Воронов Е. М. Методы оптимизации управления ММС на основе стабильно-эффективных игровых решений (2001) (1264203), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Перейдем в этом уравнении к операторнойформе 1λ q A \ K *∆ + ρ B K *∆ = ξ ,(8.40)где A \ , B – спектральные матрицы [141]:=A \ K *∆tkT*∫ A ( tk , t2 ) A ( t3 , tk ) K ∆ ( t3 , t1 ) dt3 ,(8.41)B K ∆* =Ω ( t2 ) K *∆ ( t2 , t1 ) ,(8.42)t11Здесь, в отличие от [156], декомпозиция по строкам невозможна.Глава 8.
Стохастическая интегро-дифференц. модель конфликтаξ=− A T ( tk , t2 ) ε д* ( tk ) y T∆ ( t1 ) N −2 ( t1 ) ,347(8.43)K *∆ ∈ Ln2×n [ t1 , tk ] , ξ ∈ Ln2×n [ t1 , tk ] , t1 < tk .Можно показать, что в условиях постановки задачи линейный оператор(8.41) является симметричным неотрицательно определенным операторомв пространстве Ln2×n [ t1 , tk ] , t1 < tk , а оператор (8.42) – симметричным положительно определенным оператором в том же пространстве.
Отсюда сучетом положительности λ q и ρ следует, что оператор λ q A \ +ρ B является симметричным и положительно определенным оператором в пространстве Ln2×n [ t1 , tk ] , t1 < tk и удовлетворяет всем условиям корректности по Адамару [240]. Таким образом, доказывается корректность по Адамару уравнения (8.40) (или, что то же самое, (8.39)) в пространствеLn2×n [ t1 , tk ] , t1 < tk .Найдем явное выражение решения (8.39) – МИПФ K *∆ ( t2 , t1 ) =()=εK *∆ − д* ( tk ) , t2 , t1 . Вследствие того что ядро уравнения (8.39), как ука-зывалось, вырожденное, решение этого уравнения можно известным приемом свести к решению системы алгебраических уравнений [121]. Пусть(см. (8.20))=K * ( tk , t1 )tk∫ A ( tk , t3 ) K ∆ ( t3 , t1 ) dt3 .*(8.44)t1Тогда из (8.39) легко получить(8.45)K *∆ ( t2 , t1 ) = ρ −1Ω −1 ( t2 ) ξ ( t2 , t1 ) − λ q A T ( tk , t2 ) K * ( tk , t1 ) ,где ξ ( t2 , t1 ) определяется выражением (8.43).
Подставляя (8.45) в (8.39),после несложных преобразований с учетом невырожденности матрицыA ( tk , t2 ) ∀t2 , t0 ≤ t2 < tk и положительности ρ получимλ qρ −1V ( t1 ) ε д* ( tk ) y T∆ ( t1 ) N −2 ( t1 ) + λ 2qρ −1V ( t1 ) K * ( tk , t1 ) ++λ q K * ( tk , t1 ) = 0,(8.46)где n × n симметричная матрица=V ( t1 )tkn ×n−1T∫ A ( tk , t3 ) Ω ( t3 ) A ( tk , t3 ) dt3 ∈ C [t0 , tk ].(8.47)t1Из (8.46) следует упоминавшаяся система алгебраических функциональных уравнений для определения K * ( tk , t1 ) :λ qρ −1V ( t1 ) + E K * ( tk , t1 ) =−ρ −1V ( t1 ) ε д* ( tk ) y T∆ ( t1 ) N −2 ( t1 ) .(8.48)Задачи управления двухкоалиционными ММС. Часть II348Для существования и единственности решения этой системы, как известно, необходима и достаточна невырожденность ∀t1 < tk n × n симметричной матрицы(8.49)V1 ( t1 ) =λ qρ −1V ( t1 ) + E ∈ C n×n [t0 , tk ] .Эта невырожденность следует из показанных выше существования иединственности решения уравнения (8.39), но может быть доказана инепосредственно [54, с.
443].Окончательно имеем(8.50)K * ( tk , t1 ) = −ρ −1V1−1 ( t1 ) ε д* ( tk ) y T∆ ( t1 ) N −2 ( t1 ) .Подставляя (8.50) в (8.45), получим выражение для оптимальнойМИПФ K *∆ ( t2 , t1 ) , как функции ε д* ( tk ) :K *∆ ( t2 , t1 ) =−ρ −1Ω −1 ( t2 ) A T ( tk , t2 ) V1−1 ( t1 ) ε д* ( tk ) y T∆ ( t1 ) N −2 ( t1 ) . (8.51)Исследование и решение уравнения (8.38). Подстановка (8.50) в(8.38) дает(8.52)ε д* ( tk ) = −λ q−1 z ( tk ) − I1 ( tk ) ε д* ( tk ) + ε 0д ( tk ) ,где скалярz ( tk )=tkT−2∫ y ∆ ( t2 ) N ( t2 ) y ∆ ( t2 ) d t2 ,(8.53)t0а n × n симметричная матрицаI1 ( tk=)tk−1∫ V1 ( t2 ) z ( t2 ) d t2 .(8.54)t0Из (8.52) имеем систему алгебраических уравнений{λq}+ z ( tk ) E − I1 ( tk ) ε д* ( tk ) =D1 ( tk ) ε д* ( tk ) =λ q ε 0д ( tk )(8.55)для нахождения вектора ε д* ( tk ) .
