Вариант 10 дифур (509580)
Текст из файла
Саачани а Ы!и!1!ни!!я!гии .гиии к~~5 .г- у' 12! —: ус4. к гг! = 0 0 )г н 0)гйг.г г г, 1 гДнфф!. [1С1Я1яйл ьныс .'~гаанения! 2007 Данный мйгсрлйл нодготоялен нй нринцннах ннформацнонноконсультаннонно1о материала с целью закрецлення у икольнюиж и студентой наныкон нраь"гн н.ской рсгьтнайт!Ян йнйннй. Ярногбрст'."'Ян!1х В ОбЪСЬЮ КурСа НО Теме ГГДИффсрсицНВ!1ЬНЫЕ урааисинягь КаетОЛИН!!! ма!е11нйл цредусматрнййет 1ннрокую Вариативность прнеьигл н мсюдоя закрснлення гюлного курса В объеме семестра но ра!лелу «Дигффсре!ГНИ1ШЫ1ЫС урайнсиияи В НВЫСШЕй Ма1СМан!Кса.
Рекоменду !ся нтуненяе данного материала в соност11вленни Всего объбчш нречрюакеяных ре1нений. й серии иредстаалены консультационные нособия ио следуюптнм темам: ИнтсгральнОс нсчнслсняс Дифференшгальные уравнения Ератныс янтс1~1ю1ы и Ряды теория Вероятностей а Пределы 1'ФК12 и Лнжн1тя гсская 1'1*,Омст1!ия ° Лнясй1нйя йлгебгю Векторны!! анй.!Яа Ртлемснть1 теории ноля) Найти Об!Ннй интеграл длфферснцнйльнОСО урайнсння. 00)1аст ЛРЕЛСТВВН1Ь В Видс г!Г1к,у! = С.! Данное уравяеюю янлясгся уравнением с разделиощнмися ларем!.Янымн. 11рсОбрааусы с1О к слсдуюц1смгу Виду: к~5 1- у ат =.
-уь!4 ! хггу! !Вцншеы дяфференциаль1, каь обшне мнолжтеля хьг~ -- !.121г !к ' 4 ~5';у Проннте3 рнруеы леВ'НО н нраВткг а1стн Вь1ра1ксння: — — — — -Г ---;.,— ' 1Ь1т г -- !ТУУ -0.5Дл.', 4) г — 0.517(У +51 с'.т +4 0!5 '-у йх +4 фьу В!ЛВ 1тн интегралы, мы лолу 1иа! Об!Цнй Янтегрен! данно! О урйннсння, т. с. совокупность рс1нсний В неяаном Виде: 0.5 2.сгх - 4=а-05 2 д!у'+5, С Ирнаедсм решение к требуемому виду: 05-2 и1х! 4 = — 0.5 2 ууд +5+!." = =а С Х ' -: 4 + .,гу ' -г 5 -.= С 1й '!тоы Выргааксянн !2 — нро1г1ВО!1ьнйя конг.1йнта Вада»В Н:11»т»» 061пии ИИЪОГОВл )н»фферен»»иалы»ОГ»ъ у)к»ииенйя 1. О«ь ')то лиффсреипйл:1ьпОс «:равнение наъывйется Одно)»Одным «»111«ъсн'1ел1 НО х и ", 1 сииать «10 следуе1 «1нъмопийо СЛСЛ;Липой 1й«»Е»»Ь» НСРЪСМЕИНОК: 3 х ъ.бхт 1 -- «= -О У .== = ' Х вЂ”.-' Х(Х Ч Х- 1== — —, Х' + ~)рО»1))ъоъъус«1 лаийос «)ъзвйеиие.
