и х .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
