У. Питерсон - Коды, исправляющие ошибки (1267328), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Для того чтобы Й было кольцом, должны выполняться следующие аксиомы: Аксиома Р..1. Множество !г является абелевой группой относительно операции сложения, т, е. аддитивной абелевой группой. Аксиома К.2 (замкнутость). Для любых двух элементов а и Ь из мно ожества И определено произведение аЬ, которое является элементом К. Аксиома К.З (ассоциативный закон). Для любьх трех элеменов а, Ь и с из множества Р а(Ьс) = (аЬ) с.
Аксиома К.4 (дистрибутивный закон). Для любых трех элементов а, Ь и с из множества К спРаведливы Равенства а(Ь+с) = — аЬ+ ас и (Ь + с) а = Ьа+ са. Кольцо называется коммутативным„если коммутатнвна операция умножения, т. е. если для любых двух элементов а и Ь выполняется равенство аЬ = Ьа, Теорема 2.2, В любом кольце для любых элементов а и Ь справедливы соотношения аО = Оа = 0 и а ( — Ь) = ( — а) Ь = — (аЬ), Доказательство В любом кольце по аксиоме Й.4 для любого элемента а выполняется равенство а(0+ 0) = аО+ аО.
Но поскольку О+ 0 = О, то а0 = аО+ аО. Далее, у элемента аО должен быть элемент, обратный относительно операции сложения. Прибавляя этот обратный элемент к обеим частям последнего соотношения, получим 0 = аО+ ( — аО) = аО+ аО+ ( — аО) = аО+ 0 = аО, так что в любом кольце аО = О. Аналогично доказывается соотношение Оа = О. Далее, 0 = аО = а(Ь+( — Ь)) = аЬ+ а( — Ь) „так что а( — Ь)= — (аЬ). Аналогично ( — а)Ь = — (аЬ). Ч.
т. д. Примеры. Все действительные числа образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения, Все положительные и отрицательные целые числа и нуль также образуют кольцо относительно обычных операций сложения н умножения. Оба эти кольца коммутативны. Совокупность всех квадратных матриц порядка и с целыми или действительными элементами является кольцом относительно операций матричного сложения и матричного умножения, причем это кольцо некоммутативно. Совокупность всех многочленов с целыми коэффициентами и одним неизвестным (или переменным) является коммутативным кольцом.
Множество, состоящее только из одного нулевого элемента, является кольцом, операции в котором определяются правилами О+ 0 = О, (0) (0) = О. Существуют два различных кольца с двумя элементами. Один из элементов кольца должен быть единичным относительно сложения, т. е. нулем. Другой элемент должен удовлетворять соотношению а + а = О. Так как по теореме .2.2 (О) (0)= Оа = аО = О, то остается только выяснить, чему равна величина аа. Оказывается, что при обоих возможных определениях аа= а и па = 0 удовлетворяются и дистрибутивный н ассоциативный законы, и, таким образом, выбор любого из этих определений за выбо а о задает кольцо, причем очевидно, что эти два способа ора определяют два кольца различной структуры, 2.3.
Поля Таблица 2Л. Правила сложения н умножения в поле с двумя элементами +01 001 110 Х 01 000 101 Можно показать, что для любого числа д, являющегося степенью простого числа, существует поле, содержащее О элементов. Доказательство этого факта близко связано с содержанием гл. 6, где оно и проводится. Однако здесь полезно отметить, что поле с р элементами, где р — простое число, можно получить, рассмотрев совокупность целых чисел по модулю р.
Совокупность целых Таблица 2.2. Правила сложения и умножения в поле с тремя элементами +012 ХО!2 0012 1120 2201 0000 !О!2 2021 Полем называется коммутативное кольцо с единичным элементом относительно умножения (единичнь!й мультипликативный элемент кольца), в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный элемент (т. е. обратный по умножению). Некоммутативное кольцо, в котором у каждого ненулевого элемента есть обратный, называют кольцом с делением, или толам. Заметим, что ненулевые элементы поля удовлетворяют всем аксиомам группы и, следовательно, образуют мультипликативную группу (т. е. группу относительно умножения).
Примеры. Совокупность всех действительных чисел является полем, так же как и совокупность всех рациональных чисел и совокупность всех комплексных чисел. Наименьшее число элементов, образующих поле, равно двум, потому что поле должно содержать два единичных элемента: О относительно операции сложения и 1 относительно операции умножения.
Эти два элемента должны удовлетворять правилам сложения и умножения, приведенным в табл. 2.1, ибо су!цествует только одна возможная таблица сложения для группы с двумя элементами. Кроме того. было показано, что вообще в кольце Оа = О для любого элемента а, и поскольку 1 является единичным элементом, то (1) (1) = 1. Легко проверить, что совокупность элементов О и 1 с операциями, определенными выше, удовлетворяет всем аксиомам поля. „я З.З.