«Чптыиая ч»о: +3 «1)т == 1 ' —,— --- ТМх -:, ттх 2" ".3 'х +3 У иес БОль'чнлОсь уравнение с )й»ъделмин»н»ыися пе)ъсмсниымй. реп»нм сто: «)т (2 + .«)Ы" т =' (-1 Т) ПрОпйте»3ы»руем леву»0 и прЗВу»о части: «(т Я( ' ъ' 3) ох 1 1 ~ — = 1 — ' —,—,— — "= (И~.~=О.ф —, — —,)4(1)= .х: (Х +3) Х В +3 =- 211»)ж) = )пх -ь )п(х»+3)+С Мы пол'1'«И1лн О«йщй)) интеГ)ъал дифферен»)нальи01 О уравнения. Представим его В Виде «(*(к,у) = О: 21нр', =-1их'+1п(х'+3)+О=: х» =Ах (х —:-3) О Х Х' х (х 13) 1" (у +Зх ) В 'х»О«1 Вы)»В»ненни А='е — прои»1иьтьн»ТЯ кОйстанта. С Т* Ответ: —;- — „—. = А у)у +3х) Пай~~ «ътъпн» й и1 Стет)ъ«т1 диффе)ъейннальиото «равйейня: Х'1 «т — „ъ Найдем »очку пересечения прямых х+ 2у — 3 =- В и 4х- т-.» = й. Это ТОчкл с ко«ъ»ъдйиатамй ('1,1). Перенесем начсн»о кос)ъдий»й в "Ъть' „11«п,.'ъ т е 1 д«,лаеь1 ъаь»си'«*' й =у — 1.1: = х — 1.
В новых перемейных уравнение будет ВЫГЛЛДЕТЫВК: У»11 и» ' — Ъ Т) и 4(т+ 1) — и — 1-3 4»" — и Сделаеы «'ше Оди)' замен)с И=Те "И =-1+«Ч Получим: 1 ч 21, 1 — 2) +11 (у — 1)1 ).Ь«1 =- = »1'=- — — — =— 41 4 1 41 (4 — «)т(1 «1«' (1 — 1) Проннтетрируем леву»о н праву»о части: (4 — »й)1 1«)ь 1, Гс(('1 — П вЂ” — — ~ — =ъ (4 — 1 =- 3 — (1 — П) =- -(п~т) = 3 ) — —,— (( — 1)1 ~((-1)1 то(1 — 1),, — 3,, „,, 3 — 11 — — — =о )й1«) = — --- 111)» — 1', ВО =о (п)«(1 — 1))+ - = О ~ " (1 — 1) ' ( — 1 ' (-1 ..Ф 1О)(о — ь')~ + — =- С "' 1П11 1' — х)) -~.
Π— Ь. и — Х В что«я« Вы)ъзжейин А — прОиъВОльиая кОнстантз. 3 Ответ: 1и)(у — х)(+ — — = С 1» — Ь Нанти рспюние тадачн КО1пн: г'-:- -:, у.= — — --,-, у(0)=- 1-,'- т 1-~ х 3 ')1О Линейное лифференпиапьиое уравнение.
Его реп1ение находи вся с помоптью )гашения соотве3С1втющих О/птороюгсп о и неоднородного уравнений. Снача:щ репшм отиоро.пюс уравнение ) -:-2ху Н1'.— х ) =-0 1!рсоорату си данное Л авненне. учитывая что ) ' = цт ' дх: Ь ' у .-.- -~)х,' 'х Про|ите1 !Хн)ъуем Левую и правую части.' Й: - "н/х — '- = — ~ -:- —, .=ь 1п у = -1пП + х ) + А =~ у = — —, я 1+х 1+я' Решим неоднородное уравнение методом вариации. Для угого проитведем подстанОвку: у =С(х)/(1+х ) Тогда: у'= — 2хС(х)/(1+х ) +С(х)/(1-ьх')=~-2ХС(х)/(1+х ) + +С'(х)/(1+ х')+ 2хС(х)/(1+ х')' = 2х'/(1+ х') =~ =~ С'(х) = 2х' =е С(х) = 2х' /3+ В Подставив получивгпуюся функцию С(х) в выражение для у(х), пОлучим следующий реаультйт1 у =(2х'/3+ В)/1+ха В агом выражении  — произвольная константа.
По условию у(О) = 2/3 . Из чего следует: 2 2х'/3+2/3 2 х" +1 В= — =: у= 3 ' !+х 31+х 2 х'+1 Ответ: 31+х- у! = я/4 ")то линейное дифференциальное уравнение. Его решение находится с помощью решения соответствующих однородного и неоднородного уравнений. Сначаяа решим следукнцее Однородное уравнение: Проинтегрируем левую и правую части: ~ — =- — 2 ~ — .=~ 1п1х1 = — 2 1и!у1 + А ~ х = Су -' Репп1м псодноро.шое уравнение: Йсппльзусм метод Варижгии н произйелем сяелуюшум полстановк). '1гнда: гу)) х' — - -21)у)) '.-1'З))у -.~-20у)) '-~Г"'1у)т -ь2 — — '- = Зсов т-. Ть)п; =-' С)т).=Зу соя2) -2т'Вш2т =, В этОЯ выразкенпи  — в ройзВОльйая константа.
