Главная » Просмотр файлов » kratnye_integraly_variant_23

kratnye_integraly_variant_23 (509696)

Файл №509696 kratnye_integraly_variant_23 (Кратные интегралы (Кузнецов Л.А.))kratnye_integraly_variant_23 (509696)2013-08-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

7 _ 01 _ 23Изменить порядок интегрированияπ 4∫ dx ∫0π 2sin xf dy +0cos x∫π dx ∫4f dy0Решение:Построим области интегрирования первого и второго интегралов.Сумма повторных интегралов равна двойному интегралу по области D = D1 + D2 .Изменяем прядок интегрирования. Т.к внешнй интеграл теперь берем по y, топроектируем область D = D1 + D2 на ось Oy . При этом получим отрезок [0;1/ 2 ],концы которого дают пределы интегрирования по y : 0 и 1/ 2. Из уравнений линийвыражаем x через y. Для y = sin x : x = arcsin y , для y = cos x : x = arccos y.π 4∫ dx ∫0π 2sin x0f dy +cos x∫π dx ∫40arccos y1/ 2f dy =∫0dy∫arcsin yf dx7 _ 02 _ 23Вычислить:∫∫ ( xy − 4 x y ) dxdy;33DD : x = 1, y = x 3 , y = − x .Решение:Построим область интегрирования.

Подынтегральная функция - многочлен по x,y,поэтому ее легко интегрировать в любом порядке. Если в повторном интегралевнешний нтеграл взять по y, а внутренний по x, то область интегрирования придетсяразбивать на части, т.к. левая граница области интегрирования состоит из кусков двухлиний.

Если же проинтегрировать сначала по y, затем по x, то область не нужно разбиватьна части. В этом случае проецируем эту область на ось Ox, получаем отрезок [0;1],значит, пределы по x равны 0 и 1. Пределы интегрирования по y: y = − x , y = x 3 .1x31∫∫ ( xy − 4 x y ) dxdy = ∫ dx ∫ ( xy − 4 x y ) dy = ∫ dx( 1 2 xy3330D1− x30(2−x y34)11= ∫ (− x 2 + x 5 + x 7 − x15 )dx = − 1 x 3 + 1 x 6 + 1 x8 − 1 x16661616220x3=− x)10=07 _ 03 _ 23Вычислить:∫∫ y sin 2 xy dxdy;DD : y = π 2, y = 3π 2, x = 1 2, x = 2.Решение:Если при сведении двойного интеграла повторный интеграл взять по y,то для его вычисления придется дважды интегрировать по частям.

Чтобыизбежать этого, сначала проинтегрируем по x, затем по y.∫∫ y sin 2 xy dxdy =D3π / 2=∫π/23π / 2∫π/22ydy ∫ sin 2 xydx =1/ 211(cos y − cos 4 y )dy = ( sin y )223π / 2π /23π / 2∫π/22⎛ cos 2 xy ⎞ydy⎜ −⎟ =2y⎝⎠ 1/ 21 sin 4 y ⎞− ⎛⎜⎟2⎝ 4 ⎠3π / 2∫π/2y1(cos y − cos 4 y ) dy =2y3π / 2= −1 − 0 = −1π /27 _ 04 _ 23Вычислить:⎛π⎞∫∫∫ x sin ⎜⎝ 2 xy ⎟⎠ dx dy dz;2V⎧ x = 2, y = x, y = 0,V ⎨⎩ z = 0, z = π .Решение:Т.к. подынтегральная фунуция не зависит от z, интегрирование нужно начатьпо переменной z, при этом пределы интегрирования по z равны 0 и π . Еслизатем интегрировать по x, то придется дважды интегрировать по частям,поэтому проинтегрируем сначала по y, затем по x.

