У. Питерсон - Коды, исправляющие ошибки (1267328), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Аналогично столбцы матрицы-произведения являются линейными комбинациями вектор- столбцов матрицы [ап]. Умножение матрицы М размерности пХт слева на матрицу Р, которая имеет по одной единице в каждой строке и в каждом столбце и нули на всех остальных местах, приводит просто к перестановке строк матрицы М; этим способом может быть проведена любая перестановка строк. Таким образом, первая элементарная операция над строками может производиться путем умножения слева на некоторую матрицу перестановки. Вторая элементарная операция, в результате которой [-я строка матрицы М умножается на с, может производиться путем умножения матрицы М слева на матрицу, содержащую нули вне главной диагонали, элемент с в /-й строке на главной диагонали и единицы на остальных местах главной диагонали.
Наконец, третья элементарная операция, в результате которой [-я строка, умноженная на с, прибавляется к й-й строке, может быть осуществлена умножением слева на матрицу, которая содержит единицы на главной диагонали, с на месте пересечения 1-го столбца и й-й строки и нули на остальных местах. Матрицы этих типов называются элементарными матрицами.
Теорема 2.11. Каждая невырожденная матрица обладает левой обратной матрицей, которая может быть представлена в виде произведения элементарных матриц. Доказательство. Если невырожденную матрицу М размерности п)~ и привести к ступенчатой канонической форме, то получится единичная матрица, Поскольку матрица М может быть приведена к ступенчатой канонической форме путем элементарных операций над строками, то существует некоторый набор элементарных матриц Еь Ех, ..., Ел, произведение которых на М дает единичную матрицу: ЕЕ, ... Е,М=Е Таким образом, матрица ЕдЕь 1 ... Е1 является левой обратной матрнцей по отношению к матрице М, Ч. т.
д. Можно показать, что левая обратная матрица совпадает с правой обратной матрицей. Теорема 2.12. Если М вЂ” матрица размерности ах', т, а 8 — не- вырожденная матрица размерности п К и, то произведение матриц 8 и М имеет то же самое пространство строк, что и матрица М. Доказательство. Строки произведения 8М являются линейными комбинациями строк матрицы М, и поэтому пространство строк матрицы ЬМ содержится в пространстве строк матрицы М. Но матрица $ обладает левой обратной матрицей $ — ', и строки матрицы 8-'8М = М являются линейными комбинациями строк матрицы БМ.
Следовательно, пространство строк матрицы М содержится в пространстве строк матрицы ЯМ. Поэтому эти пространства должны совпадать. Ч. т. д. Теорема 2.13. Совокупность всех наборов длины п, ортогональных надпространству т', наборов длингя и, образует надпространство тэ наборов длины и. Это надпространство т'х называется нулевым пространством для Гь Доказательство. Пусть $'~ — подпространство векторного пространства всех наборов длины и над некоторым полем, тэ — множество всех векторов, ортогональных каждому вектору из уь и— любой вектор из т'ь а и, и пт — любые векторы из гь Тогда ~-ц~ = ч.пг = О и ч.и~+ ч пэ = О = к (и~+ пг).
Поэтому вектор и~+их принадлежит ть Кроме того, и. (сп1) = с(ч п1) =О, так что вектор сц~ принадлежит Рь Таким образом, множество должно быть подпространством. Ч. т. д. Те еорема 2.14. Если вектор ортогонален каждому из векторов, порождоляцих надпространство т'ь то этот вектор принадлежит нулевому пространству для Ь'ь Доказательство. Если векторы ть ..., чь порождают Уь то каждый вектор из Г, может быть представлен в виде ч = с~э~+ +слэм Тогда н=(с,ч, + ...
+ сьчь) ° ц=с,ч, ° и+ ... +срЪ ° и, и если вектор и ортогонален каждому из векторов чь то он ортого- нален и вектору ч. Ч. т. д. Нулевое пространство для пространства строк матрицы называется нулевым пространством матрицы. Вектор принадлежит нулевому пространству матрицы, если он ортогонален каждой строке матрицы. Если последовательность ч длины п рассматривать как матрицу размерности 1 Х и, то т принадлежит нулевому пространству матрицы М размерности и )( и тогда и только тогда, когда чМт = О. Теорема 2дб. Если размерность подпространства наборов длины и равна й, то размерность нулевого пространства равна и†Ф.
Доказательство этой теоремы будет опущено, поскольку оно требует некоторых новых сведений, не необходимых в дальнейшем. Одним нз следствий этой теоремы является следующая теорема: Теорема 2.16. Если Ут — надпространство наборов длины п и Р~ — нулевое пространство для тм то тз — нулевое пространство для Гь Доказательство. Если размерность подпространства тз равна я, то размерность подпространства Г~ равна и†я и размерность нулевого пространства для У~ равна й. Поскольку тт содержится в нулевом пространстве для Г, и имеет ту же самую размерность, то эти пространства совпадают.
Ч. т. д. Если М~ и Мт — две матрицы, содержащие по и столбцов, и матрица М~Мт состоит только из нулей, то пространство строк матрицы Мг содержится в нулевом пространстве для матрицы М~ и наоборот. Если ранг по строкам матрицы М~ и ранг по строкам матрицы Мт при сложении дают и, то пространство строк матрицы Мг является нулевым пространством для матрицы М, и наоборот.