Учитывая, что Х1кт4) = и получаем Решить задачу Коши: Зу'В2ху ="ху 'е" ' у)О) =-1 Произведем следукпйую замен)' переменнОЙ'. к — -- у' э г' = Зу-у' т(П) = — 1 Запишем уравнение в новых переменных: Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решать его придется методо~ пройзвольйоЙ вариапни постоянных. суп которого заключается в том, по решается однородное уравнение, а затем константа, появившаяся В результате интегрирования. объявляется фу йкпией х й решается йеоднородйое уравнение. Найдем обшее решеййе одйородйого уравнения: Перейдем к уравнению с разделяюптнмися переменными, Йк учитывая. чтО к Йх Реален неоднородное у(гааненйе; 1(саольтъ«и катод ла(н,аилн л(~~нтвольнь~к логдолнйгак и Брпитведега след;"валун~ Бодстайоакът л =- С (х(с (..'(х(е " — 'хС.'(х)е"' ь2хС(х(е ' = 2хеса С(х1 =- (2хе"' с1к = — с ' + А =е а = — е " + Ае " .=ь =, "у=~ — е" +Ае' В атом аыраженяи А — произвольнам константа.
Учитывал, что к(01 = -1 лолучаеко Р'.,', =- — --;- ь О'(у1 = — —; ~ ь1'(у1 = О =ь 6(у) = сола( Х' Х-' Тогда ойцнй интеграл будет аыгллдеть следутощлм обрааоьа В атон выраженнн С вЂ” произвольная константа. Для .шнного днфф«рснпнального уравнения методом июклнн построить интегральную крнвуз»«ь проходяш)чо через з Очку М: х — у йхуу" = и. М) "»!) г)ос»»»н1ьз»»мсЯ тсм.
'гто У' '.!й(»«Ь 1дс н - Угол наклона касагс.п,ной к нн г»ч рщп,н«УГ1 крн»~»»й в заданноГ1 гочка. )йарьнр)я угол «а мм можем п«»сг)ншгь гюле направлений, а зг1ем провести чсре» заданную н»чку ннтегр»тзьну1«» крпвуьх Форм»ма 'шя пост(я»епвя поля направлений бу«пе~ выглядеть сл»ду юнцам ООразом: у =- х(яьп а+1) ''соя»х 1-!я прнвсдеинОм ниже рисунке построена искомая гпггегральная кровна н часть векторов поля направлений ллЯ ЛВУК значений»:гла м(Я 4, -Я)4): 1'!а"'т" линию» проходящую "чеРез точку Мя, если отрезок л|ОбОй е«НОрмалн.
заключенный межд) ОсЯми коо!злннан делится точкой линни в отношении а:Ь (считая от осн Оу): Мя(2.-1), а:Ь =- 3:1 ) р и ад и к фу н к ни н 1 ( к ) в г» з «| 1 у(х) = Г(х„) —, (х — х„, ) Т'(хя) Расом«зтрнм пронавольную то~к~ М. При наазежащую н»»комой линни: М(х, Г(х)) Точки пересечения нормали к искомой кривой в атой точке с осями координат обозначим Ь) и Р: гч(О, Г(х ) — х )Т "(х)) — пересечение с Оу Р(х+ Т(х ) !'(Х),()) — пересечение с Ох По условию отрезок Ь(Р дели гся точкой М таким образом» М)») а — = — ~ а.
МР = Ь- М»х) МР Ь Тогда: ВДГ(х) Г(х))" з-Т'(х) =Ь~х'+(х)Г"(х)) Возведем «збе части пол~,'чнвшегося уравнения в квадрат: аьр (х)((,1'(х)) з-11 — -Ь х' !+~ —,— ~ Г Г'(х) Преоб)ьзауеы п)я1вую часть уравнения: — 1= Ь'. ' 1 ! 1,,) (1'(х)) +11 1,Т'(х)~ 1 ~ (Г'(х))* Тогда произведем следующие действия; , Х(Г(х))1 ~13 Ь'х ~ — ' —,-~ =а Г (х)((Г*(хф ь»1= (Г(х)) Ь|х,, Ь х -- — '- —, =- а 1' ( х) == -- — '-- = аа Г( х) (1'(х)) 1 (х) )то уравне1пге можно привес|'и к внл) уравнения с 1«азлсляяя1|нмися переменныыи: 1)1(х) Ьх =- ": а» ( х ) --- -'- =-" 1( х )1»Г(х ) -:= .: -- «Х)х йх ' а Нрщппк|-рпровав оос «асти цщ о уравнеюи.
