Минаев Е.И. - Основы радиоэлектронники (1266569), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Р„.в,.— Р„п вх ГдЕ Рпадха=ЧОРпад. х — МОЩНОСТЬ ПадаЮщЕй ВОЛНЫ у НатруЗКН; 2 опр.н= К отр Рпад вх МощНОСтЬ Отражсяной ВОЛНЫ у Натруакн; вхг г Ротрвх =ЧоРотрп = 1чотрЧ сРпадв МОЩНОСТЬ ОтражеННой ВОЛ!!Ы достигающей входа. Подставив эти величины, получим 2 Чврп в х — К ЧвРп,в, г г !' ° ..* — Кот ! ° откуда КПД линии 2 ~ ота Ч=Чо ! — Коха '!д (3.19) Данная формула показывает, что КПД линии зависит от коэффициента отражения, а следовательно, и от КСВ.
Пример. Пусть Кв о=2; по=09. В этом случае Чаа09ЗЧь т. е, очень мало отличается от Чо. Пример. Пусть Кввн=!О; по=05. В этом случае Народим т. с. очень сильно отличается от Чо. Отсюда видно, что при малом КСВ и большом КПД линии стоячие волны мало влияют на КПД линии, а при большом КСВ и ма. лом КПД линии — сильно уменьшают КПД линии. откуда Р = РтахКб.в. (3.18) Следовательно, стоячие волны ограничивают мощность, которая может быть передана по лйнии. Теперь определим КПД линии Ч=Р„)Рою где Є— мошность, на нагрузке; Р— мощность на входе линии.
Покажем, что КПД при передаче энергии по линии является . функцией коэффициентов затухания и отражения: Ч=1(п; К„р), ' где коэффициент затухания сс характеризует потери в линии на единицу длины, Если в начале линии напряжение равно У!, то в конце линии,," длиной 1 напряжение (/г = гг!ехр ( — а1) . Аналогичное соотношение имеем и для тока: 1, = 1,ехр ( — а1) . В отсутствие стоячих воли Ч= НО=1 пади!Рвх З.З, ЛИНИЯ С ПОТЕРЯМИ. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ а приращение тока а!= - (Сах) " — (64(х) и д! илн дн д~ — = — /. — -/г!; дх д! (3.20) д! ди — = — С вЂ” — 6и. дх д! (3.2!) Дифференцируя (3.20) по х и (3.2!) по /, получаем: дем дн д~ — = — / -/е —; дхт д~дх дх дн ден ди — — С вЂ” — 6— дхде дп д1 (3.22) (3.23) Подставив (3.23) и (3.2!) в (3.22), получим из двух уравнений первого порядка одно уравнение второго порядка, называемое телеграфным уравнением: д —" /.С вЂ”" + (6/.+/тС).
—" +/гби. (3.24) дхе дн дт Телеграфное уравнение упрощается, если для его коэффициентов выполняется условие Хевисайда /г//. = 6/С, (3.25) из которого следует, что /г/6=1./С=2с /с С= 61. (3.26) (3.27) Рис. Зси Элемент линии с петерами Пусть отрезок двухпроводной линии единичной длины кроме нндуктивности /.
и емкости С, имеет также сопротивление /! и утечку 6. Тогда для отрезка линии с/х (рис. 3.4) приращение напряжения йи= — (Ых) — ' — (Йг(х) !, д! Подставив (3.27) в (3.24)„получим — СС вЂ” + 2)7С вЂ”" +)7би. дха дп дС Поделив на ).С, придем к следующему уравнению: я д*и даи Гс ди Ь'0 о — =- — + 2 — — + — и. дх' дн Е да ЕС Введя обозначение )7/С=д, получим я д'и даи ди о — = — + 2д — +даи. дха дал дс (3.28) Введем новую переменную ио, положив и=иоехр( — д~). дем производные: ди, диа . д'и доно, — = е-о —; — = е-ч дх дх дхо дха — = — Че-ч и,+е — ча —; ди , дио . д1 до — = оаяе чоио — 2оуе — оо о + е чо до дl дп Подставив эти производные в (3.28), получим д'и, 1 д'ио дх' оо дс 14ай- (3.29) Следовательно, при выполнении условия Хевисайда телеграф.
ное уравнение принодится к волновому уравнению. Это означает, что как и в линии без потерь, волна любой формы может распространяться без искажений. Отличие решения заключается лишь в том, что падающая и отраженная волны в ливии с потерями затухают, так как и и ио связаны множителем е-чо. 34. стАциОИАРньяи пРОцесс В линии ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗБУЖДЕНИИ Пусть имеется линия длиной ), к которой подключен генератор синусоидального напряжения (рис. 3.5), Приращение напряжения с(сl =!Ъ(х, 1 иг 1 Рнс. Зчи Ливия, подключенная к источнику синусоидального напря- жения где 2=)с+)ю7.— комплексное сопротивление линии на единицу длины. Приращение Ж/ положительно, так как в данном случае х отсчитывается от конца линии.
Приращение тока И= 1/Ус/х, (3.30) (3.31) Н//дх = /2; Н/с(х = (/ У, Здесь комплексные напряжение (/ и ток / ие зависят от 1. дифференцируя (3.30) по х, получаем г/Ч3/с/х' = ХЯ /г/х. Подставляя сюда (3.31), находим, что Р(//г(х'= ЯУ(/. (3.32) Дифференцируя (3.31) по х, получаем сР1/г/х' = Уг/И/с/х. Подставляя сюда (З.ЗО), находим со//с/х'= Е У(.
