Линейные дифференциальные уравнения высших порядков - Теоремы и примеры (1265171)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

1. Основные понятия и определения

2. Общее и частное решения дифференциального уравнения

3. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

4. Неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

О пределение. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение первой степени относительно функции у(х) и её производных: , где – коэффициенты уравнения (могут быть как функциями, зависящими от х, так и постоянными, то есть константами).

Однородные линейные уравнения, если справа в уравнении .

Неоднородные линейные уравнения, если справа в уравнении .

Разделив уравнение на b₀ ≠ 0 и обозначив , представим его в виде приведенного уравнения:

Теорема 1. Если для однородного уравнения:

функции у₁ = у₁(х), у₂ = у₂(х),……., у_n = у_n(х) являются частными решениями, то решением этого уравнения является также функция

у = с₁ у₁(х) +с₂ у₂(х)+…+с_n y_n(х), где с₁ – с_n – произвольные константы.

Для доказательства достаточно подставить данную функцию и ее производные в уравнение:(с₁ у₁(х)+с₂ у₂(х)+…+с_n y_n(х))⁽ⁿ⁾+a₁(с₁ у₁(х)+ с₂ у₂(х)+…+с_n y_n(х))^{(n-1 )}+..

.....+ a_n-1( с₁ у₁(х) + с₂ у₂(х)+…+ с_n y_n(х))^΄ + a_n(с₁ у₁(х) + с₂ у₂(х)+…+ с_n y_n(х)) =

c₁(y₁⁽ⁿ⁾+a₁y₁^(n-1)+….+a_ny₁)+c₂(y₂⁽ⁿ⁾+a₁y₂^(n-1)+….+a_ny₂)+..+c_n(y_n⁽ⁿ⁾+a₁y_n^(n-1)+….+a_ny₂)=

c₁0 + c₂0 +…+ c_n0 = 0, так как у₁(х), у₂(х),…, у_n(х) – решения уравнения и, следовательно выражения в скобках равны 0.

Заметим, что уравнение n-го порядка имеет решением сумму n функций и n констант. Может ли эта функция у = с₁ у₁(х) +с₂ у₂(х)+…+с_n y_n(х) являться общим решением дифференциального уравнения n-го порядка?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим приведенное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка однородное: , имеющее решением функцию у = с₁ у₁(х) +с₂ у₂(х) и сформулируем условия при которых оно является общим решением.

Теорема 2 (структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка).

Если два частных решения у₁ = у₁(х) и у₂ = у₂(х) образуют на интервале непрерывности функций (а, в) фундаментальную систему решений, то общим решением уравнения является функция у_об = с₁ у₁(х) +с₂ у₂(х).

Фундаментальная система решений уравнения – это совокупность любых двух линейно независимых на интервале (а, в) частных решений у₁(х) и у₂(х) уравнения.

Функции у₁(х) и у₂(х) линейно зависимы тогда и только тогда, когда их линейная комбинация с₁ у₁(х) +с₂ у₂(х) равна 0: ( с₁ у₁(х) +с₂ у₂(х)= 0) при хотя бы одной константе не равной нулю с₁ ≠ 0 или с₂ ≠ 0 и линейно независимы при с₁ = с₂=0_. Очевидно, у₁(х) и у₂(х) линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, то есть , или у₁ = λу₂ для всех х  (а, в).

Например, у₁ = 3е^х и у₂ = е^х линейно зависимы, так как их отношение , а у₁ = 3е^5х и у₂ = е^х линейно независимы, так как их отношение .

Для линейного однородного уравнения n-го порядка

решение у = с₁ у₁(х) +с₂ у₂(х)+…+с_n y_n(х) будет общим, а функции у₁(х), у₂(х),…, у_n(х) будут составлять фундаментальную систему решений (ФСР), если они все будут линейно независимы. Очевидно, проверка на линейную зависимость найденных функций представляется трудоемкой по определению.

Инструментом проверки функций на линейную зависимость (независимость) является определитель Вронского (вронскиан):

• для двух дифференцируемых функций ;

• для n дифференцируемых функций .

Из определения линейной зависимости (независимости) функций на

интервале х  (а, в), следует, что

• для линейно зависимых функций W(х) = 0;

• для линейно независимых функций W(х) ≠ 0.

