Воронов Е. М. Методы оптимизации управления ММС на основе стабильно-эффективных игровых решений (2001) (1264203), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

В случае B = E оптимизация таблицы испытаний приведет к построению дискретной аппроксимации всего множества Парето, что соответствует максимальной неопределенности весовых коэффициентовΟ≤ λ ≤ 1. В случае B ≠ E, когда Ο ≤ λ L ≤ λ ≤ λ H ≤ 1, Ω-оптимизация позволяет построить подмножество J Ω (Q ) ⊂ J П (Q ) и на этапе экспертногоанализа работать с сокращенной таблицей, в которую не будут входитьзаведомо неприемлемые варианты. Время оптимизации таблицы испытаний уменьшается с сокращением интервалов неопределенности весовыхкоэффициентов.В приложениях, как правило, с увеличением плотности ЛП τ -сети дискретная аппроксимация J Ω (Q ) множества J Ω (Q ) приближается к нему и,Стабильные эффективные решения и компромиссы.

Часть I118начиная с некоторого N, практически не изменяет своего положения иконфигурации. Это обстоятельство позволяет проводить исследование приограниченном числе зондирующих точек, что сокращает вычислительныезатраты.3.3. АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕКТОРНОГО РАВНОВЕСИЯ(СТАБИЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ)В соответствии с понятиями коалиционного равновесия, изложеннымив разделе 3.1, формулировка вида коалиционного равновесия определяетсятремя степенями свободы:• множество коалиционных разбиений P;• вид V-решения;• степенью «охвата» Парето-области коалиции.На основе определения 3.9 векторное равновесие по Нэшу являетсячастным случаем коалиционного равновесия при единственном коалиционном разбиении, отсутствии угроз (частный случай V-решений) и принадлежности к полной Парето-области коалиции.В соответствии определением 3.11 Ω-равновесие является частнымслучаем векторного равновесия по Нэшу, так как формулируется на частиПарето-области коалиции.

С другой стороны, при применении единой технологии решения обеих задач, например, на основе конусов доминирования, необходимые условия и алгоритмы определения близки. Поэтомуимеет смысл объединить оба определения (3.9), (3.11) в рамках единойсхемы поиска векторного равновесия.3.3.1.Необходимые условия векторного равновесия(Нэш-равновесия и Ω-равновесия)Раскрывая необходимое условие Ω-оптимальности (3.17), можно получить ∂J (q* )  T  ∂G a (q* ) (3.39)0,B μ + ν = ∂q  ∂q где m, v≥0, m ≠ 0; G a – переобозначение активных ограничений.Как известно, при B = E данное условие дает необходимое условие Парето-оптимальности.Формирование постановки (3.7) для каждого i∈M K и совместных необходимых условий (3.39) для всех i приводит к следующему утверждению:Утверждение 3.8 [47].

Пусть qr – векторное равновесное решение. Тогда является совместной система равенствГлава 3. Стабильные и эффективные оптимальные решенияTT ∂J i (q r )  T i  ∂Gia (q r )  i0;+=Bμviii∂∂qq1, mK , μi , v i ≥ 0, μi ≠ 0, i ∈ M K , i =119(3.40)где J i , Bi , Gia , qi – соответственно показатели, матрица конуса доминирования Ω i , активные ограничения, параметры i-й коалиции K i . Доказательство следует из определений 3.9, 3.11 векторных равновесий как частных случаев коалиционного равновесия (определение 3.6) и необходимыхусловий Ω-оптимизации (3.39).

Действительно, если qr – векторное равновесное, то оно является V-решением без угроз. Тогда при отклонении коалиции K i от qri , когда q = (q r / qi ) , будет иметь место увеличение потерьK i (или уменьшение эффективности) на векторе JiJ i (q ) ≥ J i (q r ), ( J i (q ) ≤ J i (q r )),где хотя бы одно неравенство строгое, или на части вектора Ji, выделеннойконусом Ω = {BJ i< 0}BJ i (q ) ≥ BJ i (q r ), ( BJ i (q ) ≤ BJ i (q r )),где также хотя бы одно неравенство строгое.Полученные неравенства имеют смысл Парето- или Ω-оптимальностиiq = q ri вектора параметров коалиции K i и удовлетворяют условиям (3.39)для коалиции K i или (3.40) для ∀i ∈ M K .При этом при B = E имеет место полное множество решений (векторное равновесие по Нэшу), при B ≠ E имеет место часть множества решений (векторное Ω-равновесие).Действительно, как следует из системы (3.40), при отсутствии активных ограничений и B = E остается система равенств, характеризующая вчистом виде необходимые условия векторного равновесия по Нэшу.

Приналичии активных ограничений правое слагаемое (3.40), как правило, приводит задачу на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум.3.3.2.Сведение необходимых условий (3.40) к задачеквадратического программированияСущество алгоритма состоит в формировании и минимизации целевойфункции специального вида Ψ(q), значения которой характеризуют «степень несовместности» необходимых условий векторного равновесия вида(3.40).Для произвольного q∈Q введем векторϕi(q, mi, νi) = M i (q)⋅mi+N i (q)⋅νi, i∈M K ,(3.41)120Стабильные эффективные решения и компромиссы.

Часть ITT ∂Gia (q )  ∂Ii (q )  TriNq=B()где Mi (q ) = ; ; ϕ ∈E i .iiii ∂q  ∂q На переменные mi, νi наложены ограничения:mi,νi ≥ 0, mi ≠ 0.ОбозначимS i = [Mi , Ni ] , ρiT = μiT , νiT  .Тогда ϕ i = S i ρi .Образуется показатель вида:(3.42)ϕi T ϕi 12 ρi T Si ρi ,=Фi 1=2 MiT Mi MiT Ni Tгде=Si S= T – симметричная положительно полуопреi SiT Ni Mi Ni Ni деленная матрица.Далее определяется показатель вида(3.43)=Ф =∑ Фi 12 ρTS(q)ρ ,i∈MK0 S1S2 – симметричная положительно полуопредегде S = S M K  0ленная матрица, ρT = ρiT ,..., ρ M K T  .Ставится оптимизационная задача в виде:определить min Ф(q, ρ) =Ψ (q, ρ* (q )) =Ψ (q ) ; (а)ρ∈Qρ ρ ≥ 0;(б ) ρ1m1j ≥ 1; ∑ j =1Qρ (3.44)ρm K ∑ m mjK ≥ 1.(в ) j =1Наличие группы ограничений (3.44в) обусловлено следующими причинами: во-первых, они отражают требование mi ≠ 0, i∈M K .Во-вторых, условия (3.44в) ограничивают ρ снизу, и поэтомуΨ (q ) =0 в (3.44а) получается только в точках, удовлетворяющих необхо-Глава 3.

Стабильные и эффективные оптимальные решения121димым условиям векторного равновесия (3.40). Причем, если q – векторное равновесие, то вследствие однородности системы уравнений (3.40) относительно ρ, Ψ(qr, ρ*) = Ψ(qr, α⋅ρ*) = 0 для любого α > 0. То есть векторρ* определяется с точностью до принадлежности лучу. Если Ψ (q ) ≠ 0 , тоrρ* таково, что ограничения (3.44в) активны.Если же условий (3.44в) не ввести, то вследствие однородности системы уравнений (3.40) относительно ρ для любых q∈Q и ρ справедливо неравенство Φ(q, α⋅ρ) < Φ(q, ρ) при α<1. Следовательно, при α0 ⇒⇒ Φ(q, α⋅ρ) → 0.Таким образом, решение оптимизационной задачи (3.44) определяетзначение показателя Ψ (q ) , характеризующее «степень несовместности»совокупности уравнений вида (3.40).Задача (3.44) является задачей квадратичного программирования с положительно полуопределенным показателем, и, следовательно, она имеетединственное решение.

Структура задачи (3.44) позволяет найти это решение за конечное число шагов, что очень важно для вычисления Ψ (q ) .Значение Ψ (q ) характеризует степень «неравновесности» точки q. Если qr – равновесие по Нэшу, то Ψ (q r ) =0 . Следовательно, для нахожденияrq необходимо решить задачу:определить min Ψ (q ) .(3.45)q∈QТак как Ψ (q ) ≥ 0 для любых q∈Q и Ψ (q r ) =0 , то решение задачи(3.45) существует, если существует в принципе равновесие по Нэшу. Этообеспечивает сходимость применяемых алгоритмов к qr.3.3.3.Метод определения векторного равновесия и управленияММС на основе квадратичного программированияс использованием СТЭК-3 ([6, 63], а также гл.

6)В основе метода лежит приведение необходимых условий векторногоравновесия к задаче квадратичного программирования и ее непосредственное решение [8] с использованием программной среды «MATLAB».В процессе оптимизации ММС осуществляется глобальное зондирование области показателей J с целью выявления ее границы, приближенногоопределения Парето-области и «идеальной точки», а также для нахождения множества векторных решений.Метод состоит из нескольких этапов.Эт а п 1.

Заключается в том, что на области параметров Q определяется равномерная «сеть» размерности M K и густоты l. Узлы этой сетиотображаются в пространство показателей J, формируя таким образомее вид, а также примерную Парето-область (а) и «идеальную точку» (б)Стабильные эффективные решения и компромиссы. Часть I122(см.

рис. 3.1). Найденная в дальнейшем «идеальная точка» используетсядля выявления наилучшей точки векторного равновесия при анализемножества решений. При этом для увеличения быстродействия используется аппроксимация описания ММС на основе рядов и ПС «MАPLE»,а также области начальных приближений на основе минимаксных подходов (см. п. 3.5).q2qНJ22alqL20J1minq H1qL1q10бJ2minJ1Рис. 3.1. Отображение множества значений параметровна множество значений показателейЭт а п 2. Для каждой ячейки сети реализуется итерационный процесспоиска равновесного решения (рис.

3.5).Ша г 1 . За начальное приближение оптимизации на области выбирается геометрический центр ячейки «гиперкуба» с границами: минимальная –q~ i , максимальная – q~ i , (i = 1,…,m ) (рис. 3.2).m inТаким образом,maxKiiq max+ q min(3.46)=, i 1,..., M K2и является начальной точной итерационного поиска равновесного решения.Ша г 2. Решается задача квадратической минимизацииmin Ф(q, ρ) =Ψ (q, ρ* (q )) =Ψ (q ) .=q0iρ∈QρШа г 3. На каждом итерационном шаге находится вектор направленияубывания P0j функции Ψ (q ) .=P0jf ( q0i ) − f ( q0i + ∆ i ) i=,∆∆i0, i ≠ j,i, j 1,..., M K ,=ij, ξ , i =(3.47)где малая величина ξi выбирается особым образом и зависит от линейногоразмера i-го ребра «гиперкуба».Находим точку q gr пересечения вектора P0j и границ данной ячейкиоптимизации. На отрезке (q 0 , q gr ) модифицированным методом «золотогосечения» производим поиск минимального значения функции Ψ (q ) .Глава 3.

Характеристики

Список файлов книги