Линейные дифференциальные уравнения высших порядков - Теоремы и примеры (1265171), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Так как у_од обращает в тождество уравнение , являясь его решением, то ,

а обращает в тождество неоднородное уравнение ,

я вляясь его решением, то есть ,

т о покажем, что у = является решением уравнения .

П одставим у = в неоднородное уравнение :

,

что и требовалось доказать, то есть функция - решение неоднородного уравнения.

Далее покажем, что функция у = является общим решением уравнения, то есть из него можно выделить единственную кривую, удовлетворяющую начальным условиям: у(х₀) = у₀; у΄(х₀) = у΄₀.

Продифференцируем функцию у = и вычислим ее и производную от нее в точке х₀.

- система двух уравнений с двумя неизвестными с₁ и с₂. Определитель системы есть определитель Вронского для линейно независимых функций однородного уравнения, соответствующего неоднородному.

Следовательно, система имеет единственное решение: Тогда существует общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения: у_об = и частное решение , удовлетворяющее заданным начальным условиям (решение задачи Коши).

На основании теорем 2 и 3 можно найти общее решение у_об =

неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка . Если известно у_од = , то можно подобрать методом ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ с₁ и с₂.

Для этого по виду у_од составим у_об = для неоднородного уравнения.

Продифференцируем . Подберем функции с₁(х) и с₂(х) так, чтобы .

Тогда и .

Подставляя у_об, и в уравнение , получим:

p( )+ q( ) = f(x). Сгруппируем по варьируемым функциям с₁(х) и с₂(х)

с₁(х)( ) + с₂(х)( ) + = f(x) (*). Так как у₁(х) и у₂(х) - решения однородного уравнения , то и , то из (*) получим: .

Функции с₁(х) и с₂(х) найдем, решая систему линейных алгебраических уравнений, содержащую два уравнения и два неизвестных:

. Система имеет единственное решение, так как главный определитель системы является определителем Вронского для линейно независимых функций – фундаментальной системы решений однородного уравнения. Решением системы являются производные от искомых функций: с΄₁(х) и с΄₂(х), что позволяет интегрируя их найти с₁(х) и с₂(х) с точностью до константы. Таким образом функция у_об = при найденных с₁(х) и с₂(х) является общим решением уравнения

Замечание. Данный метод применим и для уравнений с переменными коэффициентами, а так же для уравнений более высокого порядка.

Алгоритм

Нахождение общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

2-го порядка с постоянными коэффициентами

Шаг 1. Решить однородное уравнение , соответствующее заданному неоднородному.

1. Составить характеристическое уравнение: r² + pr + q=0.

2. Найти корни характеристического уравнения: r₁ и r₂.

3. Составить решение однородного уравнения у_од = , соответствующее полученным

корням.

Шаг 2. Найти у_об = методом вариации произвольных постоянных.

1. Записать по полученному у_од общее решение неоднородного уравнения:

у_об = с переменными константами (варьируемыми функциями).

2. Подставить данное общее решение в уравнение .

3. Найти варьируемые функции с₁(х) и с₂(х).

4. Подставить найденные с точностью до const функции с₁(х) и с₂(х) в общее решение.

Пример 3. Найти общее решение для уравнения .

Найдем общее решение (ФСР) уравнения следуя алгоритму.

Шаг 1. Решим однородное уравнение .

1. Составим характеристическое уравнение r² + 1 = 0.

2. Решим характеристическое уравнение r² = -1, r_1,2 =  i - комплексные корни с действительной частью равной 0 и мнимой частью равной 1 (0  1 i).

3. Составим у_од = .

Шаг 2. Найдем решение неоднородного уравнения .

1. По виду решения однородного уравнения составим общее решение:

у_об = .

2. Подставим у_об = и у˝_об в .

Для этого найдем

и положим (1).

При этом условии найдем у ˝_об от

.

Подставим в и приведем подобные:

(2).

3. Найти с₁(х) и с₂(х). Составим систему из уравнений (1) и (2):

, которую решим по формулам Крамера.

; ;

 ; .

Тогда ,

.

4. Записываем общее решение, подставив с₁(х) и с₂(х) в

у_об = 

у_об =( )

Замечание. Если раскрыть скобки и так перегруппировать функции, чтобы можно было выделить в общем решении уравнения у_об = : , то

у_об = 

у_об = , где - частное решение, зависящее от правой части неоднородного уравнения,

у_од = - решение однородного уравнения, соответствующего, заданному неоднородному.

