15 (509760)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

GTU.ru6 _ 01_15 _1в задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке)∞(1) ∞991 ⎞⎛ 1== ∑⎜−∑∑⎟23n + 5 ⎠n =1 9n + 3n − 20n =1 (3n + 5)(3n − 4)n =1 ⎝ 3n − 4∞k1 ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛1 1 ⎞⎛ 1Sk = ∑ ⎜−⎟ =⎜ − ⎟+⎜ − ⎟+⎜ − ⎟+3n + 5 ⎠ ⎝ −1 8 ⎠ ⎝ 2 11 ⎠ ⎝ 5 14 ⎠n =1 ⎝ 3n − 41 ⎞ −3111⎛ 1+−++... + ⎜−⎟=⎝ 3k − 4 3k + 5 ⎠ 10 5k − 3 3k + 2 1 − 3k111 ⎞⎛ −3lim Sk = lim ⎜ +−+⎟ = −3 /10k −>∞k −>∞ 105k − 3 3k + 2 1 − 3k ⎠⎝9(1) Представим дробь( 3x + 5) ⋅ ( 4 x − 4 )отсюда :Antiв виде суммы простых дробей :9AB=+( 3x + 5 ) ⋅ ( 3x − 4 ) 3x + 5 3x − 49 = A ⋅ ( 3x − 4 ) + Β ⋅ ( 3x + 5)подставляя в это соотношение x = −4⇒ 9 = 9B ⇒ B = 13получаем :911=−( 3x + 5 ) ⋅ ( 3x − 4 ) 3x − 4 3x + 5Скачаноспри x =5⇒ 9 = −9 A ⇒ A = −93∞∑nn =10Sk =2GTU.ru6 _ 01_15 _ 2в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке)∞( 2) ∞303015 ⎞⎛ 15=∑= ∑⎜−⎟− 14n + 48 n =10 ( n − 8 )( n − 6 ) n =10 ⎝ n − 8 n − 6 ⎠∞⎛ 1515 ⎞⎛ 15 15 ⎞ ⎛ 15 15 ⎞ ⎛ 15 15 ⎞ ⎛ 15 15 ⎞− ⎟+⎜ − ⎟+⎜ − ⎟+⎜ − ⎟+4⎠ ⎝ 3 5⎠ ⎝4 6⎠ ⎝5 7⎠∑ ⎜⎝ n − 8 − n − 6 ⎟⎠ = ⎜⎝ 2n =1015 ⎞ 251515⎛ 15−−−+...

+ ⎜⎟=⎝ k −8 k −6⎠ 2 k −7 k −8∞1515 ⎞ 253025⎛ 25−=⇒∑ 2=lim Sk = lim ⎜ −⎟k →∞k →∞2⎝ 2 k −7 k −8⎠ 2n =10 n − 14n + 4830( 2 ) Представим дробь( x − 8) ⋅ ( x − 6 )отсюда :Antiв виде суммы простых дробей :AB30=+( x − 8) ⋅ ( x − 6 ) x − 8 x − 630 = A ⋅ ( x − 6 ) + Β ⋅ ( x − 8 )подставляя в это соотношение x = 8 ⇒ 30 = 2 A ⇒ A = 15при x = 6 ⇒ 30 = −2 B ⇒ B = −15получаем :Скачанос301515=−( x − 8) ⋅ ( x − 6 ) x − 8 x − 6чаносСкаGTU.ruAnti6 _ 02 _15 _1GTU.ruв задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :(1) ∞8n − 1013 ⎞⎛ 2= ∑⎜+−∑⎟n −1 1+ n ⎠n = 3 ( n − 1)( n − 2 )( n + 1)n =3 ⎝ n − 2∞k13 ⎞ ⎛ 2 1 3⎞ ⎛ 2 1 3⎞⎛ 2+−Sk = ∑ ⎜⎟ =⎜ + − ⎟+⎜ + − ⎟+n −1 1+ n ⎠ ⎝ 1 2 4 ⎠ ⎝ 2 3 5 ⎠n =3 ⎝ n − 223313 ⎞ 9⎛2 1 3⎞⎛ 2+ ⎜ + − ⎟ + ...

+ ⎜+−− −⎟= −⎝3 4 6⎠⎝ k − 2 k −1 1+ k ⎠ 2 k −1 k 1+ klim S n = 9 / 2n →∞(1) Представим дробь8n − 10( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ( n + 1)в виде суммы простых дробей :Отсюда :AntiABC8n − 10=++.( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ( n + 1) n − 2 n − 1 n + 18n − 10 = A ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n + 1) + B ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ( n + 1) + C ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ( n − 1)Подставим в это соотношение :n = −1 ⇒ −18 = 6С ⇒ С = −3n = 1 ⇒ − 2 = −2Β ⇒ B = 1n = 2 ⇒ 6 = 3АЗначит :⇒A=2Скачанос8n − 10213=+−( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ( n + 1) n − 2 n − 1 1 + n∞∑3 − cos n4n=2n31∞сравним этот ряд с ∑n=20<∞∫x21n3/ 413/ 4∞⇒∑≤3 − cos n4n3∞n3/ 4GTU.ru6 _ 02 _15 _ 2в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :для любых n = 2,3,...

