Вариант 10 дифур (509580), страница 2
Текст из файла (страница 2)
=С, с'+С. х.е "+С1 е1» Найдем частно~ решение неоднородно1 О уравнения. Будем искать его в следующем виде: у„„= 1а+ ЬЯ1е" ЗЯП1ппем первые три производнь1е 1того решения: у'„„=ае» ж Ьхе» +Ье' у"„„= ае' ч Ьхе" ь Ье' +Ье' = ае'+ Ьхе' + 2Ье' у"„„= ае' + Ьхе' + Ье" + 2Ье» = ае" + Ьхе' + ЗЬе" 1" - х:= 3 соя 3х — 3 Я 1Й Зх ) — 4Ь=-4 1 — 4Й =-0 =+1 А,= — 1 у, =-С,соах+СГЯ1ох ПО11с.1ЙЙНИ Й1стнос рейсеине В исхолное уравнение и войдем ко1фф~щйенГВ1 а и Ь: ас' "Ьхе' *ЗЬС' --3(ае'+Ьхе" +Ьс') — 2И1 Я-Ьх~е' = — 4хе'" =-> Я~Ь вЂ” ЗЬ вЂ” ЗЫС' +(а Я-ЗЬ вЂ” За — ЗЬ вЂ” За)е' = -4хе' Рей1ейиеи т1ой систся1ы будут слелуюшие знаиення а и Ь: 11олстаанх1 асн лнаисния В формулу лля частнОГО рей1енил неодиор1ОН1ГБОГО '1'раВнения и наиде1И ВГО; 3'осла Йолное рен1ение лнфферении~~иОГО ураанення ОУДЕГ ТЛНЙМ: у=-у Ву...,=-С,.с'ВС1 х.е'+С, е'Вхе' ЗМЙ 1Л 14 1:1Й111Й Обикм.* Г' Йиенне 'Йирфсрснцй1ЙЙ1 ЙО1'11 храВЙеиия1 110 ис1ттнО~Тотй11с 1!1Й1с11Й~'с !11ффс~1ей101ал1иое 1ЗЙ1ансйис .;-Го ЙО~1хлха.
Ь1О рс1исйис ЯВ,ЙГО1сЯ с1ммой о11Й1с1О реныо11я ОЙ11ор111ЙЙЙТ~ уря1Й1сиия н:1ос111ОГО ревк ноя 11СОЛИ11ЙО;1ЙОГ:1: )1Л11де 1 О11Й1ес рсц1снис. для Й.*ГО состааниа хирахтсрист11иескс1С ураанснне: 11айлех1 иастное ретйенне неолнОролноГО урааиенпя, Йрих1ейиа Й1?инций сутсер1тОаицни. 14айдех1 иастньк рен1ения для каждОГО слаГВСНОГО иа состааляклпнх ЙраВу1О наста с1ифференциалы10ГО ур 1анеиия 3 ..
1 у,,„=: — а1п 3 х — "- соа Зх )) 4 1 — Зе)" у ау = — ЗВ1ВЗх: у =1п)~— Р!311 ~ ! — 3!СОВЗх+)явах!1 3 -1ш - - -- — '=-В1пзх -з )' 2е"' у" +у =-2СОВЗх:у =Й.с~в ) Р131)3 у 2(сов Зх + ) В1п Зх13 = йе! -" — — ''-'- — — ' ' = — — совЗх -з Согласно принципу супсрпоаиции, частное решение неоднородного уравнения будет равно сумме частных решений для каждого слагаемого: у = у, + у, = С сов х е С, яп х + — вгп Зх — — совЗ х Ю ) ' )" 3. „1 Ответ: х = С, совх ьС. В1пх+ — В1ПЗХ вЂ” — совЗх * ' Я 1 Задача 15 11)))1тн ОО)пес рспген)ге днф)!Геренцнго)ьнОГО уравнения: 3))) нс»лн))родпос )пп)с11н))с лп)ффереппиал) нос ур))внсппс и)'рял)п).
".) )) и) )пенне яв,)ястся с)м)В)й сбп)с)1) р))лсння )),)но)та пюго Нхья))ения и ч)с)ного ршпснпя ) ) С ОГН ) О ВОЛН О) 'О: Нанлсм обшсе рс)ление,;пгя чего составим характерно) пческОС ъ раигенпс: Корни характерпстического уравнения: Тогда обшее решение однородного дифференпиальиого ур))аления оудет ВыГлядеть следуюшим ООрааом: Найдем )астное решение неолнородного уравнения, применив принцип супсрпоанпни.