Пусть УП'т' обозначает совокупность векторов, которые принадлежат одновременно и 0 и т'. Легко доказать, что множество УП Г является подпространством. Пусть ~/9 'т' обозначает надпространство, состоящее из всех линейных комбинаций вида ап + оч, где и ен О, ч ен У, а а и о — числа. Теорема 2.17. Сумма размерностей надпространств У П 'т' и 0 9 'т' равна сумме размерностей подпростр нств У и К Доказательство. Обозначим через й~ размерность У, через йз — размерность т' и через яз†размерность УП К В подпространстве УП$' существует базис, состоящий из йь векторов. В подпространстве С можно найти базис, содержащий эти пь векторов н ь, йо векторов, не принадлежащих УП 1г, а в подпространстве у можно найти базис, содержащий базис подпространства УПР н еще йе — Ьо векторов.
При этом йо векторов базиса пз ППГ, дополнительных векторов из базиса П и й, — йо дополни— о тельных векторов из базиса у в совокупности образуют базис в П (() )г. Следовательно, размерность подпространства У я Г равна йо+ (й, йо) + (йо — йо). Ч. т. д. Теорема 2.18. Пусть Уе — нулевое пространство для Пь а гав нулевое пространство для Уь Тогда ПеП'ге является нулевьгм пространством для У1 9 )гь Доказательство. Поскольку Уг принадлежит У~ Я 'р'ь то любой вектор из нулевого пространства для П~ Я Р~ должен принадлежать ~/о — нулевому пространству для Пь Аналогично любой вектор из нулевого пространства для у, ~9 уг должен принадлежать Ре — нулевому пространству для Гь Следовательно, нулевое пространство для П~ Я 'к'1 содержится в подпространстве ~УоП)гь Любой вектор из Уг 9 )г, может быть записан в виде ап, + Ьчь Если ч — произвольный элемент из УаПУм то и, ко = рыб = О и, следовательно, (ап, + Ьч,) и = О.
Таким образом, УеПУ, содержится в нулевом пространстве для П, Я Гь Отсюда следует, что нулевое пространство для (.г~ 9 Гг совпадает с ~lе П 1гв Ч, т, д. Много важных понятий и теорем теории матриц здесь не были упомянуты. Следует подчеркнуть, что, хотя приведенного здесь материала достаточно для понимания дальнейшего, он заведомо не заменит книг или курсов лекций по современной алгебре, которые могут способствовать всестороннему пониманию предмета. Замечаина По алгебре и теории матриц написано много хороших учебников.
Книга Биркгофа и Мак-Лейна [23] охватывает все вопросы, излагаемые в этой главе, и содержит, кроме того, много другого материала. Это ясно написанный учебник по современной алгебре, в котором приводится обширная библиография. Книга Ван-дер. Вардена 1310) также является весьма ценной книгой. Она представляет собой довольно глубокое введение в современную алгебру '). Задачи 2.1. Покажите, что существует только одна группа из трех элементов и что существуют только две различные группы из четырех б б у У «у „1 „у К» А. «гекдии оо общей алгебре», 2-е изд., вод-оо «Наука», !973.— Прим.
род. 2.2. Покажите, что если операции в группах, описанных в задаче 2.1, использовать как сложение, то можно определить умножение так, чтобы группы стали кольцами. 2.3. Совокупность всех неотрицательных целых чисел не является аддитивной группой. Почему? Она также не является мультипликативной группой. Почему? 2.4. Совокупность всех матриц размерности л ?(п не является телом. Почему? Совокупность всех невырожденных матриц размерности л К л также не является телом. Почему? 2.5.
Покажите, что совокупность всех целых чисел относительно операции вычитания не удовлетворяет ассоциативному закону. 2.6. Решите систему уравнений относительно х и у в поле из четырех элементов, задаваемом табл. 2.3: ах+у=Ь, х+ ау= Ь. (Ответ: х= у= !.) 2.7. Вычислите определитель следующей матрицы: Приведите матрицу к ступенчатой канонической форме и покажите, что ранг ее равен 3.
Найдите обратную матрицу как произведение элементарных матриц. Рассмотрите поле из трех элементов. 2.8. С помощью элементарных операций над строками найдите ступенчатую каноническую форму для следующей матрицы: 1101 1110 0110 0101 Вычислите ее определитель в предположении, что поле содержит два элемента. 2.9. Покажите, что в векторном пространстве наборов длины л над полем из двух элементов любая (аддитивная) подгруппа является подпространством. (Ср.
с задачей 6.8.) 2.10. Определите вес Хэмминга ю(«) для набора «длины и как расстояние Хэмминга от этого набора до нулевого набора длины и. Покажите, что а(ц, «)=гв(п — «). 2.11. Пусть Н вЂ” подпространство наборов длины и. Определим вес Хэмминга смежного класса по Н как минимальный вес Хэмм„нга элементов смежного класса, а расстояние между двумя лассами как вес разности этих смежных классов, которая также является смежным классом. Покажите, что функция, задающая сстояние, определяет метрику. (Ср.
с задачей 1.2.) 2.12. Покажите, что если матрица размерности п Х и имеет вид где 1„— единичная матрица размерности й;х',А, 1ь а — единичная матрица размерности (а — й)Х(п — й), б — матрица размерности (и — й) к й, состоящая только из нулей, а Р— произвольная матрица размерности й Х(п — Ф), то матрица, обратная М, является матрицей такого же вида, но с заменой матрицы Р матрицей — Р. 2.13. Докажите, что совокупность всех квадратных матриц размерности п,х'а, которые имеют единицы на главной диагонали и нули ниже главной диагонали, является группой относительно умножения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