(З.ЗЗ) Видим, что уравнения (3.32) и (3.33) для тока и напряжения одинаковы по форме. Общее решение уравнения (3.32) (/ = А ~ ет" + Азет" (3.34) где у — козффнциент, называемый постоянной распространения, является решением характеристического уравнения у'= ЕУ. Согласно уравнению (3.30) 1 Лl /= — —— я их Следовательно, /= — — т ет'- —" е-т'. г г (3.35) Величину 2/у=У/)'2У= УЮ'=2а называют волновым сопротивлением линии. Волновое сопротив- ление (3.36) где У= О+)гаС вЂ” комплексная проводимость линии на едгп1ицу длины. Следует отметить, что У не является обратной величиной 2; в данном случае зти величины являются независимыми характеристиками. Поделив приращение иа с/х, получим уравнение в комплексной форме: На высоких частотах можно считать, что !г«оо1., 6«ооС, и по- зтому согласно (3.37) волновое сопротивление Яо всегда вещест- венно и равно )11,1С независимо от того, выполняется условие Хе- висайда или нет.
Итак, 1 етн — о е-тн А ~~я оо г, т. е. стационарная составляющая тока также может рассматри- ваться как сумма двух волн. Если на конце линии (х=О) включено сопротивление нагрузки Л„, то и„=Л,+Л; 1„=Л,1Л вЂ” А,!Л нли го!о=А, — Л„ откуда л — ' А~ = — (У~+ 1~7о); Ао= — (Ун-1н~о) Следовательно, ! 1 (1= — (Ун+1нхо) еон+ — (Ун !н2о) е — т"' 1= — (У +1„7,)етн — — (!1н — 1„2о)е т", 1 22о 22о или еж+ е гн 7 еон — е 1=!н езн+е — 1н 2 У„ег" — е Яо 2 Отсюда У= (1„сЬух+1„7озЬ ух; 1=1нсЬух+ '(Ун/Ао) з)1ух. Параметр у=)ЯУ (3.38) (3.39) в общем случае является комплексной величиной, зависящей от частоты.
Однако при выполнении условия Хевисайда в выражении (3.36), т. е, К,= )!! Л!ь+1м 2Г ', (3.37) )1 2Г первый корень равен единице и волновое сопротивление вещественно и равно го=- У1.1С. а фазовая постоянная линии 0=о))//.С=— — и 2з 2п ч гп (3.42) На очень низких частотах у=а+!в=у/(+!'а/)/6+1ыС=)/Ю ~!+! ~~ +! ~— — 1. 2Р 26) Следовательно, коэффициент затухания линии на очень низких частотах а = гЛ6 (3.43) Возьмем отношение а.
Р/22а+ СЯо/2 У/1/С Ео у 22 (3.44) (3.45) 2!т/О ' уГС у = 0,5 9ш+ 1/Ую), где ю= —. Р/С ь/с Нетрудно показать, что при выполнении условия Хевисайда (в=1) затухание на высоких частотах минимально и равно затуханию на низких частотах, т. е. у=1. При несоблюдении условия Хевисайда (ю ° 1 или и(1) затухание возрастает с увеличением частоты. Поэтому линия, для которой условие Хевисайда не соблюдается, обязательно искажает передаваемые колебания сложной формы вследствие неодинакового затухания для разных частот. е! можно представить в виде суммы: у=а+!р, (3.40) где а — коэффициент затухания линии, характеризующий уменьшение напряжения или тока на единице длины линии; р — волновой коэффициент или фазовая постоянная.
Подставляя в выражение (3.40) значения Е и У, получаем у=а+)р=уР+!ы/у6+!ыС=!ву/ С)/1+А/!ы/)~1+ 6/!ыС. На очень высоких частотах Р/ы/ ((1, 6/ыС«1, поэтому у=а+!р~!оф/С~!+ — ~~1+ — /1 ю)оф/С!11+ — + !2ое !2ос 12аь + — ) = — + — "+)ыу'Е.С. П ! Н 02„ !2мС 22а 2 Следовательно, на очень высоких частотах коэффициент затухания линии а.,= Й/22,+ 67,/2, (3.41) Входное сопротивление линии без потерь. Согласно '(3.38) на.
пряженис и ток па входе линии: (/ — / сну!+1 Хоай у! (3.46) ! ! СЬу!+ ((/ /70)зй 'г! При а=О, у=))): (/, = (/„соз р1+1!„Лаз(п К !, =!„соз Р1+1((/„/7а)ейп Р1. Если 7„=_#_р, то Ун-!кто и 7.„=(/ /!,„=Хо. (3.48) (3.47) Следовательно, входное сопротивление линии, нагруженной на волновое сопротивление, равно волновому сопротивлению. Входное сопротивление короткозамкнутой линии. Пусть Я„=О, 1/„=О. Тогда: (/в~=)!н3аз!и р!', !вх=!мсоз р1.
(3.49) Следовательно, где Р. †дли волны колебаний в линии: ' 0 прн !=О; 7 = ~ оо при 1=1/4; ~ 0 при 1=1/2. ао при 1=0; г„= О при(=Х/4; оэ при 1=1/2. Входное сопротивление четвертьволновой линии, нагруженной на активное сопротивление. Пусть 1=)./4; 7„=Л„. Тогда: (/вх — — )!н2о, !вх=)((/к/2О); Е.~=Я)/й~, (3.51);4, нли 2 76~Я =Зю. Следовательно, входное сопротивление линии в атом случае чисто активное, Четвертьволиовую линию можно использовать в качестве трансформатора сопротивления, так как при заданных Входное сопротивление разомкнутой линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