Данный метод универсальный, но при решении уравнения 3-го порядка появится необходимость для нахождения с₁(х), с₂(х) и с₃(х) решать алгебраическую систему 3-х уравнений, а при решении уравнения n-го порядка – систему n уравнений, что достаточно трудоемко.

В некоторых случаях, когда справа в уравнении f(x) – функция специального вида, можно использовать для нахождения частного решения МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка , имеющее решением функцию у = , где - частное решение, зависящее от функции, стоящей в уравнении справа.

Если в уравнении f(x) – функция “специального вида”:

• f(x) = P_n(x)e^x (при  = 0  f(x) = P_n(x))

• f(x) = e^x( P_n(x)cosx +Q_m(x)sinx), то частное решение – можно

подобрать, записав его ожидаемую форму с НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Затем это частное решение ( ), являющееся решением уравнения, подставляют в уравнение и из полученного тождества вычисляют НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ.

Исходя из линейной независимости всех частных решений уравнения: , составляющих его общее решение у_об = _,

_{следует, что определитель Вронского не должен равняться 0 . Это главное правило для составления частного решения с неопределенными коэффициентами. Рассмотрим, как это правило применить для составления ФСР дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.}

Пример 4. Найти общее решение уравнения

для а) f(x) = x² + 1; б) f(x) = 3e^2x; в) f(x) = 3e^-x; г) f(x) = 2sinx.

Найдем общее решение (ФСР) уравнения следуя алгоритму.

Шаг 1. Решим однородное уравнение .

1. Составим характеристическое уравнение r² + r = 0.

2. Решим характеристическое уравнение r(r+1)= 0  r₁ = 0, r₂ = -1 – действительные различные корни.

3. Составим у_од: .

Шаг 2. Найдем решение неоднородного уравнения для правой части а)

f(x) = x² + 1 - многочлен 2-го порядка  .

По виду f(x) = x² + 1 составим - частное решение (многочлен 2-го порядка в общем виде с неопределенными коэффициентами). Но прежде чем подставлять его в уравнение, необходимо проанализировать каждое слагаемое на линейную зависимость (независимость) с

Заметим, что С и с₁ линейно зависимы, так как:

1) их отношение равно const,

2) подставленные в определитель Вронского размером 55 (количество

слагаемых в общем решении:

_{так как в столбцах стоят производные от каждой из 5 функций и столбцы,}

с С и с₁ будут пропорциональны. Тогда С необходимо домножить на х (Таблица 1, п.2): , но тогда Вх и Сх – линейно зависимы – Вх необходимо домножить на х: , но тогда Вх² и Ах² – линейно зависимы – Ах² необходимо домножить на х: .

Далее ищем неопределенные коэффициенты, подставив в уравнение

, , .

Имеем тождество:

Для вычисления коэффициентов из полученного тождества используем утверждение “многочлены равны, если равны коэффициенты при переменных в одинаковых степенях и равны свободные члены”:

И общее решение

Найдем решение неоднородного уравнения для правой части б)

f(x) = 3e^2x   .

По виду f(x) = 3e^2x составим - частное решение с неопределенным коэффициентом. Но прежде чем подставлять его в уравнение, необходимо проанализировать каждое слагаемое на линейную зависимость (независимость): . Все три функции линейно независимы. Проверим с помощью определителя Вронского . Кроме того заметим, что корни характеристического уравнения r₁ = 0, r₂ = -1 и  = 2 в f(x) = 3e^2x ( ) – действительные различные числа (не кратные и не требуется домножать на х).

Далее ищем неопределенный коэффициент, подставив в уравнение

, , .

Имеем тождество: . Сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, имеем 6А = 3 и .

Тогда , а _.

Найдем решение неоднородного уравнения для правой части в)

f(x) = 3e^-x   .

По виду f(x) = 3e^-x составим - частное решение с неопределенным коэффициентом. Но прежде чем подставлять его в уравнение, необходимо проанализировать каждое слагаемое на линейную зависимость (независимость): . Проверим с помощью определителя Вронского линейную зависимость (независимость) функций , так как 2 и 3 столбцы пропорциональны. Кроме того заметим, что корни характеристического уравнения r₁ = 0, r₂ = -1 и  = -1 в f(x) = 3e^-x ( ) – действительные, но r₂ и  кратные и требуется домножить на х: .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)