получим стедук«щйе яыраженця". Г гЬ, Г" (х) Ьх ' Г(х)1)Г(х) =-~~ — хйх -..~ — — '- =-+.— '— — «-(:" —.« а 2 2а ГЬ -.~ Пх) =-+х ' — ~-С Найдем С из условия, по Г(х) проходит через заданную гочкя "«|я' Найти общее решение дифференциального урави ння; Я с)Ь2х.= 2Я" 'Это дифференциальное уравнение 3-го порядка.
Оно не содержит в явном виде у и первой производной от у. Таким образом, данное дифференциальное уравнение допускает пОннжение степени с помОщыО следующей замены переменной: х=я =зя =т Тогда уравнение будет выглядеть так: х'с)Ь2х = 2Я Преооразуем данное уравнение, учитывая что я = —: 1»Х дх г)я 2яЬ 2х дх я сЬ2х Мя(2.— 1) г„-, 1 С = 2Л вЂ” 1 =е --1=+2~3«+ С =а :Ь=3: ~С==Л-» 1'аким образом, искомая линия описывается одним из следующих уравнений (они оба удовлетворяют условию 'зада~|и ): хз|3 — 2Л вЂ” 1 1(х) =! „' — я~3+ 2;/3 — 1 „.Д' 2,Г3 Ответ: Пх) =1 ~ — ха)3«+ 2«3 -1 Мы получили уравненне с разделяющимися переменными. Проинтегрируем левую н правую части: 1»х 2яЬ2Х«)х — =. ! п!я~ = »п!сЬ2Х»+ С = х сЬ2х =э Я = Асй(2х) =~ у' = А ~сЬ(2Х)1»х = — ьй 2х + В .=а А 2 гА „А ~ у = ~( — 'Я»12Х з-В)1»х = — сй(х)+ Вх+О 2 2 В агом уравнении А, В и 0 — произвольные конста«1тьь 'Задача 11 1Ы1ти рс1асннс Задачи Кеши: та 11прслслпи таачснис инастайты Рс 1 13 у1 21-- 1 =- 2 ч  — — — - ~ В =.
— --"- 6 1113Онтаедсм сч дующую ааиену персменнпи; Проиитетрирусм левую и правую части уравнения: ~рдр = ~72у'ф =- р-'12=18у'+С Задача 12 Найти оошее решение дифференциального уравнения: у" +Зу" ьу" =Йх Зто неоднородное лт1не13ное дифференциальное З»равнение 4-Го» 1юрядьа. Его решение является суммой общего решеиия однородного удлинения и частно1 0 решения неоднородно1 о, Найдем общее решение, лля чего составим характернстическОе уравнение: а" +2а1+а1 =-О=: а,1 =Оа„= — 1 Тогда общее решение будет выглядеть так: у = Л + Вх+ 1С + 13х)е ' 1Ь1йти Общее рсш»»ине диффс~'.Нциа1и и»»Г1» уравнения: ъ -Зъ -Зя =Ййхе' 1то неолиО»ин1н»»е ГНН1е1П100 лнфферснпийяьнОе урявн».пне '-*0 пОрялка.
1ЬО рсп1ен1м явля».1ся суммой»»Оп101»1 1я*111011ня»го1нор»»„'ннн'1» ур11йнен»1я и чястн01'0 рснгеиия Оеодн01толпо1'О: .»- 1 1ЬН1;:щм Об1нее ргнн» ни»;. 11ля ч».ГО со»навин харак1ернс1н»шское уравнение г» -ЗХ вЂ” 2 =-О Теперь нам нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Будем искать его в следующем виде: у = х (ах + Ьх ее) Подставив зто выражение в исходное уравнение, получим следующие значения козффициентов а, Ь и с: 1 Й а = —,Ь = — —,с =12 3' 3' Тогда полное решение дифференциального уравнения будет ~ахи~: х 8 у = А+Вх+1».'+ 13х1е '+ — ' — — х +12х' 3 Ответ: у = Л + Вх + (С, + 13х1е " -1 — — -- х +12х >;" 3 3 3 То~да общее решение однородного дифференциального уравнения будет вьн лядеть следуюганы образом: у...
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