Очевидно, что пределыинтегрирования по y будут 0 и x, по x - 0 и 2.π⎛π ⎞⎛π ⎞⎛π ⎞x 2 sin ⎜ xy ⎟ dx dy dz = ∫ x 2 dx ∫ sin ⎜ xy ⎟ dy ∫ dz = π ∫ x 2 dx ∫ sin ⎜ xy ⎟ dy =∫∫∫⎝2 ⎠⎝2 ⎠ 0⎝2 ⎠V00002π xy ⎞⎛⎜ cos 2= π ∫ x dx⎜ −2πx0⎜⎜⎝222x2xx22⎛⎟⎛ π x2π x22 2π=−=−xdxx(1cos())21cos⎜⎟∫0 π x∫0 ⎜⎝2⎝ 2⎟⎟⎠0⎛π x2 ⎞ = 4 − 0 = 42= ⎜ x 2 − sin⎟π2 ⎠0⎝⎞⎞⎟ ⎟ dx =⎠⎠7 _ 05 _ 23Вычислить:∫∫∫ 63 (1 + 2 y ) dx dy dz;VV : y = x, y = 0, x = 1,z = xy , z = 0.Решение:Область интегрирования представляет собой вертикальный цилиндр,ограниченный снизу плоскостью z = 0, сверху - поверхностью z = xy .Построим проекцию области интегрирования на плоскость Oxy. Пределыинтегрирования расставляем по рисунку.1xxy1x00000∫∫∫ 63 (1 + 2 y ) dx dy dz = ∫ dx ∫ dy ∫ 63 (1 + 2 y ) dz = 63∫ dx ∫ (V1x1)xy + 2 x y dy =1⎛2 2225/ 2 ⎞⎛2⎞⎞= 63∫ dx⎛⎜xy 3 + x y 2 ⎟ = 63∫ ⎜ x + x ⎟ dx = 63 ⎜ x 3 + x 7 / 2 ⎟ = 14 + 18 − 0 − 0 = 323⎠7⎝9⎠0⎝3⎠000⎝7 _ 06 _ 23Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями:x = 27 − y 2 , x = −6 y.Решение:Найдем точки пересечения графиков функций:27 − y 2 = −6 yy 2 − 6 y − 27 = 0y=9y = −3S = ∫∫ dxdy =D927 − y 2∫ dy ∫−3−6 y9dx =∫ dy( y )−327 − y 2−6 y9⎛y3 ⎞= ∫ ( 27 + 6 y − y ) dy = ⎜ 27 y + 3 y 2 − ⎟3 ⎠−3⎝9= 2882−37 _ 07 _ 23Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями:y 2 − 6 y + x 2 = 0,y 2 − 8 y + x 2 = 0,y = x, x = 0.Решение:Два первых уравнения легко преобразовать к виду:( y − 3) + x 2 = 92( y − 4 ) + x 2 = 162Эти уравнения определяют окружности.Введем полярную систему координат:⎧ x = r cos ϕ⎨⎩ y = r sin ϕОкружность y 2 − 6 y + x 2 = 0 имеет полярное уравнениеr 2 sin 2 ϕ − 6r sin ϕ + r 2 cos 2 ϕ = 0.