( т.к. cos n < 1) , то 2 < 3 − cos ( n ) < 4dx = 4 x1/ 4 | = ( 4 ⋅ ∞ − 4 ⋅ 21/ 4 ) = ∞ ⇒ интеграл расходитсся ⇒21расходится ( по интегральному признаку Коши ) ⇒n∞3 − cos n⇒∑тоже расходится4 3n=2n(по допредельному признаку сравнения )СкачаносAntin=23/ 4чаносСкаGTU.ruAnti(1e1n+3∞∑n =1n)−11n =1 n∞сравним данный ряд с рядом ∑GTU.ru6 _ 04 _15в задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :так как при α → 0 eα − 1 ∼ α , то при α =1n1/ ne1/ n − 1nlim n + 3 = lim n + 3 = lim= 1 ≠ 0, ∞2n −>∞n −>∞ 1/ nn −>∞1/ nn + 3n∞1∞∫ x dx = ln x | = ∞ ⇒ нтеграл расходится ⇒11⇒∑Anti1расходится ( по интегральному признаку Коши ) ⇒n =1 n⇒ исходный ряд тоже расходится ( по предельному признаку сравнения )∞в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :1 ⋅ 3 ⋅ 5...(2n − 1)3n ( n + 1) !n =1∞∑limun +1unчаносn −>∞1⋅ 3 ⋅ 5...(2n − 1)(2n + 1)3n +1 ( n + 2 ) !2n + 1 2= lim= lim= <1⇒−>∞n −>∞n1⋅ 3 ⋅ 5...(2n − 1)3(n + 2) 33n ( n + 1) !Ска⇒ ряд сходится по признаку ДаламберачаносСкаGTU.ruAntin5=0limn →∞ ( 2n ) !n5n =1 ( 2n ) !∞рассмотрим ряд ∑un +1= limn −>∞ un −>∞nlim(n + 1)5( 2n + 2 ) !n5( 2n ) !GTU.ru6 _10 _15 _1в задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :5⎛ n +1⎞⎜⎟5(n + 1) ⋅ (2n)!⎝ n ⎠= lim==limn −>∞( 2n + 2 )!⋅ n5 n −>∞ (2n + 1)(2n + 2)n5n5сходится ⇒ lim=0= 0 <1⇒ ∑n →∞ ( 2n ) !n =1 ( 2n ) !СкачаносAnti∞6 _10 _15 _ 2( −1)nx + 6)∑n (n =1 ( 3n + 1) ⋅ 3n∞Согласно признаку Даламбера :( −1)n +1x + 6)n +1 (( 3n + 4 ) ⋅ 3n( −1)nx + 6)n (( 3n + 1) ⋅ 3n +1ulim n +1 = limn →∞ un →∞n=x+63limn →∞x+63n + 1=3n + 43x+6=GTU.ruв задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :( 3n + 1) ⋅ 3nx + 6 limn →∞ 3n + 4 ⋅ 3n +1()=a ) x = −9Anti< 1 ⇒ x ∈ (−9; −3) сходится абсолютно.3проведем исследование на границе∞∞( −1)( −1)1nn−+=−=963()()∑∑∑nnn =1 ( 3n + 1) ⋅ 3n =1 ( 3n + 1) ⋅ 3n =1 3n + 1n∞∞1n1∞∫ 3x + 1 dx = 3 ln 3x + 1 | = ∞ ⇒ интеграл расходится ⇒111расходится по интегральному признаку Кошиn =1 3n + 1b) x = −3∞⇒∑∞( −1)( −1)n36−+=()∑∑nn =1 ( 3n + 1) ⋅ 3n =1 3n + 1nnчанос∞данный ряд − ряд Лейбница, так как u1 > u2 > ...