Например, у₁ = 3е^х и у₂ = е^х линейно зависимы, так как их отношение и , а у₁ = 3е^5х и у₂ = е^х линейно независимы, так как их отношение и .

Пример 1. Показать, что функции у₁ = х, у₂ = cosх и у₃ = sinx образуют ФСР некоторого линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка и составить это уравнение.

Для проверки линейной независимости функций составим определитель Вронского: .

Вычисление определителя проводилось разложением по первому столбцу. Так как определитель не равен 0, то заданные функции являются линейно независимыми и образуют ФСР некоторого линейного дифференциального

уравнения третьего порядка: (*).

Чтобы для данной ФСР составить уравнение, небходимо найти а₁(х), а₂(х), а₃(х).

Для этого подставим в уравнение (*) каждую из функций:

у₁ = х, у₂ = cosх и у₃ = sinx и решим полученную систему: Система имеет 3 неизвестных: а_1, а_2, а_3.

Во втором и третьем уравнении свободные члены перенесем в правую часть уравнений и решим систему по формулам Крамера: ; ;

. Итак, решим полученную систему: : ,

, , . Вычислим , , и

подставим их в уравнение (*): , домножив на х,

имеем линейное дифференциальное уравнение 3-го порядка с переменными

коэффициентами .

Заметим, что если не сложно составить по имеющейся ФСР дифференциальное уравнение, то для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами найти ФСР связано с определенными трудностями.

Далее рассмотрим широко применяемые в приложениях дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых разработаны методы нахождения ФСР как для однородных так и для неоднородных уравнений.

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка:

, имеющее решением функцию у = с₁ у₁(х) +с₂ у₂(х).

Общее решение данного однородного уравнения будем искать в виде: ≠ 0, где r – const. Тогда , и подставим в уравнение и вынесем общий множитель е^rx за скобку: . Отметим, что только , причем квадратное уравнение, называемое ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ всегда имеет два корня: действительные (различные или кратные), либо комплексные (Таблица 1).

Таблица 1

Общее решение дифференциального уравнения составляют в зависимости от корней характеристического уравнения из функций, являющихся ФСР для

• действительных различных корней r₁ ≠ r₂  у_об = ;

• действительных кратных корней r₁ = r₂  у_об = ;

• комплексно сопряженных корней r_1,2 = a+ bi у_об = .

Замечания. 1) Линейную независимость функций у₁ и у₂ проверить с помощью определителя Вронского.

2) Проверим, что частное решение удовлетворяет уравнению . Для этого найдем и и подставим в уравнение:

, так как (r₁ – корень характеристического уравнения) и из теоремы Виета для приведенного уравнения  r₁ + r₂ = -p (в нашем случае r₁ + r₂ = r₁ + r₁ = –p; 2 r₁ = –p).

Пример 2. Найти общее решение для уравнения: а) и частное (задача Коши) для уравнения б) при начальных условиях: у(0)=1; у΄(0)=-4.

Для нахождения ФСР уравнения а) составим по внешнему виду характеристическое уравнение: и найдем его корни r₁ = r₂ = 3, то есть корни кратные. Тогда у_об = .

б) составим по внешнему виду характеристическое уравнение: и найдем его корни . Видим, что корни являются комплексными с действительной частью равной 2 и мнимой частью равной 3. Тогда общее решение будет составлено из функций у₁ = е^2хcosх и у₂ = е^2хsinх, являющихся ФСР данного уравнения и записано как семейство интегральных кривых: у_об = .

Чтобы из семейство интегральных кривых выделить единственную кривую, удовлетворяющую условиям задачи Коши, найдем с₁ и с₂. Для этого найдем производную от общего решения и в у_об и у΄_об подставим х = 0, у(0) = 1, у΄(0)=-4.

у_об = .

у΄_об = 2 + .

Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными с₁ и с₂:

и частное решение (задача Коши) будет записано как у_чр = .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка , имеющее решением функцию у = , где - частное решение, зависящее от функции, стоящей в уравнении справа.

Теорема 3 (структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка).

Общим решением неоднородного уравнения (у) является сумма решения соответствующего однородного уравнения :

у _од = с₁ у₁(х) +с₂ у₂(х) и частного решения , зависящего от функции, стоящей в уравнении справа, то есть у = , где все частные решения у₁(х), у₂(х), - линейно независимые функции.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)