Линейные дифференциальные уравнения высших порядков - Теоремы и примеры (1265171), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Далее ищем неопределенный коэффициент, подставив в уравнение

, , .

Имеем тождество: . Сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, имеем -А = 3 и A = -3.

Тогда , а _.

Найдем решение неоднородного уравнения для правой части г)

f(x) = 2sinx   .

По виду f(x) = 2sinx составим - частное решение с неопределенным коэффициентом (содержит оба слагаемые, соответствующие комплексным корням i). Но прежде чем подставлять его в уравнение, необходимо проанализировать каждое слагаемое на линейную зависимость (независимость): . Так как все функции разных классов, то определитель Вронского 4-го порядка (проверьте!).

Далее ищем неопределенный коэффициент, подставив в уравнение

, , .

Имеем тождество: . Сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, имеем -А = 3 и A = -3.

и ,

а общее решение _.

Данный метод применим и для уравнений n-го порядка (n > 2), как с переменными, так и с постоянными коэффициентами а_i. где :

Общее решение уравнения: , где

находится при решении соответствующего однородного уравнения:

а , если правая часть уравнения - функция f(x) специального вида – методом неопределенных коэффициентов, то есть подбором частного решения для уравнения

Замечание. 1) Обращать внимание на составление решений в случае кратных корней.

2) Для решения задачи Коши, содержащей систему начальных условий, количество которых равно порядку уравнения, необходимо составить систему линейных уравнений относительно искомых констант с_i. где .

Например. Найти частное решение дифференциальное уравнение

у˝ - у΄ - 2у = 0 при

С оставим характеристическое уравнение: и найдем его корни:

, - действительные различные.

Составим общее решение: .

Найдем частное решение:

Главным критерием линейной независимости всех частных решений ФСР уравнения является W(x ) ≠ 0 определителя Вронского W(x).

Но для составления частного решения , зависящего от правой части уравнения f(x), приведем еще и таблицу (Таблица 2), составленную из необходимости линейной независимости всех частных решений ФСР неоднородного линейного дифференциального уравнения высшего порядка.

Таблица 2

Пример 5. Найти общее решение уравнения _.

Найдем общее решение (ФСР) уравнения 6-го порядка следуя алгоритму.

Шаг 1. Решим однородное уравнение .

1. Составим характеристическое уравнение r⁶ + 2r⁵ + r⁴ = 0.

2. Решим характеристическое уравнение r⁴(r²+2r +1)= 0  r⁴(r+1)²= 0

r₁ = r₂ = r₃ = r₄ = 0 - действительные корни кратности s =4;

r₅ = r₆ = -1 – действительные корни кратности s =2.

3. Составим у_од: .

Шаг 2. Найдем решение неоднородного уравнения .

Правая часть уравнения  f(x) = e^-2x 

По виду f(x) = e^-2x составим - частное решение с неопределенным коэффициентом. Но прежде чем подставлять его в уравнение, необходимо проанализировать каждое слагаемое на линейную зависимость (независимость): .

Исследуя линейную зависимость с помощью определителя Вронского размером 7  7 (W(x)≠0) или используя таблицу 2, делаем вывод, что

линейно независим со всеми решениями у_од.

По виду f(x) =e^-x составим - частное решение с неопределенным коэффициентом. Но прежде чем подставлять его в уравнение, необходимо проанализировать каждое слагаемое на линейную зависимость (независимость): .

Далее найдем неопределенный коэффициент, подставив в уравнение , , , , , , ,  .

Из полученного тождества, сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, имеем 16А = 1 и A = Частное решение, зависящее от правой части: .

Общее решение уравнения: _.

Замечание.

1) Если f(x) = e^-x, то , так как r₅ = r₆ = -1 и  = -1 из f(x) = e^-х.

2) Если f(x) = х² + 1, то , так как r₁ = r₂ = r₃ = r₄ = 0 - действительные корни кратности s = 4 (таблица2, п.1.1).

15

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)