ulim un = limn →∞n →∞1= 0 ⇒ по признаку Лейбница ряд сходится3n + 1ответ : область абсолютной сходимости : x ∈ (−9; −3)Скасходится условно при х = −3.чаносСкаGTU.ruAnti6 _11_15∞∑(n + x)nnnСогласно признаку Коши :n =1limnn −>∞un = lim n(n + x)n −>∞при x < 0при x = 0nn= limnn −>∞n+ xnn+ x< 1 ⇒ ряд сходитсяn∞∑( n + 0)nnn =1n∞GTU.ruв задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) := ∑1 − ряд расходитсяn =1n+ x> 1 ⇒ ряд расходитсяnобласть абсолютной сходимости x ∈ (−∞;0)Antiпри x > 0в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :1 x −n 24∑n =1 nОДЗ : x ≠ 2Согласно признаку Даламбера :∞11⎛ x −1 2 1 ⎞1 x −n 21x−2x −2nlim un = lim4 = lim ⎜⎜ 4=4⎟ = 4 limn →∞n →∞n →∞n →∞ n nnn ⎟⎠⎝nчаносn14 x −2 < 1 ⇒ x < 2Скаответ : область абсолютной сходимости : x < 2чаносСкаGTU.ruAnti1∞∑ n⋅9n =1GTU.ru6 _14 _15 _1в задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :n( x − 1)2n1(n + 1) ⋅ 9n +1 ( x − 1)ulim n +1 = limn →∞ un →∞1n2nn ⋅ 9n ( x − 1)2n+2= limn →∞n ⋅ 9n ( x − 1)2n(n + 1) ⋅ 9n +1 ( x − 1)2n+2=(1)n111=⋅=<1⇒x ∈ (−∞; 2 / 3) ∪ (4 / 3; ∞)lim19 ⋅ ( x − 1) 2 n →∞ n + 1 9 ⋅ ( x − 1) 29 ⋅ ( x − 1) 2абсолютно сходится согласно признаку Даламбера.проведем исследование на границеa)при x = 2 / 3=1n =1n( 2 / 3 − 1)1∞2n=∑n =1∞1∞n ⋅ 9 ( −1/ 3)n2n=∑1n =1 n∞19n=∑Anti∞∑ n⋅9n =1n ⋅ 9n ⋅∞1dx=ln| = ∞ ⇒ интеграл расходится ⇒x∫1 x11расходится (по интегральному признаку Коши )n =1 nb)при x = 4 / 3∞⇒∑1∞∑ n⋅9( 4 / 3 − 1)2n=∑n =11n ⋅ 9 (1/ 3)n1= ∑ − этот ряд расходится1nn =1n ⋅ 9n ⋅ n n =19∞2n=∑чаносn =1n∞1∞область сходимости x ∈ (−∞; 2 / 3) ∪ (4 / 3; ∞) абсолютно сходится.11< 1 ⇒ 1 < 9( x − 1) 2 ⇒ x − 1 > ⇒239( x − 1)ответ : на интервале x ∈ (−∞; 2 / 3) ∪ (4 / 3; ∞) ряд абсолютно сходится.Ска(1)∞(1)arcsinx−1=x(2n-1)!!∑ (2n)!!⋅ (2n+1) xn=0x(2n-1)!!x 2nn =1 (2n)!! ⋅ (2n+1)∞=∑2n+1GTU.ru6 _14 _15 _ 2в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :(2n-1)!!x 2n − 1 =n = 0 (2n)!! ⋅ (2n+1)∞−1 = ∑( 2n − 1)!! 2 nxn = 0 ( 2n ) !!1− xx ∞∞( 2n − 1)!! 2 n( 2n − 1)!!⋅ x 2 n+1( x < 1) ⇒ arcsin ( x ) = ∫ ∑ 2n !! x dx = ∑ 2n !!⋅ 2n + 1)) ()n =0 (0 n=0 ((1) ( arcsinx )`=( x < 1)1∞2=∑Область сходимости : ряд Маклорена функции arcsin ( x ) сходится абсолютноAntiпри x < 1 ⇒Скачаносданный ряд сходится абсолютно при x < 1 .чаносСкаGTU.ruAnti6 _15 _15 _1∞GTU.ruв задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :xn( −1)∑8n − 12n =1при любом фиксированном x ∈ [0,1] ряд является знакочередующимся,nчлены которого убывают и lim un = 0 ⇒ ряд сходится и сумма егоn −>∞остатка не превосходит первого члена этого остатка по модулю.n +1x(−1) n x nRn ( x) = ∑≤8(n + 1) − 12k = n +1 8n − 12∞значит при x ∈ [0,1]Rn ( x) ≤18(n + 1) − 12взяв любое ε > 0 потребуем, чтобы11 + 4ε<ε ⇒n>8(n + 1) − 128εAnti1 + 4εмы убеждаемся, что при n > N8εRn ( x) < ε на отрезке [0,1].