Откуда r = 6sin ϕ . Аналогичноy 2 − 8 y + x 2 = 0 ⇒ r 2 sin 2 ϕ − 8r sin ϕ + r 2 cos 2 ϕ = 0 ⇒ r = 8sin ϕ .Прямая y = x имеет полярное уравнение r sin ϕ = r cos ϕ .Откуда tgϕ = 1 ⇒ ϕ = π . Аналогично4x = 0 ⇒ r cos ϕ = 0 ⇒ cos ϕ = 0 ⇒ ϕ = π2Тогда площадь фигуры будет определяться по формуле:8 sin ϕπ /2π /2⎛ r2 ⎞S = ∫∫ dxdy = ∫ d ϕ ∫ rdr = ∫ d ϕ ⎜ ⎟Dπ /4π /46 sin ϕ⎝ 2⎠π7= ⎛⎜ 7ϕ + sin 2ϕ ⎞⎟2⎝⎠π24⎛1 π ⎞= 14 ⎜ + ⎟ ≈ 9⎝4 8⎠8 sin ϕπ /2=6 sin ϕ∫ 14sinπ/42ϕ dϕ =7 _10 _ 23 _1Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:x 2 + y 2 = 18, x = 3 y , x = 0,z = 0, z = 10 y 11.Решение:3V = ∫∫∫ dx dy dz = ∫ dyG=035 ⎛x4⋅ ∫ ⎜18 − x 2 −11 0 ⎝918− y 2∫3y10 y /11dx∫0310dz = ⋅ ∫ dx ⋅11 018 − x 2∫x23⎞5 ⎛x3 x5 ⎞ 3=⋅−− ⎟ | = 18dx18x⎟⎜11 ⎝3 45 ⎠ 0⎠2 ⎞3⎛10 ⎜ ⎛ y 2 ⎞ 18− x ⎟y dy = ⋅ ∫ ⎜ ⎟ | dx =11 0 ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠ x2 ⎟⎟3⎝⎠7_10_23_27 _11_ 23 _1Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:x 2 + y 2 + 2 x = 0,z = 17 4 − y 2 , z = 0.Решение:Перейдем к цилиндрической системе координат:⎧ x = r cos ϕ⎪⎨ y = r sin ϕ⎪z = z⎩−π / 2V =∫π/2dϕ17 / 4 − r 2 sin 2 ϕ0∫ϕr dr−2 cos∫−π / 2dz =0∫πdϕ0⎛ 17∫ ϕ r ⎜⎝ 4−2 cos/23π23π222⎛ ⎛ 17r 2 r 4⎞ −2 cos ϕ ⎞= ∫ ⎜⎜− ⋅ sin 2 ϕ ⎟ | ⎟ ⋅ d ϕ =4π ⎝⎝ 8⎠ 0 ⎠⎛ 17∫ ⎜ ⋅ cosπ ⎝ 22⎞− r 2 sin 2 ϕ ⎟ dr =⎠⎞⎠ϕ − 4 ⋅ cos 4 ϕ ⋅ sin 2 ϕ ⎟ ⋅ d ϕНайдем интегралы :3π23π23π1 + cos 2ϕ⎛ ϕ sin 2ϕ ⎞ 2 π3 ∫ cos ϕ ⋅ dϕ = ∫⋅ dϕ = ⎜ +⎟ | =424 ⎠π⎝2ππ223π2∫π3π2⎛ 1 + cos 2ϕ ⎞cos ϕ ⋅ sin ϕ ⋅ dϕ = ⋅ ∫ ⎜⎟2⎠π ⎝422=222⎛ 1 − cos 2ϕ ⎞⋅⎜⎟ ⋅ dϕ =2⎝⎠21⋅83π2∫ (1 + 2 ⋅ cos 2ϕ + cosπ2ϕ ) ⋅ (1 − cos 2ϕ ) ⋅ dϕ =221= ⋅83π2∫ (1 + cos 2ϕ − cosπ21 ⎛sin 2ϕ ⎞2ϕ − cos3 2ϕ ) ⋅ dϕ = ⋅ ⎜ ϕ +⎟−8 ⎝2 ⎠2−1⋅163π213π2∫ (1 + cos 4ϕ ) ⋅ dϕ − 16 π∫ (1 − sinπ222ϕ ) ⋅ d ( sin 2ϕ ) =23π⎛1 ⎛sin 2ϕ ⎞ 1 ⎛sin 4ϕ ⎞ 1 ⎛sin 3 2ϕ ⎞ ⎞ 2= ⎜ ⋅ ⎜ϕ +−⋅ϕ+−⋅sin2ϕ−⎜⎟ ⎟ π| =⎟⎜⎟82164163⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎠⎝23π⎛ ϕ sin 3 2ϕ sin 4ϕ ⎞ 2 π=⎜ +−⎟ | =4864 ⎠ π 16⎝ 162π17 πV = ⋅ − 4 ⋅ = 4π2 4167_11_23_27 _12 _ 23 _1Найтиобъем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:x = 5 y 2 − 2, x = −4 y 2 + 7,z = 4 − 2x2 + 3 y 2 ,z = −1 − 2 x 2 + 3 y 2 .Решение:1V = ∫ dy−14− 2 x2 +3 y 2−4 y 2 + 7∫5 y2 −2dx∫−1− 2 x 2 + 3 y 21−4 y 2 + 7−15 y2 −2dz = ∫ dy⎛ y3⎞14= 45 ⋅ ⎜ − + y ⎟ | = 45 ⋅ = 603⎝ 3⎠ −1∫15dx = 5 ⋅ ∫ ( −9 y 2 + 9 ) dy =−17_12_23_27 _13 _ 23Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:z = 16 − x 2 − y 2 ,z=(x2+ y 2 ) 15.Решение:Перейдем к цилиндрической системе координат:⎧ x = r cos ϕ⎪⎨ y = r sin ϕ⎪z = z⎩Найдем линию пересечения графиков функций:⎧ z = 16 − x 2 − y 22222⎧⎧z = 1⎪⎪ z = 16 − ( x + y )⎪⎧ z = 16 − 15 z⇔⇔⇔⎨⎨⎨⎨2222222⎩ x + y = 15⎩⎪ x + y = 15 z⎪⎩ z = ( x + y ) 15⎪⎩ x 2 + y 2 = 15 z 22πV =∫ dϕ016 − r 215∫r dr0⎛ 1= ∫ dϕ ⋅ ⎜ − ⋅⎜ 20⎝2π2π=∫0∫ dϕ0r / 1515∫ 16 ⋅ dϕ = 32π0∫2πdz =1516 − r 2 −016 − r ⋅ d (16 − r2⎛∫ r ⋅ ⎜⎝152)− ∫0r ⎞⎟ dr =15 ⎠3⎞ 2π⎛ 1r 3 ⎞ 152 2dr ⎟ = ∫ d ϕ ⋅ ⎜ − ⋅ (16 − r ) −⎟ | =3 15 ⎠ 015 ⎟⎠ 0⎝ 3r27 _14 _ 23 _1Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:z = 22 ( x 2 + y 2 ) + 3,z = 3 − 44 y.Решение:Перейдем к цилиндрической системе координат: x = r cos ϕ y = r sin ϕz = zНайдем линию пересечения поверхностей:22 ( x 2 + y 2 ) + 3 = 3 − 44 yx 2 + y 2 = −2 yПерейдем к полярным координатам:1.