Для этого ралобьем праВую часть днфференпиальнОГО ураВнения на прОстые сл агаем ью: '1ОП1и РСИ1сиис залачн ЕО1пп; у *1б1 -. 101И 3 1 5 т' — азн = '2:5с": у = — — = лхс" Р'15) Согласно принципу суперпозиции, частное решение иеоциоргзЛЛОГО ураанения бупет раано1 сума5с ~~~~ни~ рсгпсиии для каждого слагасазого: , -5х у = у„, + у,,„=С, +С, с ' +5ХС + —— 4 У" -- Г1У' -1-35 + С у51)~ =-1-51555 31О 5Н5одио1И1дпос 51иисйи1гс лиффсрспциальиос зр1аисий1.' 2-1О И5нзадиа. 1-.1О прааая час1ь г 1кОВЗ. что час11ыс рси1спис лого ураапс1И1я нельзя папин Гастоном подбора.
К5151лсз1 О1лцсс рси1снис. ГО1а ИСГО состааи5Л хараигс11исги51ссаг5с я1ааисиис: згзгла 1гбгцсе рс1пение олноролного лиффсрсицпального урааисниа булат Вьп лапать слслуизшиза Образоа5: Иайлезя частное ре1ценис иеолноролигит1 у раанеиил, используя лла -ного 1аетол Вариаций п1нзиааольиых ЛОстояинь1х. Для О1ОГО псрейаем От пронзВ1гльи1ах консттп1т С1 и С к функцгзлаз 121(х'5 и С»(х); ,: =(,' (х)е ' СС,(х)е" (*) 14»п»Ожпь» д»и»»ип»итсль»юе услОвие: С, (х)е '" +С, (х)с" = О Вместс с «)х»»Иксии»ьь полу»иющпьгся ЛОслс ИОлстзип(»ии ф«ИИЦПИ ( ) В ИСХОЛИОС ЛнффЕРЕНПИЗЛЬИОС УРЗВНЕНИС. Ь»Ь» получаем слсдугии»(«лп систему уравиеипЙ с двумя »»СИЗВЕСТИ ЫМИ: С (х»еп С (х)е"" =0 » 12С., (х)е" +4С. (х)е ' = 2»ь с Исппль»овлв второе уравнение системы, получим слсдтзъгпис вь«р»чжсиия: 4 ЗС, (х)е ' = — —,— =", (:., (х) .,Г 4 2 1 С" +1»."' 1 Й 1 — 'г)(с ' ) =- 21»»(2е" +1) — 21п(е-" 1 — "-;:.
В В»гп»» к»зрз ксиии  — .гго константа. 1»тверь изйлсм С»(ь): О Зс ', 2 '. Зе " +1 е *,' = »й( "»" ' . 1) — »и(» ')»»' А . и»» т»»»»и»е з»и»с»питп Подставим С»(х)»» (.' (~ 1 з ВЬ»РЮК»ЧП»Е ЛЛЯ»Ч , =(ЫЗе ' '-1) — 2х+ А)е" +(21п(2е ' ь1) — 4Ь вЂ” —, +В)е" 1(зйдсм г»ерзутп прОитволи«»О От ЛОл«чсияпго Вь»рзгиения; у' =-2е'"( — 1п(2е"", 1)+2х — А — 4е "1п(2е' ».1)+Зхе»»;ь +2 2ВЛ') Исх»»ля пл ипчзльимх «слопий, изйлем ионстзитм А и В: у(0) =-1+ 3 1п 3 =- 31п 3 ь А — 1+ В = 1+ 31п3 = А ' В = .
у"(О) =101п' = 2А Ь4В -4+101п2 =10)п2 := ЗА + 4В =- 4 з ЗВ = 0 =-е В -- О =з А = 2 3'О»з(з ретпспие тздзчи 14О»ли будет вмгляде(ь тзи: 1 у = 1)п(2С" -' 1) — 2х + ф' -« ~ 2 )п(2е " + 1) — 4х — — „1е" Ответ: у =()п(2С' 1) — 2Ь-ь Зр" +(21п(2е-" ч.1) — 4х .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