Тем самым равномерная сходимостьПоложив таким образом N >ряда доказанат.к. для любого x ∈ [0,1]1≤ 0,1 ⇒ n = 2,3, 4,5,... − при этих n абсолютная8(n + 1) − 12величина остатка не превосходит 0,1 для все х ∈ [0,1]СкачаносRn ( x) ≤GTU.ru6 _15 _15 _ 2в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :Ряд маклорена функции е х можно почленно интегрировать по любому отрезку.0,3∫e−2 x 200,3 ∞∞(−2 x 2 ) kdx = ∫ ∑dx = ∑k!k =00 k =02 k +1 0,3(−1) ⋅ 2 ⋅ x(2k + 1) ⋅ k !k =0∞=∑kk∫00,3∞(−2 x 2 ) k(−1) k ⋅ 2k ⋅ x 2 kdx =dx = ∑ ∫k!k!k =0 0(−1) ⋅ 2k ⋅ (0,3) 2 k +1=(2k + 1) ⋅ k !k =0∞| =∑00,3k(−1) k ⋅ 2k ⋅ (0,3) 2 k +1− знакочередующийся ряд, для которого выполняются условия :(2k + 1) ⋅ k !k =0∞=∑1) un > un +12) lim un = 0 Значит, ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница.n →∞0,3∫e−2 x 2dx ≈ 0.2820AntiПоэтому если сумму знакочередующегося ряда заменить суммой первых k членов,то погрешность не превышает по абсолютной величине первого отброшенного члена39972u0 => α ; u1 => α ; u2 =<α ⇒105001000000∞1(−1) k ⋅ 2k ⋅ (0,3) 2 k +1(−1) k ⋅ 2k ⋅ (0,3) 2 k +139⇒∑≈∑= −= 0.3 − 0.018 = 0.282(2k + 1) ⋅ k !(2k + 1) ⋅ k !10 500k =0k =0СкачаносОценим погрешность.Она складывается из1) погрешность замены суммы бесконечного ряда на суммy первых k членов2) погрешность округления ( но в данном случае она равна 0, т.к.

во время округлениячленов ряда нет отброшенных цифр)972972< 0.001∂ = ∂ зам + ∂ окр =+ ( 0 + 0) =10000001000000чаносСкаGTU.ruAnti1 ⋅ 3 ⋅ 5...(2n − 1)3n ( n + 1) !n =1∞∑un +1n −>∞ unlimGTU.ru6 _ 05 _15в задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :1 ⋅ 3 ⋅ 5...(2n − 1)(2n + 1)3n +1 ( n + 2 ) !2n + 12= lim= lim= <1⇒n −>∞n −>∞ 3( n + 2)1 ⋅ 3 ⋅ 5...(2n − 1)3n3 ( n + 1) !⇒ ряд сходится по признаку Даламберав задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :∞⎛ n ⎞∑⎜⎟n =1 ⎝ 3n + 1 ⎠2 n +12 n +12 n +1СкачаносAnti1 1⎛ n ⎞⎛ n ⎞ nlim n ⎜= lim ⎜= 2 = <1⇒⎟⎟n −>∞n−>∞93⎝ 3n + 1 ⎠⎝ 3n + 1 ⎠⇒ по радикальному признаку Коши ряд сходитсячаносСкаGTU.ruAnti6 _ 06 _15∞⎛ n ⎞∑⎜⎟n =1 ⎝ 3n + 1 ⎠2 n +12 n +12 n +1GTU.ruв задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :1 1⎛ n ⎞⎛ n ⎞ n== 2 = <1⇒lim n ⎜lim⎟⎜⎟n −>∞n−>∞93⎝ 3n + 1 ⎠⎝ 3n + 1 ⎠⇒ по радикальному признаку Коши ряд сходитсяв задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :1∞∑ ( n + 3) ln ( 2n )2n=21n = 2 n ln (2n )∞сравним этот ряд с ∑2∞Anti1( n + 3) ln 2 ( 2n )= 1 ≠ 0, ∞limn −>∞1n ln 2 (2n)−1 ∞11=⇒ интеграл сходится ⇒dx|=∫2 x ln 2 (2 x)ln(2 x) 2 ln 41сходится ( по интегральному признаку Коши ) ⇒n = 2 n ln (2n)∞⇒∑21тоже сходится2n = 2 ( n + 3 ) ln ( 2n )∞чанос⇒∑Ска(по предельному признаку сравнения )чаносСкаGTU.ruAnti6 _ 07 _151∞∑ ( n + 3) ln ( 2n )2n=21n = 2 n ln (2n )∞сравним этот ряд с ∑21( n + 3) ln 2 ( 2n )= 1 ≠ 0, ∞limn −>∞1n ln 2 (2n)∞GTU.ruв задачнике до 2005 года издания (в мягкой обложке) :−1 ∞11=⇒ интеграл сходится ⇒dx|=∫2 x ln 2 (2 x)ln(2 x) 2 ln 41сходится ( по интегральному признаку Коши ) ⇒n = 2 n ln (2n)∞⇒∑21тоже сходится2n = 2 ( n + 3 ) ln ( 2n )∞Anti⇒∑(по предельному признаку сравнения )в задачнике 2005 года издания (в твердой обложке) :( −1)∑2nn =1 ( n + 1) 2n −1∞этот ряд знакочередующийся,чаносu1 > u2 > u3 > ...

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания