Воронов Е. М. Методы оптимизации управления ММС на основе стабильно-эффективных игровых решений (2001) (1264203), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Здесь также все сводится к задаче нелинейного программирования. Варьирование параметров ε, γ, χ в сеансах диалога позволяетвыходить на различные точки множества Парето.Применение арбитражной схемы Нэша [32, 245] дает возможность целенаправленно выходить на множество Парето относительно точки J(q*),получая на нем решение J (qП), удовлетворяющее неравенствуJ (qП) ≤ J (q*),*где в качестве q принято выбирать минимаксное или равновесное поНэшу решение.К недостаткам процедур, использующих информацию о желаемыхуровнях показателей, следует отнести следующие:• введение дополнительных нелинейных ограничений, что усложняет задачу по сравнению с исходной постановкой;• неопределенность в назначении параметров, которые могут оказатьсязаниженными или недостижимыми.3.
Лексикографические процедуры многокритериальной оптимизации [144, 180, 206, 207], основная идея которых заключается в введенииупорядоченности показателей по важности: J 1 J 2 ... J m . При этом отношение нестрогого предпочтения вводится в виде лексикографическогопорядка [206]. Определение Парето-оптимального решения сводится к решению последовательности минимизационных задач со скалярной целевойфункцией. Последовательность решения задач определяется упорядоченностью показателей по важности.
Причем каждая последующая задача решается на множестве оптимальных решений предыдущей задачи. Однако,как известно, применение данного метода малоэффективно для решениябольшинства практических задач, так как оптимизация по первому, наиболее важному показателю, уже приводит, как правило, к единственному оптимальному решению, и все сводится к оптимизации лишь по первому показателю.Обойти эту трудность позволяет метод последовательных уступок[38], в котором после решения очередной, i-й оптимизационной задачиназначается «уступка» ∆ i на показатель J i , расширяющая область допустимых решений последующей, (i+1)-й задачи. Окончательное решениезависит от вектора уступок и вида упорядоченности показателей по степени важности.К недостаткам метода последовательных уступок следует отнести следующие:• введение нелинейных ограничений;• сложность назначения обоснованной упорядоченности показателей поважности;104Стабильные эффективные решения и компромиссы.
Часть I• необходимость решения последовательности оптимизационных задачдля получения одного варианта Парето-оптимального решения, чтоприводит к большим вычислительным издержкам.Проблема уменьшения размерности вектора показателей с исключением менее важных рассматривается в фундаментальной работе [180].4.
Процедуры, основанные на информации о допустимых взаимныхлокальных изменениях показателей. Эти методы имеют прикладноезначение, так как они [47, 230]:• формировались в рамках диалогового подхода и принципиально являются машинно-ориентированными;• используют более содержательную информацию о структуре предпочтений проектировщика без усложнения исходной постановки (3.7);• обеспечивают более целенаправленный поиск наилучшего компромисса по сравнению с упомянутыми выше типами процедур, особенно вслучае бесконечного множества эффективных альтернатив.В [97] описывается метод Джоффриона (неявной функции полезности).Основным функциональным элементом метода является процедура по∂U ( J (q ))строения в критериальном пространстве направления градиента∂Jфункции полезности U в текущей точке J(q).
При этом, однако, функциюU(J) не требуется задавать в явном виде. Предлагается строить гиперплоскость П(J) = 0, касательную к поверхности равных значений неявнойфункции полезности U(J) в точке J(q). Компоненты вектора W, нормального к касательной гиперплоскости П, формируются после назначенияопорного показателя J i .
Величина W j характеризует эквивалентные изменения показателей J i и J j (при постоянстве значений других показателей),не меняющие значения неявной функции полезности и определяющие относительную важность для проектировщика i-го показателя по сравнению∂U ( J (q ))с j-м в текущей точке J(q). Далее полагается=W .∂JВекторно-релаксационные методы [220, 265, 363] используют информацию о предпочтениях проектировщика в виде множества индексовM I ⊆M, содержащего номера компонент векторного показателя J, значениякоторых не должны ухудшаться по отношению к текущей ситуации J(q).Выбор направления спуска осуществляется методом, аналогичным методувозможных направлений Зойтендейка [110], используемому при оптимизации скалярных целевых функций и приводящему к задаче линейного иликвадратичного программирования.
Алгоритмы, приведенные в упомянутых работах, различаются видом условий нормировки искомого направления спуска, способом формирования множества S a индексов активныхограничений, а также способом учета активных ограничений. В то времякак метод Джоффриона описывает «динамику» изменения показателей поотношению лишь к опорному показателю, методы векторной релаксациипозволяют учитывать взаимные изменения уже всех показателей, но в ко-Глава 3.
Стабильные и эффективные оптимальные решения105личественном отношении более грубо – с точностью до требованияуменьшения или безразличия к величине показателя на основе формирования множества M I .Формирование точной информации о взаимных локальных измененияхпоказателей, как это делается, например, в методе Джоффриона при вычислении вектора коэффициентов замещения, предъявляет высокие квалификационные требования к проектировщику. Это естественно повышаеттрудоемкость решения задачи многокритериальной оптимизации. Дляпреодоления этого недостатка в ряде работ предлагается диалоговая процедура с лингвистическим моделированием предпочтений. Основная идеяэтого подхода заключается в том, что проектировщик производит оценкуПарето-оптимальных решений, а также оценку необходимых измененийкоэффициентов замещения в терминах лингвистической переменной [21].Интенсивно развивается адаптивный подход к многокритериальнымзадачам, идейные истоки которого заключены в работах Я.З.