x 2 + y 2 = −2 y ⇔ ( r cos ϕ ) + ( r sin ϕ ) = −2r sin ϕ ⇔ r 2 = −2r sin ϕ ⇒22r1 = 0 , r2 = −2sin ϕ2. т.к. r = −2sin ϕ ≥ 0 , то sin ϕ ≤ 0, значит, ϕ меняется от π до 2πЗапишем уравнения поверхностей в цилиндрических координатах:(3. z = 22 ( x 2 + y 2 ) + 3 ⇔ z = 22 ( r cos ϕ ) + ( r sin ϕ )22) + 3 ⇔ z = 22r2+3z = 3 − 44 y ⇔ z = 3 − 44r sin ϕV =2π∫ dϕπ2π−2 sin ϕ∫3− 44 r sin ϕr dr2π4−−2 sin ϕ2π∫ dϕ ⋅π22 r 2 + 30∫ dϕ ⋅  5, 5 ⋅ rπ∫dz =∫r ⋅ ( −44r sin ϕ − 22r 2 ) dr =044 3 −2 sin ϕ⋅ r ⋅ sin ϕ  | =3 02π2π∫π88⋅ sin 4 ϕ ⋅ d ϕ =32π8888  1 − cos 2ϕ 88 1=⋅ ∫ sin 4 ϕ ⋅ d ϕ = ⋅ ∫ ⋅ ⋅ ∫ (1 − 2 cos 2ϕ + cos 2 2ϕ ) ⋅ d ϕ = ⋅ dϕ =3 π3 π23 4 π22π=2π88 188 188  14 sin 4ϕ  2π⋅ ⋅ (ϕ − sin 2ϕ ) | + ⋅ ⋅ ∫ (1 + cos 4ϕ ) ⋅ d ϕ = ⋅  (ϕ − sin 2ϕ ) + +| =π3 43 8 π3 4832  π=88  1  3ϕ1  2π⋅ − sin 2ϕ + sin 4ϕ   | = 11π3 4 28 π7_14_23_2.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
937,07 Kb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее