Вариант (19) - ТР - ТФКП (1265762)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Вариант 19

Задача 1. Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме):

Решение. а). Воспользуемся формулой связи между тригонометрическим синусом и гиперболическим синусом: ; sh(z)= -isin(iz). Получим sh(3-2i)=-i·sin(3i-2i²)= -i·sin(2+3i). По формуле тригонометрии sin(2+3i)=sin2·cos(3i)+cos2·sin(3i). Воспользуемся формулами связи между тригонометрическими и гиперболическими функциями:

cos(3i)=ch3; sin(3i)= ish3. Получим sh(3-2i)=-i(sin2·ch3+ i·cos2·sh3)= cos2·sh3-i·sin2·ch3.

б). Воспользуемся формулой . В данном примере . Тогда . Следовательно,

Ответ. а) sh(3-2i)= cos2·sh3-i·sin2·ch3.

б).

Задача 2. Выяснить геометрический смысл соотношения. Сделать чертёж.

Р ешение. Так как z=x+iy, то данное соотношение имеет вид:

Или . Возведём все части неравенства в квадрат. Получим: Это неравенство определяет кольцо, заключённое между окружностью радиуса 3 с центром в точке (0;1) и окружностью радиуса 4 с центром в той же точке.

Ответ. Данное соотношение определяет кольцо

Задача 3. Решить уравнение:

Решение. Воспользуемся равенством , получим: или . Применим формулу для разности синусов: . Это равенство возможно, если или . Из первого равенства следует: . Тогда . Из второго равенства получаем . Тогда ..

Ответ. .

Задача 4. Доказать тождество.

.

Решение. Воспользуемся формулами и и рассмотрим правую часть тождества:

, что и требовалось доказать.

Задача 5. Восстановить аналитическую функцию по заданной действительной части её:

, если f(i)=1+i.

Решение. Чтобы функция u(x,y) бала действительной частью аналитической функции нужно, чтобы она была гармонической, т.е. её лапласиан ∆u был бы равен нулю: ∆u=0, Проверим выполнение этого условия, для чего найдём производные второго порядка от u по x и по y:

Чтобы лапласиан ∆u был равен нулю, нужно положить A=3. Таким образом, функция является гармонической. Восстановим мнимую часть v(x,y) функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y), пользуясь условиями Даламбера-Эйлера:

Из первого условия получаем: Тогда , или Производная по x от этого выражения равна С другой стороны по второму условию Даламбера-Эйлера Приравнивая эти выражения, получим: Или Таким образом, Тогда Перейдём к переменной z:

.

Воспользуемся дополнительным условием f(i)=1+i. В данном случае f(i)=1+2i+iC. Следовательно, C=-1.

Ответ.

Задача 6. Вычислить интеграл по дуге C от точки z₁ до точки z_2.

Решение. Вычислим интеграл, сводя его к криволинейным интегралам второго рода по формуле . В данном случае f(z)=(i+x-iy), т.е. u=x, v=1-y. Значит . Примем x за параметр. Составим уравнение прямой, проходящей через две точки: . Начальной точке z₁=0 соответствует значение x=0, конечной z₂=-2-i – значение x=-2.

Следовательно, .

Ответ. .

Задача 7. Вычислить интеграл от аналитической функции_{. .}

Решение. Применим формулу интегрирования по частям:

_.

Перейдём к тригонометрическим функциям: Получим:

_.

Ответ. .

Задача 8. Найти интеграл, используя интегральную формулу Коши, по конту-

рам L₁, L₂, L₃.

Р ешение. 1). Подынтегральная функция аналитична всюду, за исключением точек z=-1 и z=2. В круге подынтегральная функция аналитична. Следовательно, . 2). Внутри области расположена одна особая точка z=-1. Вычислим интеграл по интегральной формуле Коши:

L3

3). В круге есть две особые точки z=-1 и z=2. Поэтому применим теорему Коши для многосвязной области:

, где l₁ - окружность достаточно малого радиуса с центром в точке z=-1, а l₂ - окружность малого радиуса с центром в точке z=2. Первый интеграл совпадает с уже вычисленным интегралом I₂. Вычислим второй интеграл по интегральной формуле Коши:

. Следовательно,

Ответ.

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

Решение. Корнями уравнения z²+8z+15=0 являются числа z₁=-3 и z₂=-5. Разложим эту

дробь на простые дроби: Или . При z=-3 получим A=-7/2. Если положить z=-5, то получим

В=9/2. Следовательно, 1). В кольце имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом: Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , где . В первой дроби q=-3/z, во второй дроби q= -z/5. Следовательно, 2). В кольце выполняются неравенства . Следовательно, .

Ответ. 1). в кольце .

2). в кольце .

Задачи 10-11. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

10. 11.

Решение. 10.. .Найдём корни знаменателя: z₁=1, z₂=-i, z₃=i. Значениz z₂=-i и z₃=i являются простыми полюсами подынтегральной функции, а значение z₁=1 - полюсом кратности 3. Тогда ,

Получим окончательно: .

11. Подынтегральная функция имеет существенно особую точку z=-1. Поэтому для вычисления вычета относительно этой точки следует разложить функцию в ряд Лорана. Воспользуемся разложением в ряд функции sh(w) по степеням w: Полагая , получим:

Коэффициентом при (z+1)^-1 в разложении функции будет число 5/6. Вычет данной функции равен коэффициенту при (z+1)^-1 в данном разложении, т.е. . Следовательно.

.

Ответ. 10. . 11.

Задача 12. Вычислить несобственный интеграл с помощью вычетов.

Решение. Корнями знаменателя функции являются числа . В верхней полуплоскости расположены два полюса z=3i и z=4i данной функции.

Тогда

Следовательно.

Ответ.

Задача 13. Вычислить интеграл от заданной ветви многозначной функции по кривой С от точки z₁ до точки z₂.

, где С: прямая, z₁=-1, z₂=1, .

Решение. Точки z_{1 и} z₂ не являются особыми точками для подинтегральной функции. Следовательно, можно применить формулу Ньютона-Лейбница: . Рассмотрим функцию . Рассматривается та ветвь функции, для которой в точке z=-1 функция будет принимать заданное значение. С одной стороны . С другой стороны . Сравнивая эти выражения, приходим к выводу, что k должно быть таким, чтобы . Это достигается при k=0. Следовательно, данная ветвь функции имеет уравнение . Таким образом, ,

. Следовательно,

.

Ответ. .

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов курсовой работы