Цыпкина. Согласно этому подходу [17, 115] решение задачи многокритериальной оптимизации интерпретируется, как процесс последовательного раскрытиянеопределенности специального вида, а именно неопределенности формыкомпромисса. Адаптивным процедурам присущи все особенности методики случайного поиска [219]. Положительные стороны связаны с тем, чтоэти методы имеют простую реализацию, не требуют от векторного показателя практически никаких свойств, надежны и иногда оказываются болееустойчивыми, чем градиентные методы.
Однако процедуры случайногопоиска имеют и недостатки, связанные с ограниченностью информации освойствах компонент векторного показателя. Поэтому они оказываются вцелом менее эффективными в тех случаях, когда градиентные процедурыприменимы.5. Процедуры, использующие понятия конуса доминирования иоптимальности по конусу [47, 48, 230, 312, 332, 428, 430] , обобщающиепонятие оптимальности по Парето. В [428] поиск Ω-оптимального решения сводится к решению задачи математического программирования специального вида.
При этом оставались открытыми вопросы обоснованноговыбора вектора ограничений, вычисления конуса доминирования Ω.В [312] предлагается алгоритм построения конуса доминирования, какфункции интервалов неопределенности весовых коэффициентов λ i компонент векторного показателя в свертке (3.11).
Но указанный алгоритм применим лишь для случая, когда размерность критериального пространстваm = 2 . Таким образом, в существующем виде процедуры Ω-оптимизацииоказываются мало пригодны и с практической точки зрения.В [312, 428] установлено, что вид конуса доминирования Ω определяетна множестве Парето J П (Q) подмножество J Ω (Q) ⊂ J П (Q) и, следовательно, Ω-оптимизация может улучшить неопределенность решения на множестве Парето.106Стабильные эффективные решения и компромиссы. Часть IВ работах В.А. Серова обосновано использование конуса доминирования в качестве универсальной конструкции для формализации предпочтений проектировщика в алгоритмах векторной оптимизации, разработаныметоды проектирования на основе конусов доминирования.В частности, сформированы алгоритмы вычисления конусов доминирования, уточнены необходимые условия Ω- и Парето-оптимизации, предложены алгоритмы оптимизации по конусу с учетом выбора начальногоприближения на основе комбинации Ω-перебора и метода зондированияпространства параметров.6.
Как было отмечено ранее, задача векторной оптимизации являетсяодной из частных задач теории кооперативных игр. Некоторые вопросыисследования задачи управления ММС как кооперативной игры в формехарактеристической функции будут рассмотрены в главе 5. В обзорах [28,248] предлагается краткий неполный перечень работ в направлении кооперативных игр.Так, в обзоре [248] и в работе [32] в числе других рассматриваются вопросы применения арбитражных схем и среднеквадратичных решений вкооперативной игре. Геометрические свойства и структура Парето-областиисследуются в работе [281]. Получение решения кооперативной игры вформе характеристической функции как С-ядра рассматривается в работах[35, 170].
Принципиальные вопросы вступления в коалицию-кооперацию собъединением целей и ресурсов и обеспечением определенной устойчивости коалиций-коопераций рассмотрены в фундаментальных работах[84, 85, 137], а также в работах [170, 405]. Различные вопросы исследования кооперативных игр рассматриваются в работах [39, 85, 139, 199, 231,303, 318, 345, 354, 431]. В [139] для ЛКДИ Парето-решения получены наоснове принципа максимума, в [303, 318] Парето-решения применяются вмультиобъектном программировании в задаче распределения накопленийи при получении «безопасных» решений в конфликтной ситуации.3.2.2.Понятие конуса доминирования Ω.
Необходимые условияПарето- и Ω-оптимизацииОпределение 3.14 [47, 428]. Если каждой точке поставить в соответствие множество D(z) доминирующих факторов, такое что для z′ ∈J(Q)( z′ ≠ z) и ( z′ – z)∈D(z) z′ доминирует решение z, то D(z) может бытьрассмотрено в виде выпуклого, острого, многогранного конуса Ω(z), полярного к конусу B, гдеB = {z∈Em | =zp∑ αiβi , α i ≥0, i = 1, p }i=1(3.13)Глава 3. Стабильные и эффективные оптимальные решения107и где множество { βi , i = 1, p } называется множеством экстремальных векторов конуса B.Определение 3.15 [428, 477]. Точка z*∈J(Q) называется Ω-оптимальной (оптимальной по конусу Ω), если не существует z∈ J (Q), z ≠ z*, такогочто (z – z*)∈Ω.Для полной физической картины полезно привести следующие утверждения из [428] и [312] соответственно.Утверждение 3.3 [428]. Если Ω 1 ⊂ Ω 2 , тоJ Ω2 (Q ) ⊂ J Ω1 (Q ) ,где J Ωi (Q ) означает множество всех Ω i -оптимальных точек в J (Q).Утверждение 3.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