Необходимым и достаточным условиемсуществования и единственности решения (8.55) для любых λ q ε 0д ( tk ) является невырожденность матрицы D1 ( tk ) ; условием устойчивости решения является «хорошая» обусловленность этой матрицы [240].Покажем, что в условиях 8.1 матрица D1 ( tk ) невырождена и найдемвыражение для числа обусловленности [240] этой матрицы.Из (8.55) легко видеть, что достаточным условием невырожденностиD1 ( tk ) является неравенство(8.56)λ q + z ( tk ) − µ ( I1 ( tk ) ) > 0 .Здесь µ – спектральный радиус матрицы I1 [141].Глава 8.
Стохастическая интегро-дифференц. модель конфликта349Доказательство того, что это неравенство выполняется всегда, дано в[54, с. 445].Решение системы (8.55), таким образом, для любой правой части существует, единственно иε д* ( tk ) = λ q D1−1 ( tk ) ε 0д ( tk ) .(8.57)Выражение для числа обусловленности матрицы D1 ( (tk )λ q + z ( tk ) − µ ( I1 ( tk ) )cond ( D1 ( tk ) ) =λ q + z ( tk ) − µ ( I1 ( tk ) )(8.58)легко следует из (8.55).
Из (8.58) вытекает, что матрица «хорошо» обусловлена при «хорошей» обусловленности матрицы I1 ( t2 ) , что в своюочередь имеет место при «хорошей» обусловленности матриц V ( τ ) иN 2 ( τ ) (см. (8.49), (8.53), (8.54)).Поскольку приведенные результаты справедливы для любыхt1 , t0 ≤ t1 < tk , то, подставляя (8.57) в (8.51), получим окончательное искомое явное выражение для оптимальной МИПФK *∆ ( t2 , t1 ) = −λ qρ −1Ω −1 ( t2 ) A T ( tk , t2 ) V1−1 ( t1 ) ××∆1−1 ( tk ) ε 0д ( tk ) y T∆ ( t1 ) N −2 ( t1 ) ,(8.59)где t2 ∈ [t0 , tk ] , t0 ≤ t1 ≤ t2 .Покажем, что выражение справедливо и при t2 = tk . Действительно, попостановке задачипри t2 tk=A ∆ ( tk , t2 ) ≡ 0 , а значит, и A ( tk , t2 ) ≡ 0 . От-сюда и из (8.37) с учетом строгой положительности функций Ω ( t2 ) иN 2 ( t1 ) ∀t2 ∈ [t0 , tk ] , t1 ∈ [t0 , tk ] однозначно следует, что K *∆ ( tk , t1 ) ≡ 0 .Этот же результат в указанных условиях следует из формулы (8.59).Аналогично показывается, что выражение (8.59) справедливо и в точке=t1 tk ,=t2 tk .Итак, результатом пункта являетсяУтверждение 8.1.
Решение матричного интегрального уравнения (8.37)в условиях постановки пункта 1.3 существует, единственно в пространствеLn2×n[t0 , tk ] и задается выражением (8.59) для любогоK *∆ ( t2 , t1 ) .Достаточным условием устойчивости решения (8.59) является «хорошая» обусловленность матриц (8.35), (8.47) для любого x q ( t ) ∈ X q ( t ) .Задачи управления двухкоалиционными ММС.
Часть II350Ограничение множества допустимых стратегийс помощью функционала сложности,8.2.2.2использующего «прототип» (функционал E2( ) )Подставляя в интегральное уравнение выражение (8.34) для R ( ττ1, 2 ) вслучае мультипликативной и аддитивной помех типа «белых» шумов итранспонируя результат аналогично (8.37), получим 1tkλ q ∫ A T ( tk , t2 ) A ( tk , t3 ) K *∆ ( t3 , t1 ) N 2 ( t1 ) dt3 + ρΩ ( tk , t1 ) K *∆ ( t2 , t1 ) =t1tk t3=ρΩ ( t2 , t1 ) K n∆ ( t2 , t1 ) − ∫ ∫ A T ( tk , t2 )A ( tk , t2 ) K *∆ ( t3 , t2 ) y T∆ ( t2 ) ×(8.60)t0 t0×y T∆ ( t1 ) d t2 dt3 − A T ( tk , t2 ) εoд ( tk ) y T∆ ( t1 ) ,где N 2 ( τ1 ) положительно определена, интегрируема с квадратом в[ t0 , t k ]Ln2×nи определяется выражениями (8.35), (8.36). Как и в пункте8.2.1, введем в рассмотрение неизвестный n × 1 вектор ε д* ( tk ) < ∞ .