Правила сложения и умножения в поле с четырьмя элементами таблица +01аЬ УСО1аь ОО ! а Ь 00000 110ьа 101аЬ аоа Ь! аа ЬО! ЬЬа10 ЬОЬ1а чисел по модулю 0 не образует поля, если только а не является простым числом. Поле, содержащее д = р'я элементов (т ) 1), не малсет быть образовано из совокупности целых чисел по модулю у. Для использования в дальнейших примерах приведены табл. 2.2 и 2.3 правил сложения и умножения в полях, содержащих три и четыре элемента.
Поле с четырьмя элементами, описанное в табл. 2.3, не является совокупностью целых чисел по модулю 4. 2.4. Подгруппы и факторгруппы Некоторое подмножество элементов группы 6 называется подгруппой Н, если оно удовлетворяет всем аксиомам группы. Для того чтобы определить, является ли Н подгруппой, нужно проверить только замкнутость (это значит, что если а и Ь принадлежат Н, то произведение аЬ тоже принадлежит Н) и наличие обратных элементов (это значит, что если а принадлежит Н, то а-' также принадлежит Н). Если множество замкнуто относительно групповой операции и содержит обратные элементы, то оно должно также содержать единичный элемент группы.
Очевидно, что в подгруппе должен выполняться ассоциативный закон, если он выполняется в группе. Пример. В ранее рассмотренной группе из восьми преобразований квадрата множества (1, а, Ь, с) и (1, д) явля)отея подгруппами. В группе всех целых чисел совокупность всех чисел, кратных заданному числу т, является подгруппой для любого т. Обозначим элементы группы б через уь д„дв, ..., а элементы подгруппы Н вЂ” через йь Ьь йэ, ...
и рассмотрим таблицу, образованную следующим образом. Первая строка состоит нз элементов подгруппы, причем она начинается с единичного элемента , и каждый элемент подгруппы появляется в строке только Один раз. Первым элементом второй строки может быть любой ные эле элемент группы, не входящий в первую строку, а все остальменты получаются умножением слева всех элементов подгруппы на первый элемент строки. Аналогично образуются третья, четвертая, пятая и т.
д. строки, каждая с неиспользованным прежде элементом группы в начале строки, до тех пор, пока каждый элемент группы ие войдет в таблицу: Ь» 1» Ь2> ЬЗ> ." ° Ьь И|Ь =И1» ИА, Иьйы ' И1Ь» ИА = Иь И»Ьг» И»йз. ° - * И»Ь» Иий»=И» > Итйг» Итйг» ° ° ' Итйп Совокупность элементов в строке этой таблицы называется левым смежным классом, а элемент, стоящий в первом столбце строки, называется образующим смежного класса.
Правые смежные классы могут быть построены аналогичным образом. Сама таблица задает разложение группы на смежные классы. Теорема 2.3. Два элемента И и И' группы 6 входят в один и тот же левый смежный класс по подгруппе Н в 6 тогда и только тогда, когда произведение И 'И' принадлежит Н. Доказательство. Если И и И' принадлежат смежному классу, обРазУющим КотоРого ЯвлЯетсЯ элемент Иь то И = И;Ь; длЯ некоторого ~, И'=И;Ь» для некоторого Ь и И 'И'=(Итй>) 'И;Ь»= И, 'И,.Ь„=Ь,: Ь» т. е.
произведение И-'И принадлежит подгруппе. С одной стороны, если И = И;Ь, где И; — образующий смежного класса, и И-'И'=Ь', то И ИЬ'=И;ЬЬ', гак что И' входит в тот же самый смежный класс, поскольку ЬЬ' принадлежит подгруппе. Ч. т. д. Теорема 2.4. Каждый элемент группы 6 принадлежит одному и только одному смежному классу по подгруппе Н.
Доказательство. По построению таблицы каждый элемент группы входит в нее по крайней мере один раз. Нужно показать, что каждый элемент содержится в таблице только один раз. Предположим сначала, что два элемента в некоторой строке И,Ь; и И;Ь» равны. Тогда, умножая каждый из них слева на И,', получим, что Ь, = Ь». Но этого быть не может, так как предполагалось, что каждый элемент подгруппы содержится в первой строке только один раз. Теперь допустим, что два одинаковых элемента находятся в различных строках, т.
е. что И;Ь; = И»Ьь и пусть ~ ) Ь. Умножая это равенство справа на Ь ', получим И,=И Ь,Ь ~. Так как произведение Ь,Ь ~ принадлежит подгруппе, то это означает, что элемент И1 входит в Ь-й смежный класс,— ситуация, которая противоречит правилу построения таблицы, согласно кото- рому образующие смежных классов не должны использоваться в предшествующих строках. Ч. т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