Тогдаиз (8.60) при фиксированных tk , t1 tk > t1 аналогично (8.39) следуетматричное интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром A T ( tk , t2 ) A ( tk , t3 )tkλ q ∫ A T ( tk , t2 ) A ( tk , t3 ) K *∆ ( t3 , t1 ) dt3 + ρΩ ( t2 , t1 ) K *∆ ( t2 , t1 ) N −2 ( t1 ) =t1()=ρΩ t2 , t1 K n∆( t2 , t1 ) N ( t1 ) − A ( tk , t2 ) ε ( )−2д*Ttk y T∆(8.61)( t1 ) N ( t1 ) .−2Уравнения (8.38), (8.61) образуют систему, эквивалентную (8.60), для−2определения МИПФ V −1 ( ττ1 ) V ( 1 ) ⊗ N ( τ1 ) ( E ⊗ y ∆ ( ττ1 )) d 1 .()Здесь символ ⊗ – прямое кронекерово произведение матриц [82, 141].Анализ уравнения (8.61). Перейдем в этом уравнении к операторнойформе (8.40) 2, где оператор А\ K ∆* определяется выражением (8.41)B K *∆ =Ω ( t2 , t1 ) K *∆ ( t2 , t1 ) N −2 ( t1 ) ,ξ12()(8.62)( t2 , t1 ) N ( t1 ) − A ( tk , t2 ) ε ( ) ( t1 ) N ( t1 ) ,K *∆ ∈ Ln2×n [ t1 , tk ] , ξ ∈ Ln2×n [ t1 , tk ] , t1 < tk .=ρΩ t2 , t1 K n∆−2Tд*tk y T∆См.
замечание 8.1.Здесь, как и в [43], декомпозиция по строкам невозможна.−2Глава 8. Стохастическая интегро-дифференц. модель конфликта351В этом случае можно также показать [240], что линейный оператор(8.62) является симметричным положительно определенным в Ln2×n [ t1 , tk ] ,t1 < tk оператором. Отсюда, как и в 8.2.1, следует корректность по Адама-ру уравнения (8.61) в Ln2×n [ t1 , tk ] , t1 < tk .Найдем явное выражение для решения (8.61) МИПФ()=K *∆ ( t2 , t1 ) K *∆ ε д* ( tk ) , t2 , t1 .(8.63)В обозначениях (8.44) из (8.62) следует, чтоK *∆ ( t2 , t1 ) = −λ qρ −1Ω −1 ( t2 , t1 ) A T ( tk , t2 ) K * ( tk , t1 ) N 2 ( t1 ) ++ K n∆ ( t2 , t1 ) − ρ −1Ω −1 ( t2 , t1 ) A T ( tk , t2 ) ε д* ( tk ) y T∆ ( t1 ) .(8.64)Подставляя (8.64) в (8.61), после несложных преобразований аналогично (8.48) получим систему алгебраических функциональных уравненийдля определения K * ( tk , t1 ) :λ qρ −1V ( t1 ) K * ( tk , t1 ) + K * ( tk , t1 ) N −2 (=t1 ) C ( tk , t1 ) ,(8.65)где V ( τ1 ) определяется выражением (8.47), n × n матрица(8.66)C=( tk , t1 ) K n ( tk , t1 ) − ρ−1V ( t1 ) ε д* ( tk ) y T∆ ( t1 ) N −2 ( t1 )– известная n × n матрица;t2 = tk .(8.67)Из [141] следует, что система (8.65) после преобразования с использованием аппарата прямых произведений и сумм эквивалентна следующейсистеме:G ( t1 ) K ∗ ( tk , t1 ) =ρC ( tk , t1 ) ,где(G ( τ1 ) = λ q ( V ( τ1 ) ⊗ E ) + ρ E ⊗ N −2 ( τ1 )(8.68))(8.69)– известная n 2 × n 2 симметричная матрица;K *=( tk , t1 )иC ( tk , t1 ) =(E ⊗ N−2n∑ K*Ti* ( tk , t1 )(8.70)i =1( t1 ) ) K П ( tk , t1 ) K *∆ ( t2 , t1 ) K *∆ (t2 , t1 ) ×× ( E ⊗ y ∆ ( t1 ) ) ε д* ( tk )(8.71)– n 2 × 1 векторы-столбцы;K П=( tk , t1 )n∑ K iПT* ( tk , t1 ).i =1(8.72)Задачи управления двухкоалиционными ММС.
Часть II352Для существования и единственности решения системы (8.68) необходима и достаточна невырожденность матрицы G ( τ1 ) . Невырожденностьэтой матрицы следует из показанных выше существования и единственности решения уравнения (8.61). Однако здесь, как и в пункте 8.2.1, полезнодоказать этот факт непосредственно [54, с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
